Pour comprendre la négation, nous comprendrons d’abord l’énoncé, qui est décrit comme suit :
La déclaration peut être décrite comme une phrase qui n’est pas une exclamation, un ordre ou une question. Une affirmation ne sera acceptable que si elle est toujours fausse ou toujours vraie. Parfois, nous voulons découvrir le contraire d’une affirmation mathématique donnée. Dans ce cas, la négation sera utilisée. Ainsi, la négation d’un énoncé peut être décrite comme le contraire d’un énoncé donné.
Négation
En mathématiques discrètes, la négation peut être décrite comme un processus permettant de déterminer l'opposé d'un énoncé mathématique donné. Par exemple: Supposons que la déclaration donnée soit « Christen n'aime pas les chiens ». La négation de cette affirmation sera alors l’affirmation « Christen aime les chiens ». S'il existe une instruction X, alors la négation de cette affirmation sera ~X. Le symbole « ~ » ou « ¬ » est utilisé pour représenter la négation. Donc si nous avons une affirmation qui est vraie, alors la négation de cette affirmation sera fausse. Contrairement à cela, si nous avons une affirmation fausse, alors la négation de cette affirmation sera vraie.
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En d’autres termes, la négation peut être décrite comme un refus ou un déni de quelque chose. Si votre sœur pense que vous êtes un menteur et que vous dites le contraire, cette affirmation sera une négation. Il peut également y avoir d'autres déclarations de négation telles que « Je ne tue pas ma femme » et « Je ne connais pas le nom de cette fille ». Lorsque nous essayons de trouver le sens opposé d’une affirmation particulière, nous pouvons facilement le faire en insérant une négation. Les mots de négation peuvent être « non », « non » et « jamais ». Par exemple , nous pouvons faire le contraire de la déclaration « Je joue » simplement en disant « Je ne joue pas ».
Si nous négations de l’énoncé nié, alors l’énoncé général sera l’énoncé original. Nous comprendrons ce concept à l'aide d'un exemple, décrit comme suit :
- Ici, nous supposerons une déclaration : « La population de l'Inde est très grande », qui est représentée par X.
- Ainsi, la négation d'une affirmation donnée sera « La population de l'Inde n'est pas très grande », qui est représentée par ~X.
- La négation de la phrase niée ci-dessus sera « La population de l'Inde est très grande », qui est représentée par ~(~X).
Par conséquent, il est prouvé que la négation de l’énoncé nié sera l’énoncé original donné.
Règles pour obtenir la négation de la déclaration
Il existe différentes règles pour obtenir la négation d'une déclaration, qui sont décrites comme suit :
Tout d’abord, nous devons écrire la déclaration donnée avec le mot « non ». Par exemple , la multiplication de 3 et 5 est 15. La négation d'un énoncé donné est « la multiplication de 3 et 5 n'est pas 15 ».
Si nous avons des types d'instructions contenant « Tous » et « Certains », nous devons alors apporter les modifications appropriées. Par exemple: 'Certaines personnes ne sont pas religieuses'. La négation de cette affirmation est « Tous les gens sont religieux ».
Négation de X ou Y
Pour cela, nous supposerons une déclaration : « Nous sommes soit Bania, soit en bonne santé ». Cette affirmation sera fausse si nous ne pouvons pas être bania et si nous ne pouvons pas être en bonne santé. Le contraire de cette affirmation est de ne pas être Bania ni en bonne santé. Ou si nous voulons réécrire cette déclaration sous la forme d'une déclaration originale, alors nous obtiendrons « Nous ne sommes ni Bania ni en bonne santé ».
Si nous supposons que l'énoncé « Nous sommes Bania » est X et qu'un autre énoncé « Nous sommes en bonne santé » est Y, alors la négation de X et Y sera l'énoncé « Pas X et pas Y ».
En termes généraux, nous obtiendrons également la même déclaration, c'est-à-dire que la négation de X et Y est la déclaration « Pas X et Pas Y ».
