La permutation et la combinaison sont les concepts les plus fondamentaux des mathématiques et avec ces concepts, une nouvelle branche des mathématiques est présentée aux étudiants, à savoir la combinatoire. La permutation et la combinaison sont les moyens d'organiser un groupe d'objets en les sélectionnant dans un ordre spécifique et en formant leurs sous-ensembles.

Pour organiser les groupes de données dans un ordre spécifique, des formules de permutation et de combinaison sont utilisées. La sélection de données ou d'objets dans un certain groupe est appelée permutation, tandis que l'ordre dans lequel ils sont disposés est appelé combinaison.

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Permutations et combinaisons

Dans cet article, nous étudierons le concept de permutation et de combinaison et leurs formules, en les utilisant également pour résoudre de nombreux exemples de problèmes.

Table des matières

• Signification des permutations
• Signification de la combinaison
• Dérivation de formules de permutation et de combinaison
• Différence entre permutation et combinaison
• Exemples résolus sur la permutation et la combinaison

Signification des permutations

La permutation est l'interprétation distincte d'un nombre donné de composants portés un par un, ou certains, ou tous à la fois. Par exemple, si nous avons deux composantes A et B, alors il y a deux performances probables, AB et BA.

Un nombre de permutations lorsque les composants « r » sont positionnés sur un total de « n » composants est ⁿ P. _r . Par exemple, soit n = 3 (A, B et C) et r = 2 (toutes les permutations de taille 2). Ensuite il y a ³ P. ₂ de telles permutations, ce qui est égal à 6. Ces six permutations sont AB, AC, BA, BC, CA et CB. Les six permutations de A, B et C prises trois à la fois sont présentées dans l'image ajoutée ci-dessous :

Signification des permutations

Formule de permutation

Formule de permutation est utilisé pour trouver le nombre de façons de choisir r les choses hors de n différentes choses dans un ordre spécifique et le remplacement n’est pas autorisé et est donné comme suit :

Formule de permutation

Explication de la formule de permutation

Comme nous le savons, la permutation est un arrangement de r choses sur n où l'ordre d'arrangement est important (AB et BA sont deux permutations différentes). S'il y a trois chiffres différents 1, 2 et 3 et si quelqu'un est curieux de permuter les chiffres en prenant 2 à un moment, cela montre (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3 ), (3, 1) et (3, 2). Autrement dit, cela peut être accompli de 6 manières.

Ici, (1, 2) et (2, 1) sont distincts. Encore une fois, si ces 3 chiffres doivent être manipulés en même temps, alors les interprétations seront (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1). ), (3, 1, 2) et (3, 2, 1) soit de 6 manières.

En général, n choses distinctes peuvent être définies en prenant r (r^èmechose peut être n’importe laquelle des n – (r – 1) choses restantes.

Par conséquent, le nombre total de permutations de n choses distinctes portant r à la fois est n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)] qui s’écritⁿP._r. Ou, en d'autres termes,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Signification de la combinaison

Il s'agit des sections distinctes d'un nombre partagé de composants transportés un par un, ou certains, ou tous à la fois. Par exemple, s’il y a deux composants A et B, alors il n’y a qu’une seule façon de sélectionner deux éléments : sélectionnez-les tous les deux.

Par exemple, soit n = 3 (A, B et C) et r = 2 (toutes les combinaisons de taille 2). Ensuite il y a ³ C ₂ de telles combinaisons, ce qui est égal à 3. Ces trois combinaisons sont AB, AC et BC.

Ici le combinaison de deux lettres sur trois lettres A, B et C est illustré ci-dessous, nous remarquons que dans la combinaison, l'ordre dans lequel A et B sont pris n'est pas important car AB et BA représentent la même combinaison.

Signification de la combinaison

Note: Dans le même exemple, nous avons des points distincts pour la permutation et la combinaison. Car AB et BA sont deux éléments distincts, c'est-à-dire deux permutations distinctes, mais pour la sélection, AB et BA sont identiques, c'est-à-dire la même combinaison.

Formule combinée

La formule combinée est utilisée pour choisir les composants « r » parmi un nombre total de composants « n » et est donnée par :

Formule combinée

En utilisant la formule ci-dessus pour r et (n-r), nous obtenons le même résultat. Ainsi,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Explication de la formule combinée

La combinaison, en revanche, est une sorte de pack. Encore une fois, sur ces trois nombres 1, 2 et 3, si des ensembles sont créés avec deux nombres, alors les combinaisons sont (1, 2), (1, 3) et (2, 3).

