Sin, Cos et Tan sont les rapports de base de la trigonométrie utilisés pour étudier la relation entre les angles et les côtés respectifs d'un triangle. Ces rapports sont initialement définis sur un triangle rectangle à l'aide du théorème de Pythagore.
Sin Cos Tan en trigonométrie
Comprenons Sin, Cos et Tan en trigonométrie à l'aide de formules et d'exemples.
Un triangle qui a un angle de 90° est appelé triangle rectangle. Il a des côtés appelés base, perpendiculaire (hauteur) et hypoténuse. Le triangle rectangle suit le théorème de Pythagore.
| Terme | Définition |
|---|---|
| Base | Le côté qui contient l’angle s’appelle la base du triangle. |
| Perpendiculaire | Le côté qui forme 90° avec la base est appelé perpendiculaire ou hauteur du triangle. |
| Hypoténuse | Le côté le plus long du triangle s’appelle l’hypoténuse du triangle. |
Sin, Cos et Tan sont les rapports des côtés de tout triangle rectangle. Dans le triangle rectangle ABC donné ci-dessus pour l'angle C, Sin, Cos et Tan sont :
- Sin C = Perpendiculaire / Hypoténuse = AB / CA
- Cos C = Base / Hypoténuse = BC / CA
- Tan C = Perpendiculaire / Base = AB / BC
Sans valeurs Cos Tan
Les valeurs Sin, Cos et Tan sont la valeur d'angles spécifiques d'un triangle rectangle. Dans formules de trigonométrie , les valeurs de Sin, Cos et Tan sont différentes pour différentes valeurs d'angles dans le triangle. Pour chaque angle spécifique, les valeurs de sin, cos et tan correspondent au rapport fixe entre les côtés.
Nous comprendrons les formules Sin Cos Tan plus loin dans l’article.
Formules de bronzage Sin Cos
Les fonctions Sin, Cos et Tan sont définies comme les rapports des côtés (opposés, adjacents et hypoténuse) d'un triangle rectangle. Les formules de tout angle θ sin, cos et tan sont :
- sin θ = Opposé/Hypoténuse
- cos θ = Adjacent/Hypotenuse
- tan θ = Opposite/Adjacent
Il existe trois autres fonctions trigonométriques réciproques de sin, cos et tan qui sont respectivement cosec, sec et cot, donc
- cosec θ = 1 / sin θ = Hypotenuse / Opposite
- sec θ = 1 / cos θ = Hypotenuse / Adjacent
- lit bébé θ = 1 / beige θ = Adjacent / Opposé
Fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques sont également appelées rapports trigonométriques. Il existe trois fonctions trigonométriques de base et importantes : sinus, cosinus et tangente.
- La fonction trigonométrique sinusoïdale s'écrit sans , cosinus comme parce que, et tangent comme donc en trigonométrie.
- Il existe trois autres fonctions trigonométriques : cosec , seconde , et lit bébé, qui sont les réciproques de la sans , parce que, et donc .
- Ces fonctions peuvent être évaluées pour le triangle rectangle.
Soit un triangle rectangle de base b, de perpendiculaire p et d'hypoténuse h formant un angle θ avec la base. Alors les fonctions trigonométriques sont données par :
| Fonctions trigonométriques | Formule des fonctions trigonométriques |
|---|---|
| péché je |
|
| cos θ |
|
| tan θ = péché θ/cos θ |
|
| cosecθ = 1/sin θ |
|
| secθ = 1/cosθ |
|
| cotθ = 1/tan θ |
|
Astuce pour se souvenir du ratio péché, cos et bronzage
| Déclaration à retenir | Certaines personnes ont les cheveux noirs et bouclés pour produire de la beauté |
|---|---|
| Certaines personnes ont | sinθ (certains) = perpendiculaire (personnes)/hypoténuse (avoir) |
| des cheveux noirs bouclés | cosθ (bouclé) = base (noir)/hypoténuse (cheveux) |
| produire de la beauté | tanθ (à) = perpendiculaire (produire)/base (beauté) |
Tableau des valeurs Sin Cos Tan
En trigonométrie, nous avons des angles de base de 0°, 30°, 45°, 60° et 90°. Le tableau trigonométrique ci-dessous donne la valeur des fonctions trigonométriques pour les angles de base :
| je | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sans | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| parce que | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| donc | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∞ |
| cosec | ∞ | 2 | √2 | 23 | 1 |
| seconde | 1 | 23 | √2 | 2 | ∞ |
| lit bébé | ∞ | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
Tableau Péché, Cos, Donc
- Les fonctions sinus et cosécantes sont positives dans les premier et deuxième quadrants et négatives dans les troisième et quatrième quadrants.
- Les fonctions cosinus et sécante sont positives dans les premier et quatrième quadrants et négatives dans les deuxième et troisième quadrants.