Négation de X et Y
Ici, nous prendrons également un exemple pour comprendre cela. Pour cela, nous supposerons une déclaration : « Nous sommes à la fois Bania et en bonne santé ». Cette affirmation serait fausse si nous pouvions ne pas être Bania ou ne pas être en bonne santé. Si nous supposons une déclaration « Nous sommes Bania » comme X, et une autre déclaration « Nous sommes en bonne santé » comme Y, alors la négation de X et Y sera la déclaration « Nous ne sommes pas Bania ou nous ne sommes pas en bonne santé », ou « Pas X ou pas Y'.
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Négation de « Si X, alors Y »
Nous pouvons utiliser une autre instruction, « X et non Y » à la place de l'instruction « Si X, alors Y » afin de pouvoir nier X et Y. Au début, cette instruction remplacée semble déroutante. Pour comprendre cela, nous prendrons un exemple simple, qui nous aidera à comprendre pourquoi c’est la bonne chose à faire.
Pour cela, nous supposerons une affirmation : « Si nous sommes bania, alors nous sommes en bonne santé ». Cette affirmation sera fausse si nous devons être baniens et non en bonne santé. Si nous supposons une déclaration « Nous sommes bania » comme X, et une autre déclaration « Nous sommes en bonne santé » comme Y, alors la négation de X et Y (X ⇒ Y) sera la déclaration « Nous sommes Bania » = X, et « Nous ne sommes pas en bonne santé » = pas Y. En conclusion, la négation de « Si X, alors Y » devient « X et non Y ».
Par exemple: Dans cet exemple, nous considérerons un énoncé mathématique. Nous supposerons donc une affirmation : « Si n est pair, alors n/2 est un entier ». Si nous voulons montrer que cette affirmation est fausse, alors nous voulons déterminer un entier pair n pour lequel n/2 n’était pas un entier. Nous pouvons donc dire que l'énoncé « n est pair et n/2 n'est pas un entier » est l'opposé de l'énoncé donné.
Négation de 'Pour chaque…', 'Il existe….'
En mathématiques discrètes, nous utilisons parfois des expressions telles que « pour chaque », « pour tous », « pour tout » et « il existe ».
Pour cela, nous supposerons une déclaration « Pour tous les entiers n, soit n est pair, soit impair ». Cette phrase est un peu différente de l’autre que nous avons apprise ci-dessus. Cette déclaration peut être décrite sous la forme « Si X, alors Y ». La déclaration ci-dessus peut être reformulée comme suit : « Si n est un nombre entier, alors n est pair ou impair ».
Si nous voulons déterminer le contraire/faux de cette affirmation ou nier cette affirmation, alors nous devons déterminer un entier qui ne sera ni pair ni impair. Il existe d'autres manières de décrire cette affirmation, comme ceci : « Il existe un entier n, de sorte que n n'est pas pair et n n'est pas impair ».
Si nous nions une affirmation impliquée dans les expressions « pour tous », « pour chaque », dans ce cas, cette expression sera remplacée par « il existe ». De même, lorsque nous nions une déclaration impliquée dans l'expression « il existe », dans ce cas, cette expression sera remplacée par « pour tous », « pour chaque ».
Exemple:
Dans cet exemple, nous considérerons une affirmation : « Si tous les banias sont en bonne santé, alors tous les Pendjabis sont minces ». Pour comprendre cela, nous supposerons une déclaration « Si tous les banias sont en bonne santé » comme X, et une autre déclaration « tous les gens du Pendjabi sont minces » comme Y. Nous supposerons cette déclaration sous la forme « Si X, alors Y » . La négation de cette affirmation sera donc sous la forme « X et non Y ». Nous pouvons donc dire que nous devons nier Y. Ainsi, la négation de Y sera la déclaration : « Il existe une personne pendjabi qui n'est pas mince ».
Lorsque nous rassemblons ces déclarations, nous obtiendrons « Tous les banias sont en bonne santé, mais il existe une personne Pendjabi qui n'est pas mince » comme la négation de « Si tous les banias sont en bonne santé, alors tous les Pendjabi sont minces ».
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