La logique propositionnelle est une branche des mathématiques qui étudie les relations logiques entre les propositions (ou déclarations, phrases, assertions) prises dans leur ensemble et reliées via des connecteurs logiques.

Dans cet article, nous avons abordé en détail la logique propositionnelle et les sujets connexes.

Table des matières

• Qu’est-ce que la logique ?
• Logique propositionnelle
• Table de vérité
• 1. Négation
• 2. Conjonction
• 3. Disjonction
• 4. Exclusif ou
• 5. Conséquences
• 6. Biconditionnel ou double implication

Qu’est-ce que la logique ?

La logique est la base de tout raisonnement mathématique et de tout raisonnement automatisé. Les règles de logique précisent la signification des énoncés mathématiques. Ces règles nous aident à comprendre et à raisonner des affirmations telles que :

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Ce qui signifie en anglais simple Il existe un entier qui n'est pas la somme de deux carrés .

Importance de la logique mathématique

Les règles de la logique donnent un sens précis aux énoncés mathématiques. Ces règles sont utilisées pour faire la distinction entre les arguments mathématiques valides et invalides. Outre son importance dans la compréhension du raisonnement mathématique, la logique a de nombreuses applications en informatique, allant de la conception de circuits numériques à la construction de programmes informatiques et à la vérification de l'exactitude des programmes.

Logique propositionnelle

Qu'est-ce qu'une proposition ? Une proposition est l’élément de base de la logique. Il est défini comme une phrase déclarative qui est soit vraie, soit fausse, mais pas les deux. Le Valeur de vérité d'une proposition est Vrai(noté T) s'il s'agit d'une déclaration vraie, et Faux(noté F) s'il s'agit d'une fausse déclaration. Par exemple,

1. Le soleil se lève à l'Est et se couche à l'Ouest.
2. 1 + 1 = 2
3. « b » est une voyelle.

Toutes les phrases ci-dessus sont des propositions, où les deux premières sont Valides (Vrai) et la troisième est Invalide (Faux). Certaines phrases qui n'ont pas de valeur de vérité ou qui peuvent en avoir plusieurs ne sont pas des propositions. Par exemple,

1. Quelle heure est-il?
2. Sortez et jouez
3. x + 1 = 2

Les phrases ci-dessus ne sont pas des propositions car les deux premières n’ont pas de valeur de vérité et la troisième peut être vraie ou fausse. Pour représenter des propositions, variables propositionnelles sont utilisés. Par convention, ces variables sont représentées par des petits alphabets tels quep,:q,:r,:s . Le domaine de la logique qui traite des propositions est appelé calcul propositionnel ou logique propositionnelle . Cela implique également de produire de nouvelles propositions à partir de celles existantes. Les propositions construites à partir d'une ou plusieurs propositions sont appelées propositions composées . Les propositions sont combinées entre elles en utilisant Connecteurs logiques ou Opérateurs logiques .

Logique propositionnelle

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Table de vérité

Puisque nous avons besoin de connaître la valeur de vérité d'une proposition dans tous les scénarios possibles, nous considérons toutes les combinaisons possibles des propositions qui sont reliées entre elles par des connecteurs logiques pour former la proposition composée donnée. Cette compilation de tous les scénarios possibles sous forme de tableau est appelée un table de vérité . Connecteurs logiques les plus courants -

1. Négation

Sip est une proposition, alors la négation dep est noté par eg p , qui, traduit en anglais simple, signifie : Il n'est pas vrai que p ou tout simplement pas p . La valeur de vérité de -p est l'opposé de la valeur de vérité de p . La table de vérité de -p est:

Exemple, La négation de Il pleut aujourd'hui, n'est-il pas vrai qu'il pleut aujourd'hui ou simplement Il ne pleut pas aujourd'hui.

2. Conjonction

Pour deux propositions quelconquesp etq , leur conjonction est notéepwedge q , ce qui signifiep etq . La conjonctionpwedge q est vrai quand les deuxp etq sont vrais, sinon faux. La table de vérité depwedge q est:

Exemple, Conjonction des propositionsp – Aujourd’hui c’est vendredi etq - Il pleut aujourd'hui,pwedge q Aujourd'hui, c'est vendredi et il pleut aujourd'hui. Cette proposition est vraie uniquement les vendredis pluvieux et est fausse tout autre jour de pluie ou les vendredis où il ne pleut pas.

3. Disjonction

Pour deux propositions quelconquesp etq , leur disjonction est notéepvee q , ce qui signifiep ouq . La disjonctionpvee q est vrai quand soitp ouq est vrai, sinon faux. La table de vérité depvee q est:

Exemple, Disjonction des propositionsp – Aujourd’hui c’est vendredi etq - Il pleut aujourd'hui,pvee q est Aujourd'hui, c'est vendredi ou il pleut aujourd'hui. Cette proposition est vraie n'importe quel jour qui est un vendredi ou un jour de pluie (y compris les vendredis pluvieux) et est fausse n'importe quel jour autre que le vendredi lorsqu'il ne pleut pas non plus.

