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Soit L un ensemble non vide fermé par deux opérations binaires appelées meet et join, notées ∧ et ∨. Alors L est appelé un réseau si les axiomes suivants sont valables où a, b, c sont des éléments de L :

1) Loi commutative : -
(a) une ∧ b = b ∧ une (b) une ∨ b = b ∨ une

2) Droit associatif : -
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

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3) Loi d'absorption : -
(a) une ∧ ( une ∨ b) = une (b) une ∨ ( une ∧ b) = une

Dualité:

Le dual de toute instruction dans un réseau (L,∧ ,∨ ) est défini comme étant une instruction obtenue en échangeant ∧ et ∨.

Par exemple , le dual de a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a est a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

Treillis délimités :

Un réseau L est appelé réseau borné s’il a le plus grand élément 1 et le plus petit élément 0.

Exemple:

1. L'ensemble de puissances P(S) de l'ensemble S sous les opérations d'intersection et d'union est un réseau borné puisque ∅ est le plus petit élément de P(S) et l'ensemble S est le plus grand élément de P(S).
2. L'ensemble des entiers +ve I₊sous l'ordre habituel de ≦ n'est pas un réseau borné puisqu'il a un plus petit élément 1 mais le plus grand élément n'existe pas.

Propriétés des réseaux délimités :

Si L est un réseau borné, alors pour tout élément a ∈ L, nous avons les identités suivantes :

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1. une ∨ 1 = 1
2. une ∧1= une
3. une ∨0=une
4. une ∧0=0

Théorème: Montrer que tout réseau fini L = {a₁,un₂,un₃....un_n} est délimité.

Preuve: Nous avons donné le réseau fini :

L = {une₁,un₂,un₃....un_n}

Ainsi, le plus grand élément des treillis L est un₁∨ un₂∨ un_{3∨....∨an.}

De plus, le moindre élément du réseau L est un₁∧ un₂∧a₃∧....∧a_n.

Depuis, les éléments les plus grands et les plus petits existent pour chaque réseau fini. Donc L est borné.

Sous-treillis :

Considérons un sous-ensemble non vide L₁d'un réseau L. Alors L₁est appelé un sous-réseau de L si L₁lui-même est un réseau, c'est-à-dire l'opération de L, c'est-à-dire a ∨ b ∈ L₁et une ∧ b ∈ L₁chaque fois que a ∈ L₁et b ∈ L₁.

Exemple: Considérons le réseau de tous les entiers +ve I₊sous l’effet de la divisibilité. Le treillis D_nde tous les diviseurs de n > 1 est un sous-réseau de I₊.

Déterminer tous les sous-réseaux de D₃₀qui contiennent au moins quatre éléments, D₃₀={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Solution: Les sous-réseaux de D₃₀qui contiennent au moins quatre éléments sont les suivants :

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

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Réseaux isomorphes :

Deux treillis L₁et moi₂sont appelés réseaux isomorphes s'il existe une bijection de L₁à L₂c'est-à-dire f : L₁⟶L₂, tel que f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) et f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

Exemple: Déterminez si les réseaux illustrés sur la figure sont isomorphes.

Solution: Les réseaux représentés sur la figure sont isomorphes. Considérons le mappage f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Par exemple f (b ∧ c) = f (a) = 1. De plus, nous avoir f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1

Réseau distributif :

Un réseau L est appelé réseau distributif si pour tous les éléments a, b et c de L, il satisfait les propriétés distributives suivantes :

1. une ∧ (b ∨ c) = (une ∧ b) ∨ (une ∧ c)
2. une ∨ (b ∧ c) = (une ∨ b) ∧ (une ∨ c)

Si le réseau L ne satisfait pas aux propriétés ci-dessus, on l’appelle un réseau non distributif.

Exemple:

1. L'ensemble de puissances P (S) de l'ensemble S sous l'opération d'intersection et d'union est une fonction distributive. Depuis,
   une ∩ (b ∪ c) = (une ∩ b) ∪ (une ∩ c)
   et, aussi a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) pour tout ensemble a, b et c de P(S).
2. Le réseau représenté sur la figure II est un distributif. Depuis, il satisfait les propriétés distributives pour tous les triplets ordonnés qui sont pris parmi 1, 2, 3 et 4.

Compléments et treillis complétés :

Soit L un réseau borné de limite inférieure o et de limite supérieure I. Soit a un élément si L. Un élément x dans L est appelé complément de a si a ∨ x = I et a ∧ x = 0

Un réseau L est dit complémentaire si L est borné et si chaque élément de L a un complément.

Exemple: Déterminez le complément de a et c sur la figure :

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Solution: Le complément de a est d. Puisque a ∨ d = 1 et a ∧ d = 0

Le complément de c n'existe pas. Puisque, il n'existe aucun élément c tel que c ∨ c'=1 et c ∧ c'= 0.

Treillis modulaire :

Un réseau (L, ∧,∨) est appelé réseau modulaire si a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c chaque fois que a ≦ c.

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Produit direct des treillis :

Soit (L₁∨₁∧₁)et moi₂∨₂∧₂) être deux treillis. Alors (L, ∧,∨) est le produit direct des réseaux, où L = L₁xL₂dans laquelle les opérations binaires ∨(join) et ∧(meet) sur L sont telles que pour tout (a₁,b₁)et (un₂,b₂) dans L.

(un₁,b₁)∨( un₂,b₂)=(un₁∨₁un₂,b₁∨₂b₂)
et (un₁,b₁) ∧ ( une₂,b₂)=(un₁∧₁un₂,b₁∧₂b₂).

Exemple: Considérons un réseau (L, ≦) comme le montre la fig. où L = {1, 2}. Déterminer les réseaux (L², ≦), où L²=LxL.

Solution: Le treillis (L², ≦) est illustré sur la figure :