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Une fois que vous avez compris la formule quadratique et les bases des équations quadratiques, il est temps de passer au niveau suivant de votre relation avec les paraboles : en apprendre davantage sur leur forme du sommet .

Poursuivez votre lecture pour en savoir plus sur la forme du sommet de la parabole et sur la façon de convertir une équation quadratique de la forme standard à la forme du sommet.

crédit d'image de fond : SBA73 /Flickr

Pourquoi la forme de sommet est-elle utile ? Un aperçu

Le forme du sommet d’une équation est une autre façon d’écrire l’équation d’une parabole.

Normalement, vous verrez une équation quadratique écrite sous la forme $ax^2+bx+c$, qui, une fois représentée graphiquement, sera une parabole. À partir de ce formulaire, il est assez facile de trouver les racines de l'équation (là où la parabole atteint l'axe $x$) en définissant l'équation égale à zéro (ou en utilisant la formule quadratique).

Toutefois, si vous avez besoin de trouver le sommet d’une parabole, la forme quadratique standard est beaucoup moins utile. Au lieu de cela, vous souhaiterez convertir votre équation quadratique sous forme de sommet.

Qu'est-ce que la forme de sommet ?

Alors que la forme quadratique standard est $ax^2+bx+c=y$, la forme du sommet d'une équation quadratique est $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

Dans les deux formes, $y$ est la coordonnée $y$, $x$ est la coordonnée $x$ et $a$ est la constante qui vous indique si la parabole est tournée vers le haut ($+a$) ou vers le bas. ($-a$). (J'y pense comme si la parabole était un bol de compote de pommes ; s'il y a un $+a$, je peux ajouter de la compote de pommes dans le bol ; s'il y a un $-a$, je peux secouer la compote de pommes du bol.)

La différence entre la forme standard d'une parabole et la forme du sommet est que la forme du sommet de l'équation vous donne également le sommet de la parabole : $(h,k)$.

Par exemple, jetez un œil à cette belle parabole, $y=3(x+4/3)^2-2$ :

D'après le graphique, le sommet de la parabole ressemble à (-1,5, -2), mais il est difficile de dire exactement où se trouve le sommet à partir du seul graphique. Heureusement, sur la base de l'équation $y=3(x+4/3)^2-2$, nous savons que le sommet de cette parabole est $(-4/3,-2)$.

Pourquoi le sommet $(-4/3,-2)$ et non $(4/3,-2)$ (autre que le graphique, ce qui montre clairement à la fois les coordonnées $x$ et $y$ de les sommets sont négatifs) ?

Souviens-toi: dans l'équation de forme de sommet, $h$ est soustrait et $k$ est ajouté . Si vous avez un $h$ négatif ou un $k$ négatif, vous devrez vous assurer de soustraire le $h$ négatif et d'ajouter le $k$ négatif.

Dans ce cas, cela signifie :

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

et donc le sommet est $(-4/3,-2)$.

Vous devez toujours vérifier vos signes positifs et négatifs lorsque vous écrivez une parabole sous forme de sommet. , en particulier si le sommet n'a pas de valeurs $x$ et $y$ positives (ou pour vous, têtes de quadrant, s'il n'est pas dans quadrant I ). Ceci est similaire à la vérification que vous feriez si vous résolviez la formule quadratique ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) et deviez vous assurer que vous gardiez votre positif et négatifs directement pour vos $a$s, $b$s et $c$s.

Vous trouverez ci-dessous un tableau avec d'autres exemples de quelques autres équations de forme de sommet de parabole, ainsi que leurs sommets. Notez en particulier la différence dans la partie $(x-h)^2$ de l'équation de la forme du sommet de la parabole lorsque la coordonnée $x$ du sommet est négative.

Comment convertir de la forme quadratique standard en forme de sommet

La plupart du temps, lorsqu'on vous demande de convertir des équations quadratiques entre différentes formes, vous passerez de la forme standard ($ax^2+bx+c$) à la forme sommet ($a(x-h)^2+k$ ).

Le processus de conversion de votre équation de la forme quadratique standard à la forme de sommet implique d'effectuer un ensemble d'étapes appelées compléter le carré. (Pour en savoir plus sur la façon de remplir le carré, assurez-vous de lire cet article.)

