Maximas et minima locaux faites référence aux points des fonctions qui définissent la plage la plus élevée et la plus basse de cette fonction. La dérivée de la fonction peut être utilisée pour calculer les maxima locaux et les minima locaux. Les maxima et minima locaux peuvent être trouvés grâce à l'utilisation à la fois du test de dérivée première et du test de dérivée seconde.

Dans cet article, nous discuterons de l'introduction, de la définition et de la terminologie importante des maxima et minima locaux et de leur signification. Nous comprendrons également les différentes méthodes pour calculer les maxima et minima locaux en mathématiques et calcul . Nous résoudrons également divers exemples et proposerons des questions pratiques pour une meilleure compréhension du concept de cet article.

Table des matières

• Que sont les maxima locaux et les minima locaux ?
• Définition des maxima locaux et des minima locaux
• Termes liés aux maxima locaux et aux minima locaux
• Comment trouver les maxima et minima locaux ?
• Exemples sur les maxima locaux et les minima locaux

Que sont les maxima locaux et les minima locaux ?

Les maxima et minima locaux sont appelés valeurs maximales et minimales dans un intervalle spécifique. Un maximum local se produit lorsque les valeurs d'un fonction près d'un point précis sont toujours inférieures aux valeurs de la fonction au même point. Dans le cas des minima locaux, les valeurs d'une fonction près d'un point spécifique sont toujours supérieures aux valeurs de la fonction au même point.

En un sens simple, un point est appelé maximum local lorsque la fonction atteint sa valeur la plus élevée dans un intervalle spécifique, et un point est appelé minimum local lorsque la fonction atteint sa valeur la plus basse dans un intervalle spécifique.

Par exemple, si vous vous rendez dans une zone vallonnée et que vous vous tenez au sommet d’une colline, ce point est appelé point Local Maxima car vous êtes au point le plus élevé de votre environnement. De même, si vous vous trouvez au point le plus bas d'une rivière ou d'une mer, ce point est appelé point minimum local car vous êtes au point le plus bas de votre environnement.

Définition des maxima locaux et des minima locaux

Les maxima et minima locaux sont les valeurs initiales de toute fonction pour avoir une idée de ses limites telles que les valeurs de sortie les plus élevées et les plus basses. Les minima locaux et les maxima locaux sont également appelés extrema locaux.

Maximales locales

Un point Local Maxima est un point sur toute fonction où la fonction atteint sa valeur maximale dans un certain intervalle. Un point (x = a) d'une fonction f (a) est appelé maximum local si la valeur de f(a) est supérieure ou égale à toutes les valeurs de f(x).

listes Java

Mathématiquement, f (a) ≥ f (a -h) et f (a) ≥ f (a + h) où h> 0, alors a est appelé le point maximum local.

Minimums locaux

Un point Minima local est un point sur n'importe quelle fonction où la fonction atteint sa valeur minimale dans un certain intervalle. Un point (x = a) d'une fonction f (a) est appelé minimum local si la valeur de f(a) est inférieure ou égale à toutes les valeurs de f(x).

Mathématiquement, f (a) ≤ f (a -h) et f (a) ≤ f (a + h) où h> 0, alors a est appelé le point minimum local.

Termes liés aux maxima locaux et aux minima locaux

La terminologie importante relative aux maxima et minima locaux est abordée ci-dessous :

Valeur maximum

Si une fonction donne la valeur de sortie maximale pour la valeur d’entrée de x. Cette valeur de x est appelée valeur maximale. S'il est défini dans une plage spécifique. Alors ce point est appelé Maximales locales .

Maximum absolu

Si une fonction donne la valeur de sortie maximale pour la valeur d’entrée de x sur toute la plage de la fonction. Cette valeur de x est appelée Maximum Absolu.

Valeur minimum

Si une fonction donne la valeur de sortie minimale pour la valeur d’entrée de x. Cette valeur de x est appelée valeur minimale. S'il est défini dans une plage spécifique. Alors ce point est appelé Minimums locaux .

Minimum absolu

Si une fonction donne la valeur de sortie minimale pour la valeur d’entrée de x sur toute la plage de la fonction. Cette valeur de x est appelée Minimum Absolu.