Ici, (1, 2) et (2, 1) sont identiques, contrairement aux permutations où ils sont distincts. Ceci s'écrit comme³C₂. En général, le nombre de combinaisons de n choses distinctes prises r à la fois est :

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Dérivation de formules de permutation et de combinaison

Nous pouvons dériver ces formules de permutation et de combinaison en utilisant les méthodes de comptage de base car ces formules représentent la même chose. La dérivation de ces formules est la suivante :

Formule de dérivation des permutations

La permutation consiste à sélectionner r objets distincts parmi n objets sans remplacement et où l'ordre de sélection est important, par le théorème fondamental du comptage et la définition de la permutation, nous obtenons

P (n, r) = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). . . . .(n-(r+1))

En multipliant et en divisant ci-dessus avec (n-r) ! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2.1, on obtient

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Ainsi, la formule pour P (n, r) est dérivée.

Formule de dérivation de combinaisons

La combinaison consiste à choisir r éléments parmi n éléments lorsque l’ordre de sélection n’a aucune importance. Sa formule est calculée comme suit :

C(n, r) = Nombre total de permutations / Nombre de façons d'organiser r différents objets.
[Puisque par le théorème fondamental du comptage, nous savons que nombre de façons d'arranger r objets différents de r façons = r !]

C(n,r) = P (n,r)/r !

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Ainsi, la formule de la combinaison, c'est-à-dire C(n, r), est dérivée.

Différence entre permutation et combinaison

Différences entre permutation et combinaison peut être compris par le tableau suivant :

Vérifiez également,

• Théorème du binôme
• Développement binomial
• Variables aléatoires binomiales
• Théorème fondamental du comptage

Exemples résolus sur la permutation et la combinaison

Exemple 1 : Trouver le nombre de permutations et de combinaisons de n = 9 et r = 3 .

Solution:

Étant donné, n = 9, r = 3

En utilisant la formule donnée ci-dessus :

Pour les permutations :

ⁿP._r= (n!) / (n – r)!

⇒ⁿP._r= (9 !) / (9 – 3) !

⇒ⁿP._r= 9 ! /6! = (9 × 8 × 7 × 6 ! )/ 6 !

⇒ ⁿ P. _r = 504

Pour la combinaison :

ⁿC_r= n!/r!(n − r)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(6)!

⇒ⁿC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ⁿ C _r = 84

Exemple 2 : De combien de manières un comité composé de 4 hommes et 2 femmes peut-il être choisi parmi 6 hommes et 5 femmes ?

Solution:

Choisissez 4 hommes sur 6 hommes =⁶C₄façons = 15 façons

Choisissez 2 femmes sur 5 femmes =⁵C₂façons = 10 façons

Le comité peut être choisi en⁶C₄×⁵C₂= 150 façons.

Exemple 3 : De combien de façons peut-on disposer 5 livres différents sur une étagère ?

Solution:

Il s’agit d’un problème de permutation car l’ordre des livres compte.

En utilisant la formule de permutation, on obtient :

⁵P.₅= 5 ! / (5 – 5) ! = 5 ! /0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Il existe donc 120 façons de disposer 5 livres différents sur une étagère.

Exemple 4 : Combien de mots de 3 lettres peut-on former à partir des lettres du mot FABLE ?

Solution:

Il s'agit d'un problème de permutation car l'ordre des lettres compte.

En utilisant la formule de permutation, on obtient :

⁵P.₃= 5 ! / (5 – 3) ! = 5 ! /2 ! = 5 x 4 x 3 = 60

Il y a donc 60 mots de 3 lettres qui peuvent être formés en utilisant les lettres du mot FABLE.

Exemple 5 : Un comité de 5 membres doit être formé à partir d'un groupe de 10 personnes. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

Solution:

Il s’agit d’un problème de combinaison car l’ordre des membres n’a pas d’importance.

En utilisant la formule de combinaison, nous obtenons :

^dixC₅= 10 ! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5 ! x 5 !)

⇒^dixC₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

"Quelle est la différence entre un lion et un tigre"

Il existe donc 252 façons de former un comité de 5 membres à partir d’un groupe de 10 personnes.

Exemple 6 : Une pizzeria propose 4 garnitures différentes pour ses pizzas. Si un client souhaite commander une pizza avec exactement 2 garnitures, de combien de manières peut-il le faire ?

Solution:

Il s’agit d’un problème de combinaison car l’ordre des garnitures n’a pas d’importance.

En utilisant la formule de combinaison, nous obtenons :

⁴C₂= 4 ! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Il existe donc 6 façons de commander une pizza avec exactement 2 garnitures parmi 4 garnitures différentes.

Exemple 7 : Combien de mots peut-on créer en utilisant 2 lettres du terme LOVE ?

Solution:

Le terme AMOUR comporte 4 lettres distinctes.

Par conséquent, nombre de mots requis =⁴P.₂= 4 ! / (4 – 2) !

Nombre de mots requis = 4 ! /2 ! = 24/2

⇒ Nombre de mots requis = 12

Exemple 8 : Sur 5 consonnes et 3 voyelles, combien de mots de 3 consonnes et 2 voyelles peuvent être formés ?