4. Exclusif ou

Pour deux propositions quelconquesp etq , leur exclusivité ou est désigné parpoplus q , ce qui signifie soitp ouq mais pas les deux. L'exclusivité oupoplus q est vrai quand soitp ouq est vrai et faux lorsque les deux sont vrais ou que les deux sont faux. La table de vérité depoplus q est:

Exemple, Exclusif ou des propositionsp – Aujourd’hui c’est vendredi etq - Il pleut aujourd'hui,poplus q Soit nous sommes vendredi, soit il pleut aujourd'hui, mais pas les deux. Cette proposition est vraie n'importe quel jour qui est un vendredi ou un jour de pluie (à l'exclusion des vendredis pluvieux) et est fausse tout autre jour que le vendredi lorsqu'il ne pleut pas ou qu'il ne pleut pas les vendredis.

5. Conséquences

Pour deux propositions quelconquesp etq , la déclaration sip alorsq s'appelle une implication et elle est notéep ightarrow q . Dans l'implicationp ightarrow q ,p s'appelle le hypothèse ou antécédent ou prémisse etq s'appelle le conclusion ou conséquence . L'implication estp ightarrow q est aussi appelé un instruction conditionnelle . L'implication est fausse quandp est vrai etq est faux sinon c'est vrai. La table de vérité dep ightarrow q est:

On pourrait se demander pourquoip ightarrow q vrai quandp c'est faux. C'est parce que l'implication garantit que lorsquep etq sont vrais, alors l'implication est vraie. Mais l'implication ne garantit rien lorsque la prémissep c'est faux. Il n'y a aucun moyen de savoir si l'implication est fausse ou non puisquep ne s'est pas passé. Cette situation est similaire à la position Innocent jusqu’à preuve du contraire, ce qui signifie que l’implicationp ightarrow q est considéré comme vrai jusqu'à preuve du contraire. Puisque nous ne pouvons pas appeler l'implicationp ightarrow q faux quandp est faux, notre seule alternative est de dire que c'est vrai.

Cela découle du Principe d'explosion qui dit : Une déclaration fausse implique n'importe quoi. Les déclarations conditionnelles jouent un rôle très important dans le raisonnement mathématique, c'est pourquoi une variété de terminologie est utilisée pour exprimerp ightarrow q , dont certains sont répertoriés ci-dessous.

Si p, alors qp est suffisant pour qq lorsque pa la condition nécessaire pour p est qp seulement si qq sauf si ≠pq découle de p

Exemple, Si c'est vendredi alors il pleut aujourd'hui c'est une proposition qui est de la formep ightarrow q . La proposition ci-dessus est vraie si ce n'est pas vendredi (la prémisse est fausse) ou si c'est vendredi et qu'il pleut, et elle est fausse quand c'est vendredi mais qu'il ne pleut pas.

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6. Biconditionnel ou double implication

Pour deux propositions quelconquesp etq , la déclarationp si et seulement si(si)q est appelé un biconditionnel et il est notépleftrightarrow q . La déclarationpleftrightarrow q est aussi appelé un bi-implication .pleftrightarrow q a la même valeur de vérité que(p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) L'implication est vraie lorsquep etq ont les mêmes valeurs de vérité et sont faux sinon. La table de vérité depleftrightarrow q est:

Quelques autres façons courantes d'exprimerpleftrightarrow q sont:

p est nécessaire et suffisant pour qif p alors q, et réciproquementp si q

Exemple, il pleut aujourd'hui si et seulement si c'est vendredi aujourd'hui. est une proposition qui est de la formepleftrightarrow q . La proposition ci-dessus est vraie si ce n'est pas vendredi et qu'il ne pleut pas ou si c'est vendredi et qu'il pleut, et elle est fausse quand ce n'est pas vendredi ou qu'il ne pleut pas. Exercice:

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1) Considérez les affirmations suivantes :

• P : Les bons téléphones portables ne sont pas bon marché.
• Q : Les téléphones mobiles bon marché ne sont pas bons.
• L : P implique Q
• M : Q implique P
• N : P est équivalent à Q

Lequel des énoncés suivants concernant L, M et N est CORRECT ? (Gate 2014)

(UN) Seul L est VRAI.

(B) Seul M est VRAI.

(C) Seul N est VRAI.

(D) L, M et N sont VRAI.

Pour la solution, voir PORTE | PORTE-CS-2014-(Ensemble-3) | Question 11

2) Lequel des énoncés suivants n’est pas équivalent à p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

Pour la solution, voir PORTE | PORTE-CS-2015 (Ensemble 1) | Question 65