Point d'inversion

Si la valeur de x dans la plage d'une fonction donnée n'affiche pas le résultat le plus élevé et le plus bas, on parle de point d'inversion.

Apprendre encore plus, Maxima et minima absolus

Comment trouver les maxima et minima locaux ?

Les maxima locaux et les minima sont déterminés uniquement pour une plage spécifique, il ne s'agit pas du maximum et du minimum pour l'ensemble de la fonction et ne s'appliquent pas à l'ensemble de la plage de la fonction.

Il existe l'approche suivante pour calculer les maxima et minima locaux. Ceux-ci sont:

• Dans un premier temps, nous prenons la dérivée de la fonction.

• Dans la deuxième étape, nous fixons la dérivée égale à zéro et calculons les points critiques pour c.

• Dans la troisième étape, nous utilisons Dérivée première et Test de dérivée seconde pour déterminer les maxima locaux et les minima locaux.

Qu’est-ce que le test de dérivée première ?

Tout d'abord, nous prenons la dérivée première d'une fonction qui donne la pente de la fonction. À mesure que l’on se rapproche d’un point maximum, la pente de la fonction augmente, puis devient nulle au point maximum, puis diminue à mesure qu’on s’en éloigne.

De même au point minimum, à mesure qu'on se rapproche d'un point minimum, la pente de la courbe diminue, puis devient nulle au point minimum, puis augmente à mesure qu'on s'éloigne de ce point.

Prenons une fonction f(x), qui est continue au point critique c, dans un intervalle ouvert I, et f'(c) = 0, signifie la pente au point critique c = 0.

Pour vérifier la nature de f'(x) autour du point critique c, nous avons les conditions suivantes pour déterminer la valeur du maximum et du minimum locaux à partir du test de la dérivée première. Ces conditions sont :

• Si f ′(x) change de signe de positif à négatif à mesure que x augmente via c, alors f(c) montre la valeur la plus élevée de cette fonction dans la plage donnée. Par conséquent, le point c est un point Maxima local, si la dérivée première f '(x)> 0 en tout point suffisamment proche à gauche de c et f' (x) <0 en tout point suffisamment proche à droite de c.

• Si f ′ (x) change de signe de négatif à positif à mesure que x augmente via c, alors f (c) affiche la valeur la plus basse de cette fonction dans la plage donnée. Par conséquent, le point c est un point de minima local, si la dérivée première f '(x) 0 en tout point suffisamment proche de la droite de c.

• Si f'(x) ne change pas de signe de manière significative avec x augmentant via c, alors le point c ne montre pas la valeur la plus élevée (Local Maxima) et la plus basse (Local Minima) de la fonction. Dans ce cas, le point c est appelé point d'inflexion.

En savoir plus sur Premier test de dérivée .

Qu’est-ce que le test de dérivée seconde ?

Le test de la dérivée seconde est utilisé pour connaître la valeur du maximum absolu et du minimum absolu de toute fonction dans un intervalle spécifique. Prenons une fonction f(x), qui est continue au point critique c, dans un intervalle ouvert I, et f'(c) = 0, signifie pente au point critique c = 0. Ici nous prenons la dérivée seconde f (x) de la fonction f(x) qui donne la pente de la fonction.

Pour vérifier la nature de f'(x), nous avons les conditions suivantes pour déterminer la valeur du maximum et du minimum locaux à partir du test de la dérivée seconde. Ces conditions sont :

• Le point c est un point Maxima local, si la dérivée première f'(c) = 0 et la dérivée seconde f(c) <0. Le point à x= c sera le maximum local et f(c) sera la valeur maximale locale de f(x).

• Le point c est un point de minima local, si la dérivée première f'(c) = 0, et f(c) la dérivée seconde> 0. Le point en x= c sera le minima local et f(c) sera le Valeur minimale locale de f(x).

• Le test échoue, si la dérivée première f'(c) = 0 et la dérivée seconde f(c) = 0, alors le point c ne montre pas la valeur la plus élevée (Local Maxima) et la plus basse (Local Minima) de la fonction , Dans ce cas, le point c est appelé point d'inflexion et le point x = c est appelé le Point d'inflexion.