Passons en revue un exemple de conversion d'une équation de la forme standard à la forme de sommet. Nous allons commencer par l'équation $y=7x^2+42x-3/14$.

La première chose que vous voudrez faire est de déplacer la constante ou le terme sans $x$ ou $x^2$ à côté. Dans ce cas, notre constante est de -3/14$. (Nous savons que c'est négatif 3/14 $ car l'équation quadratique standard est $ax^2+bx+c$, et non $ax^2+bx-c$.)

Tout d'abord, nous prendrons ce $-3/14$ et le déplacerons vers le côté gauche de l'équation :

$y+3/14=7x^2+42x$

L'étape suivante consiste à factoriser le 7 (la valeur $a$ dans l'équation) du côté droit, comme ceci :

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Super! Cette équation ressemble beaucoup plus à une forme de sommet, $y=a(x-h)^2+k$.

À ce stade, vous pensez peut-être : « Tout ce que j'ai à faire maintenant, c'est de déplacer les 3/14 $ du côté droit de l'équation, n'est-ce pas ? Hélas, pas si vite.

Si vous regardez une partie de l'équation à l'intérieur des parenthèses, vous remarquerez un problème : elle n'est pas sous la forme de $(x-h)^2$. Il y a trop de $x$ ! Nous n’avons donc pas encore tout à fait terminé.

Ce que nous devons faire maintenant, c’est la partie la plus difficile : terminer le carré.

Examinons de plus près la partie $x^2+6x$ de l'équation. Afin de factoriser $(x^2+6x)$ en quelque chose qui ressemble à $(x-h)^2$, nous allons devoir ajouter une constante à l'intérieur des parenthèses - et nous devrons nous rappeler pour ajouter également cette constante à l'autre côté de l'équation (puisque l'équation doit rester équilibrée).

Pour configurer cela (et être sûr de ne pas oublier d'ajouter la constante de l'autre côté de l'équation), nous allons créer un espace vide où la constante ira de chaque côté de l'équation :

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Notez que sur le côté gauche de l'équation, nous nous sommes assurés d'inclure notre valeur $a$, 7, devant l'espace où ira notre constante ; en effet, nous n'ajoutons pas simplement la constante au côté droit de l'équation, mais nous multiplions la constante par ce qui se trouve à l'extérieur des parenthèses. (Si votre valeur $a$ est 1, vous n'avez pas à vous en soucier.)

La prochaine étape consiste à terminer le carré. Dans ce cas, le carré que vous complétez est l'équation entre parenthèses. En ajoutant une constante, vous la transformez en une équation qui peut être écrite sous forme de carré.

Pour calculer cette nouvelle constante, prenez la valeur à côté de $x$ (6, dans ce cas), divisez-la par 2 et mettez-la au carré.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. La constante est 9.

La raison pour laquelle nous divisons le 6 et le mettons au carré est que nous savons que dans une équation sous la forme $(x+p)(x+p)$ (c'est ce à quoi nous essayons d'arriver), $px+px= 6x$, donc $p=6/2$ ; pour obtenir la constante $p^2$, il faut donc prendre $6/2$ (notre $p$) et le mettre au carré.

Maintenant, remplacez l'espace vide de chaque côté de notre équation par la constante 9 :

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Ensuite, factorisez l’équation à l’intérieur des parenthèses. Parce que nous avons complété le carré, vous pourrez le factoriser comme $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Dernière étape : déplacez la valeur non $y$ du côté gauche de l'équation vers le côté droit :

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Toutes nos félicitations! Vous avez réussi à convertir votre équation de la forme quadratique standard à la forme de sommet.

Désormais, la plupart des problèmes ne vous demanderont pas seulement de convertir vos équations de la forme standard à la forme de sommet ; ils voudront que vous donniez les coordonnées du sommet de la parabole.

Pour éviter de vous laisser tromper par les changements de signe, écrivons l'équation générale de la forme du sommet directement au-dessus de l'équation de la forme du sommet que nous venons de calculer :

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Et puis on peut facilement trouver $h$ et $k$ :

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Le sommet de cette parabole est aux coordonnées $(-3,-{885/14})$.

