La trigonométrie est une branche importante des mathématiques qui traite de la relation entre les angles et les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Les six rapports ou fonctions trigonométriques sont le sinus, le cosinus, la tangente, la cosécante et la sécante, et un rapport trigonométrique est un rapport entre les côtés d'un triangle rectangle. Les fonctions sinus, cosinus et tangente sont trois fonctions trigonométriques importantes puisque les trois autres, c'est-à-dire les fonctions cosécantes, sécantes et cotangentes, sont respectivement les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente.

• sin θ = Côté opposé/hypoténuse
• cos θ = Adjacent side/Hypotenuse
• tan θ = Côté opposé/Côté adjacent
• cosec θ = Hypotenuse/Opposite side
• sec θ = Hypotenuse/Adjacent side
• lit bébé θ = Côté adjacent/Côté opposé

La fonction tangente est l'une des 6 fonctions trigonométriques utilisées dans formules de trigonométrie .

Table des matières

• Formule tangente
• Quelques formules tangentielles de base
• Fonction tangente en termes de fonction sinus
• Fonction tangente en termes de fonction cosinus
• Fonction tangente en termes de fonction cotangente
• Fonction tangente en termes de fonction cosécante
• Fonction tangente en termes de fonction sécante

Formule tangente

La tangente d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent à l'angle donné. Nous écrivons une fonction tangente sous la forme tan. Considérons un triangle rectangle XYZ et l'un de ses angles aigus est θ. Un côté opposé est le côté opposé à l’angle θ et le côté adjacent est le côté adjacent à l’angle θ.

Maintenant, la formule de la tangente pour l’angle θ donné est :

tan θ = Côté opposé/Côté adjacent

Quelques formules tangentielles de base

Fonction tangente dans les quadrants

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants et négative dans les deuxième et quatrième quadrants.

• bronzage (2π + θ) = bronzage θ (1^Stquadrant)
• tan (π – θ) = – tan θ (2^sdquadrant)
• bronzage (π + θ) = bronzage θ (3^rdquadrant)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^èmequadrant)

Fonction tangente comme fonction négative

La fonction tangente est une fonction négative puisque la tangente d’un angle négatif est la négative d’un angle tangent positif.

bronzage (-θ) = – bronzage θ

Fonction tangente en termes de fonction sinus et cosinus

La fonction tangente en termes de fonctions sinus et cosinus peut s'écrire comme suit :

tan θ = péché θ/cos θ

Nous savons que tan θ = Côté opposé/Côté adjacent

Maintenant, divisez le numérateur et le dénominateur par l'hypoténuse

tan θ = (Opposite side/Hypotenuse)/(Adjacent side/Hypotenuse)

Nous savons que sin θ = côté opposé/hypoténuse

cos θ = adjacent side/hypotenuse

Par conséquent, tan θ = sin θ/cos θ

Fonction tangente en termes de fonction sinus

La fonction tangente en termes de fonction sinus peut s'écrire comme suit :

tan θ = péché θ/(√1 – péché ² je)

Nous savons que,

tan θ = péché θ/cos θ

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Des identités pythagoriciennes, nous avons,

sans²θ + cos²θ = 1

parce que²θ = 1 – péché²je

cos θ = √(1 – péché²je)

Par conséquent, tan θ = sin θ/(√1 – sin²je)

Fonction tangente en termes de fonction cosinus

La fonction tangente en termes de fonction cosinus peut s'écrire comme suit :

tan θ = (√1 -cos ² je)/parce que je

Nous savons que,

tan θ = péché θ/cos θ

Des identités pythagoriciennes, nous avons,

sans²θ + cos²θ = 1

sans²θ = 1 – cos²je

péché θ = √(1 – cos²je)

Par conséquent, tan θ = (√1 – cos²je)/parce que je

Fonction tangente en termes de fonction cotangente

La fonction tangente en termes de fonction cotangente peut s'écrire comme suit :

bronzage θ = 1/lit bébé θ

ou

bronzage θ = lit bébé (90° – θ) (ou) lit bébé (π/2 – θ)

Fonction tangente en termes de fonction cosécante

La fonction tangente en termes de fonction cosécante peut s'écrire comme suit :

tan θ = 1/√(cosec ² je – 1)

Des identités pythagoriciennes, nous avons,

cosec²θ – lit bébé²θ = 1

lit bébé²θ = cosec²je – 1

cot θ = √(cosec²je – 1)

Nous savons que,

bronzage θ = 1/lit bébé θ

Par conséquent, tan θ = 1/√(cosec²je – 1)

Fonction tangente en termes de fonction sécante

La fonction tangente en termes de fonction sécante peut s'écrire comme suit :

tan θ = √sec ² je – 1

Des identités pythagoriciennes, nous avons,

seconde²θ – donc²θ = 1

bronzage θ = sec²je – 1

Par conséquent, tan θ = √(sec²je – 1)

