C'est un outil utile, qui décrit complètement l'ordre partiel associé. C’est pourquoi on l’appelle également diagramme de commande. Il est très facile de convertir un graphe orienté d'une relation sur un ensemble A en un diagramme de Hasse équivalent. Par conséquent, lors de l’élaboration d’un diagramme de Hasse, il faut se rappeler les points suivants.
- Les sommets du diagramme de Hasse sont représentés par des points plutôt que par des cercles.
- Puisqu'un ordre partiel est réflexif, chaque sommet de A doit être lié à lui-même, donc les arêtes d'un sommet à lui-même sont supprimées dans le diagramme de Hasse.
- Puisqu’un ordre partiel est transitif, donc chaque fois que aRb, bRc, nous avons aRc. Éliminez toutes les arêtes impliquées par la propriété transitive dans le diagramme de Hasse, c'est-à-dire supprimez l'arête de a à c mais conservez les deux autres arêtes.
- Si un sommet « a » est connecté au sommet « b » par une arête, c'est-à-dire aRb, alors le sommet « b » apparaît au-dessus du sommet « a ». Par conséquent, la flèche peut être omise des bords du diagramme de Hasse.
Le diagramme de Hasse est beaucoup plus simple que le graphe orienté d'ordre partiel.
Exemple: Considérons l'ensemble A = {4, 5, 6, 7}. Soit R la relation ≦ sur A. Dessinez le graphe orienté et le diagramme de Hasse de R.
Solution: La relation ≦ sur l'ensemble A est donnée par
tri par insertion java
R = {{4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {4, 4}, {5, 5} , {6, 6}, {7, 7}}
Le graphe orienté de la relation R est tel que représenté sur la figure :
np.random.rand
Pour dessiner le diagramme de Hasse d'ordre partiel, appliquez les points suivants :
- Supprimez toutes les arêtes impliquées par la propriété réflexive, c'est-à-dire
(4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7) - Supprimez toutes les arêtes impliquées par la propriété transitive, c'est-à-dire
(4, 7), (5, 7), (4, 6) - Remplacez les cercles représentant les sommets par des points.
- Omettez les flèches.
Le diagramme de Hasse est comme indiqué sur la figure :
Limite supérieure : Considérons B comme un sous-ensemble d'un ensemble partiellement ordonné A. Un élément x ∈ A est appelé une limite supérieure de B si y ≦ x pour tout y ∈ B.
Borne inférieure: Considérons B comme un sous-ensemble d'un ensemble partiellement ordonné A. Un élément z ∈ A est appelé une limite inférieure de B si z ≦ x pour tout x ∈ B.
Exemple: Considérons que le poset A = {a, b, c, d, e, f, g} soit ordonné comme indiqué sur la fig. Soit également B = {c, d, e}. Déterminez la limite supérieure et inférieure de B.
Solution: La limite supérieure de B est e, f et g car chaque élément de B est '≦' e, f et g.
Les limites inférieures de B sont a et b car a et b sont '≦' tous les éléments de B.
Java pgm
Limite minimale supérieure (SUPREMUM) :
Soit A un sous-ensemble d'un ensemble partiellement ordonné S. Un élément M dans S est appelé borne supérieure de A si M succède à chaque élément de A, c'est-à-dire si, pour tout x dans A, nous avons x<=m< p>
Si une limite supérieure de A précède toute autre limite supérieure de A, alors elle est appelée le supremum de A et est notée Sup (A)
Plus grande limite inférieure (INFIMUM) :
Un élément m dans un poset S est appelé borne inférieure d'un sous-ensemble A de S si m précède chaque élément de A, c'est-à-dire si, pour chaque y dans A, nous avons m<=y < p>
Si une borne inférieure de A succède à toutes les autres bornes inférieures de A, alors elle est appelée l'infimum de A et est notée Inf (A)
Exemple: Déterminer la plus petite borne supérieure et la plus grande borne inférieure de B = {a, b, c} si elles existent, du poset dont le diagramme de Hasse est représenté sur la fig :
Solution: La plus petite borne supérieure est c.
La plus grande borne inférieure est k.
tuple trié par python