Ouf, ça faisait beaucoup de mélange de chiffres ! Heureusement, convertir des équations dans l’autre sens (du sommet à la forme standard) est beaucoup plus simple.

Comment convertir du formulaire sommet en formulaire standard

La conversion d'équations de leur forme de sommet en forme quadratique régulière est un processus beaucoup plus simple : tout ce que vous avez à faire est de multiplier la forme de sommet.

Prenons notre exemple d'équation précédente, $y=3(x+4/3)^2-2$. Pour transformer cela en forme standard, nous développons simplement le côté droit de l’équation :

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada ! Vous avez converti avec succès $y=3(x+4/3)^2-2$ en sa forme $ax^2+bx+c$.

Pratique de la forme du sommet d'une parabole : exemples de questions

Pour conclure cette exploration de la forme des sommets, nous avons quatre exemples de problèmes et d’explications. Voyez si vous pouvez résoudre les problèmes vous-même avant de lire les explications !

#1: Quelle est la forme du sommet de l'équation quadratique $x^2+ 2,6x+1,2$ ?

#2 : Convertissez l'équation $7y=91x^2-112$ sous forme de sommet. Quel est le sommet ?

#3 : Étant donné l'équation $y=2(x-3/2)^2-9$, quelles sont les coordonnées $x$ de l'intersection de cette équation avec l'axe $x$ ?

#4 : Trouvez le sommet de la parabole $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Pratique de la forme du sommet de la parabole : solutions

#1 : Quelle est la forme du sommet de l'équation quadratique ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$ ?

Commencez par séparer la variable non $x$ de l'autre côté de l'équation :

$y-1,2=x^2+2,6x$

Puisque notre $a$ (comme dans $ax^2+bx+c$) dans l'équation d'origine est égal à 1, nous n'avons pas besoin de le factoriser du côté droit ici (bien que si vous le souhaitez, vous pouvez écrire $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Ensuite, divisez le coefficient $x$ (2,6) par 2 et mettez-le au carré, puis ajoutez le nombre obtenu aux deux côtés de l'équation :

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Factorisez le côté droit de l’équation entre parenthèses :

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Enfin, combinez les constantes du côté gauche de l’équation, puis déplacez-les vers la droite.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Notre réponse est $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2 : Convertissez l'équation $7i y=91i x^2-112$ sous forme de sommet. Quel est le sommet ?

Lors de la conversion d'une équation sous forme de sommet, vous voulez que $y$ ait un coefficient de 1, donc la première chose que nous allons faire est de diviser les deux côtés de cette équation par 7 :

7 $ = 91x^2-112 $

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Ensuite, placez la constante sur le côté gauche de l’équation :

$y+16=13x^2$

Factorisez le coefficient du nombre $x^2$ (le $a$) du côté droit de l'équation

$y+16=13(x^2)$

Maintenant, normalement, vous devez compléter le carré situé à droite de l’équation à l’intérieur des parenthèses. Cependant, $x^2$ est déjà un carré, vous n'avez donc rien d'autre à faire que de déplacer la constante du côté gauche de l'équation vers le côté droit :

$y=13(x^2)-16$.

Maintenant, pour trouver le sommet :

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, donc $h=0$

$+k=-16$, donc $k=-16$

Le sommet de la parabole est à $(0, -16)$.

#3 : Étant donné l'équation $i y=2(i x-3/2)^2-9$, quelle(s) est(sont) la ou les coordonnées $i x$ de l'endroit où cette équation croise le Axe $i x$ ?

Parce que la question vous demande de trouver la ou les interceptions $x$ de l'équation, la première étape consiste à définir $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Maintenant, il y a plusieurs façons de procéder à partir de là. La méthode sournoise consiste à utiliser à notre avantage le fait qu’il existe déjà un carré écrit dans l’équation de la forme du sommet.

Tout d’abord, nous allons déplacer la constante vers le côté gauche de l’équation :

$0=2(x-3/2)^2-9$

9$=2(x-3/2)^2$

Ensuite, nous diviserons les deux côtés de l’équation par 2 :

9/2$=(x-3/2)^2$

Maintenant, la partie sournoise. Prenez la racine carrée des deux côtés de l'équation :

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±