Fonction tangente en termes de double angle

La fonction tangente pour un angle double est,

bronzage 2θ = (2 bronzage θ)/(1 – bronzage ² je)

Fonction tangente en termes de triple angle

La fonction tangente pour un triple angle est,

bronzage 3θ = (3 bronzage θ – bronzage ³ θ) / (1 – 3 bronzage ² je)

Fonction tangente en termes de demi-angle

La fonction tangente pour un demi-angle est,

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Fonction tangente en termes d'addition et de soustraction de deux angles

Les formules de somme et de différence pour une fonction tangente sont :

bronzage (A + B) = (bronzage A + bronzage B)/(1 – bronzage A bronzage B)

bronzage (A – B) = (bronzage A – bronzage B)/(1 + bronzage A bronzage B)

Tableau des rapports trigonométriques

Exemple résolu sur les formules tangentes

Exemple 1 : Trouvez la valeur de tan θ si sin θ = 2/5 et θ est le premier angle du quadrant.

Solution:

Donné,

• péché θ = 2/5

Des identités pythagoriciennes que nous avons,

sans²θ + cos²θ = 1

parce que²θ = 1 – péché²θ = 1 – (2/5)²

parce que²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Puisque θ est le premier angle du quadrant, cos θ est positif.

cos θ = √21/5

Nous savons que,

tan θ = péché θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

bronzage θ = 2√21 /21

Ainsi, la valeur de tan θ lorsque sin θ = 2/5 et θ est dans le premier quadrant est (2√21) /(21)

Exemple 2 : Trouvez la valeur de tan x si sec x = 13/12 et x est le quatrième angle du quadrant.

Solution:

Étant donné, sec x = 13/12

Des identités pythagoriciennes, nous avons,

seconde²x – donc²x = 1

donc²x = seconde²x – 1= (13/12)²- 1

donc²x = (169/144) – 1= 25/144

bronzage x = ± 5/12

Puisque x est le quatrième angle du quadrant, tan x est négatif.

bronzage x = – 5/12

Ainsi, bronzage x = – 5/12

Exemple 3 : Si tan X = 2/3 et tan Y = 1/2, alors quelle est la valeur de tan (X + Y) ?

Solution:

Donné,

bronzage X = 2/3 et bronzage Y = 1/2

Nous savons que,

bronzage (X + Y) = (bronzage X + bronzage Y)/(1 – bronzage X bronzage Y)

bronzage (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Ainsi, bronzage (X + Y) = 7/4

Exemple 4 : Calculez la fonction tangente si les côtés adjacents et opposés d'un triangle rectangle mesurent respectivement 4 cm et 7 cm.

Solution:

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Donné,

Côté adjacent = 4 cm

Côté opposé = 7 cm

Nous savons que,

tan θ = Côté opposé/Côté adjacent

bronzage θ = 7/4 = 1,75

Ainsi, bronzage θ = 1,75

Exemple 5 : Un homme regarde une tour d'horloge à un angle de 60° par rapport au sommet de la tour, dont la hauteur est de 100 m. Quelle est la distance entre l’homme et le pied de la tour ?

Solution:

Donné,

Hauteur de la tour = 100 m et θ = 60°

Soit la distance entre l'homme et le pied de la tour = d

Nous avons,

tan θ = Côté opposé/Côté adjacent

bronzage 60° = 100/j

√3 = 100/j [Depuis, donc 60° = √3]

d = 100/√3

La distance entre l’homme et le pied de la tour est donc 100/√3

Exemple 6 : Trouvez la valeur de tan θ si sin θ = 7/25 et sec θ = 25/24.

Solution:

Donné,

péché θ = 7/25

sec θ = 25/24

Nous savons que,

sec θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Nous avons,

tan θ = péché θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 7/24

Ainsi, bronzage θ = 7/24

Exemple 7 : Trouvez la valeur de tan θ si cosec θ = 5/3 et θ est le premier angle du quadrant.

Solution:

Étant donné, cosec θ = 5/3

Des identités pythagoriciennes, nous avons,

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cosec²θ – lit bébé²θ = 1

lit bébé²θ = cosec²je – 1

lit bébé θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

lit bébé θ = ±√16/9 = ± 4/3

Puisque θ est le premier angle du quadrant, les fonctions cotangentes et tangentes sont positives.

lit bébé θ = 4/3

Nous savons que,

lit bébé θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tanθ

bronzage θ = 3/4

Ainsi, bronzage θ = 3/4

Exemple 8 : Trouvez tan 3θ si sin θ = 3/7 et θ est le premier angle du quadrant.

Solution :

Étant donné, sin θ = 12/13

Des identités pythagoriciennes que nous avons,

sans²θ + cos²θ = 1

parce que²θ = 1 – péché²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Puisque θ est le premier angle du quadrant, cos θ est positif.

cos θ = 5/13

Nous savons que,

tan θ = péché θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Par conséquent, tan θ = 12/5

Maintenant, nous le savons,

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

bronzage 3θ = 3 × (12/5)