- Les fonctions tangente et cotangente sont positives dans les premier et troisième quadrants et négatives dans les deuxième et quatrième quadrants.
| Degrés | Quadrant | Signe de péché | Signe de cos | Signe de bronzage | Signe du cosec | Signe de sec | Signe de lit bébé |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0° à 90° | 1Stquadrant | +(positif) | +(positif) | +(positif) | +(positif) | +(positif) | +(positif) |
| 90° à 180° | 2sdquadrant | +(positif) | -(négatif) | -(négatif) | +(positif) | -(négatif) | -(négatif) |
| 180° à 270° | 3rdquadrant | -(négatif) | -(négatif) | +(positif) | -(négatif) | -(négatif) | +(positif) |
| 270° à 360° | 4èmequadrant | -(négatif) | +(positif) | -(négatif) | -(négatif) | +(positif) | -(négatif) |
Identités réciproques
Une fonction cosécante est la fonction réciproque de la fonction sinus et vice versa. De même, la fonction sécante est la fonction réciproque de la fonction cosinus, et la fonction cotangente est la fonction réciproque de la fonction tangente.
- péché θ = 1/cosec θ
- cos θ = 1/sec θ
- bronzage θ = 1/lit bébé θ
- cosec θ = 1/sin θ
- sec θ = 1/cos θ
- lit bébé θ = 1/tan θ
Identités pythagoriciennes
Les identités de Pythagore des fonctions trigonométriques sont :
- sans2θ + cos2θ = 1
- seconde2θ – donc2θ = 1
- cosec2θ – lit bébé2θ = 1
Identité à angle négatif
L'angle négatif d'une fonction cosinus est toujours égal au cosinus positif de l'angle, tandis que l'angle négatif de la fonction sinus et tangente est égal au sinus négatif et à la tangente de l'angle.
- péché (– θ) = – péché θ
- cos (– θ) = cos θ
- bronzage (– θ) = – bronzage θ
Vérifiez également
- Théorème de Pythagore
- Tableau trigonométrique
- Rapports trigonométriques
- Identités trigonométriques
Exemples résolus sur la formule tangente sinus cosinus
Résolvons quelques exemples de questions sur les valeurs Sin Cos Tan.
Exemple 1 : Les côtés du triangle rectangle ont pour base = 3 cm, perpendiculaire = 4 cm et hypoténuse = 5 cm. Trouvez la valeur de sin θ, cos θ et tan θ.
Solution:
Étant donné que,
Socle (B) = 3 cm,
Perpendiculaire (P)= 4 cm
hypoténuse (H) = 5 cm
À partir de la formule des fonctions trigonométriques :
sinθ = P/H = 4/5
cosθ = B/H = 3/5
tanθ = P/H = 4/3
Exemple 2 : Les côtés du triangle rectangle ont pour base = 3 cm, perpendiculaire = 4 cm et hypoténuse = 5 cm. Trouvez la valeur de cosecθ, secθ et cotθ.
Solution:
Sachant que, Base(b) = 3 cm, Perpendiculaire (p)= 4 cm et hypoténuse(h) = 5 cm
À partir de la formule des fonctions trigonométriques :
cosecθ = 1/sinθ = H / P = 5/4
secθ = 1/cosθ = H / B= 5/3
cotθ = 1/tanθ = B / P = 3/4
Exemple 3 : Trouvez θ si la base = √3 et la perpendiculaire = 1 d'un triangle rectangle.
Solution:
Puisque la perpendiculaire et la base du triangle rectangle sont données, tan θ est utilisé.
tan θ = perpendiculaire/base
bronzage θ = 1/√3
θ = bronzage-1(1/√3) [du tableau trigonométrique]
θ = 30°
Exemple 4 : Trouvez θ si la base = √3 et l'hypoténuse = 2 d'un triangle rectangle.
Solution:
pile Java
Puisque la base et l’hypoténuse du triangle rectangle sont données, cosθ est utilisé.
cos θ = base / hypotenuse
cos θ = √3/2
θ = cos-1(√3/2) [du tableau trigonométrique]
= 30°
Tangente sinus cosinus - FAQ
1. Quelles sont les valeurs de sin 60°, cos 60° et tan 60° ?
Les valeurs de sin 60°, cos 60° et tan 60° sont,
- péché 60° = √3/2
- cos 60° = 1/2
- bronzage 60° = √3
2. Quelle est la valeur de sin 90° ?
La valeur de sin 90° est 1.
3. Quel angle en cos donne la valeur 0 ?
L'angle en cos donne la valeur 0 soit 90° car cos 90° = 0
4. Comment trouver la valeur de tan en utilisant sin et cos ?
La valeur du tan θ est donnée par la formule,
- tan θ = péché θ/cos θ