Solution:

Nombre de façons de choisir 3 consonnes parmi 5 =⁵C₃

Nombre de façons de choisir 2 voyelles parmi 3 =³C₂

Nombre de façons de choisir 3 consonnes parmi 2 et 2 voyelles parmi 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Nombre requis = 10 × 3

= 30

Cela signifie que nous pouvons avoir 30 groupes où chaque groupe contient un total de 5 lettres (3 consonnes et 2 voyelles).

Nombre de façons de disposer 5 lettres entre elles

= 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Par conséquent, le nombre de voies requis = 30 × 120

⇒ Nombre de voies requis = 3600

Exemple 9 : Combien de combinaisons différentes obtenez-vous si vous avez 5 éléments et en choisissez 4 ?

Solution:

Insérez les nombres donnés dans l’équation des combinaisons et résolvez. n est le nombre d'éléments contenus dans l'ensemble (5 dans cet exemple) ; r est le nombre d'éléments que vous choisissez (4 dans cet exemple) :

C(n,r) = n! /r! (n-r) !

⇒ⁿC_r= 5 ! /4 ! (5-4) !

⇒ⁿC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒ⁿC_r= 120/24

⇒ⁿC_r= 5

La solution est 5.

alphabet avec des chiffres

Exemple 10 : Sur 6 consonnes et 3 voyelles, combien d'expressions de 2 consonnes et 1 voyelle peut-on créer ?

Solution:

Nombre de façons de sélectionner 2 consonnes parmi 6 =⁶C₂

Nombre de façons de sélectionner 1 voyelle parmi 3 =³C₁

Nombre de façons de sélectionner 3 consonnes parmi 7 et 2 voyelles parmi 4.

⇒ Voies requises =⁶C₂׳C₁

⇒ Voies requises = 15 × 3

⇒ Voies requises = 45

Cela signifie que nous pouvons avoir 45 groupes où chaque groupe contient un total de 3 lettres (2 consonnes et 1 voyelle).

Nombre de façons de disposer 3 lettres entre elles = 3 ! = 3 × 2 × 1

⇒ Manières requises pour arranger trois lettres = 6

Par conséquent, le nombre de voies requis = 45 × 6

⇒ Voies requises = 270

Exemple 11 : Sous combien de formes distinctes les lettres du terme « TÉLÉPHONE » peuvent-elles être organisées de manière à ce que les voyelles soient cohérentes ? venir ensemble ?

Solution:

Le mot « TÉLÉPHONE » comporte 5 lettres. Il contient les voyelles « O », « E » et ces 2 voyelles doivent systématiquement venir ensemble. Ainsi ces deux voyelles peuvent être regroupées et considérées comme une seule lettre. Autrement dit, PHN(OE).

On peut donc prendre un total de lettres comme 4 et toutes ces lettres sont distinctes.

Nombre de méthodes pour organiser ces lettres = 4 ! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Méthodes requises pour arranger les lettres = 24

Les 2 voyelles (OE) sont toutes distinctes.

Nombre de façons de disposer ces voyelles entre elles = 2 ! = 2 × 1

⇒ Manières requises pour organiser les voyelles = 2

Par conséquent, le nombre de voies requis = 24 × 2

parcours de précommande d'un arbre

⇒ Voies requises = 48.

FAQ sur les permutations et les combinaisons

Quelle est la formule factorielle ?

La formule factorielle est utilisée pour le calcul des permutations et des combinaisons. La formule factorielle pour n! est donné comme

n! = n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

Par exemple, 3 ! = 3 × 2 × 1 = 6 et 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Qu'est-ce que ⁿ C _r représenter?

ⁿC_rreprésente le nombre de combinaisons pouvant être faites à partir de n objets prenant r à la fois.

Qu'entendez-vous par permutations et combinaisons ?

Une permutation est un acte consistant à organiser les choses dans un ordre spécifique. Les combinaisons sont les moyens de sélectionner r objets d'un groupe de n objets, où l’ordre de l’objet choisi n’affecte pas la combinaison totale.

Écrivez des exemples de permutations et de combinaisons.

Nombre de mots de 3 lettres qui peuvent être formés en utilisant les lettres du mot dit BONJOUR ;⁵P.₃= 5!/(5-3)! c'est un exemple de permutation.
Nombre de combinaisons avec lesquelles nous pouvons écrire les mots en utilisant les voyelles du mot HELLO ;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], ceci est un exemple de combinaison.

Écrivez la formule pour trouver des permutations et des combinaisons.

• Formule de calcul des permutations : ⁿ Pr = n!/(n-r)!
• Formule de calcul des combinaisons : ⁿ Cr = n!/[r! (n-r) !]

Écrivez quelques exemples concrets de permutations et de combinaisons.

Le tri des personnes, des chiffres, des lettres et des couleurs sont quelques exemples de permutations.
La sélection du menu, des vêtements et des sujets sont des exemples de combinaisons.

Quelle est la valeur de 0 !?

La valeur de 0! = 1, est très utile pour résoudre les problèmes de permutation et de combinaison.