Vérifiez également

• Application de produits dérivés
• Maxima et minima relatifs
• Formule de différenciation et d'intégration

Exemples sur les maxima locaux et les minima locaux

Exemple 1 : Analyser les maxima locaux et les minima locaux de la fonction f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 en utilisant le test de la dérivée première.

Solution:

La fonction donnée est f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

La dérivée première de la fonction est f'(x) = 6x²– 6x – 12, il servira à connaître les points critiques.

Pour trouver le point critique, f'(x) = 0 ;

6x²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Par conséquent, les points critiques sont x = -1 et x = 2.

Analysez le point immédiat de la dérivée première jusqu'au point critique x = -1. Les points sont {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 et f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Le signe de la dérivée est positif vers la gauche de x = -1, et négatif vers la droite. Par conséquent, cela indique que x = -1 est le maximum local.

Analysons maintenant le point immédiat de la dérivée première au point critique x = 2. Les points sont {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 et f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

égalité des objets en Java

Le signe de la dérivée est négatif vers la gauche de x = 2 et positif vers la droite. Par conséquent, cela indique que x = 2 est le minimum local.

Par conséquent, le maximum local est de -1 et le minimum local est de 2.

Exemple 2 : Analyser les maxima locaux et les minima locaux de la fonction f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 en utilisant le test de la dérivée seconde.

Solution:

La fonction donnée est f(x) = -x³+6x²-12x +10

La dérivée première de la fonction est f'(x) = -x³+6x²-12x +10, il servira à connaître les points critiques.

Pour trouver le point critique, f'(x) = 0 ;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

X²– 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

Les points critiques sont donc x = 1 et x = 3

Prenons maintenant une dérivée seconde de la fonction,

f(x) = 6x – 12

Évaluer f(x) au point critique x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, et donc x = 1 correspond aux maxima locaux.

Évaluer f(x) au point critique x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, et donc x = 3 correspond aux minima locaux.

Maintenant, nous allons calculer les valeurs de fonction aux points critiques :

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, donc le maximum local est à (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, donc le maximum local est à (3, 1)

Questions pratiques sur les minimums et maxima locaux

T1. Trouver les maxima locaux et les minima locaux de la fonction f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 en utilisant le test de la dérivée seconde.

Q2. Trouver et analyser les maxima locaux et les minima locaux de la fonction f(x) = – x²+4x -5 en utilisant le test de la dérivée seconde.

Q3. Trouver les maxima locaux et les minima locaux de la fonction f(x) = x²-4x +5 en utilisant le test de dérivée première.

schéma du modèle e-r

Q4. Trouver et analyser les maxima locaux et les minima locaux de la fonction f(x) = 3x²-12x +5 en utilisant le test de dérivée première.

Q5. Trouver et analyser les maxima locaux et les minima locaux de la fonction f(x) = x³– 6x²+9x + 15 en utilisant le test de la dérivée première.

Q6. Trouver et analyser les maxima locaux et les minima locaux de la fonction f(x) = 2x³-9x²+12x +5 en utilisant le test de la dérivée seconde.

Maxima local et minimum local – FAQ

Qu’est-ce que la maxima locale ?

Un point est appelé maximum local lorsque la fonction atteint sa valeur la plus élevée dans un intervalle spécifique.

Comment trouver le maximum local ?

En différenciant la fonction et en trouvant la valeur critique à laquelle la pente est nulle, nous pouvons trouver le maximum local.

Qu’est-ce que les minimums locaux ?

Un point est appelé minimum local lorsque la fonction atteint sa valeur la plus basse dans un intervalle spécifique.

Quelles méthodes pouvez-vous utiliser pour calculer les maxima locaux et les minima locaux ?

Test de dérivée première et test de dérivée seconde.

Quelle est la différence entre le test de dérivée première et le test de dérivée seconde ?

Le test de dérivée première est la méthode approximative pour calculer la valeur des maxima lLcal et des minima locaux et le test de dérivée seconde est la méthode systématique et précise pour calculer la valeur des maxima locaux et des minima locaux.

Quelle est la signification du point d’inversion ?

Si la valeur d'un point dans la plage d'une fonction donnée n'affiche pas la sortie la plus élevée et la plus basse, ce point est appelé le point d'inversion.

Quelle est l’utilisation des maxima locaux et des minima locaux ?

Connaître la valeur extrême d’une fonction dans une plage particulière.