Intégrale de sin x est -cos(x) plus une constante (C). Il représente l'aire sous la courbe sinusoïdale. La fonction se répète tous les 2π radians en raison de sa nature périodique. Cet article explique l'intégrale de la fonction sinus, montrant sa formule, sa preuve et son application pour trouver des intégrales définies spécifiques. De plus, il mentionne les problèmes résolus et les questions fréquemment posées.

Table des matières

• Qu’est-ce que l’intégrale de Sin x ?
• Intégrale de Sin x Formule
• Signification graphique de l'intégrale de Sin x
• Intégrale de Sin x Preuve par méthode de substitution
• Intégrale définie de Sin x
• Intégrale de Sin x De 0 à π
• Intégrale de Sin x De 0 à π/2

Qu’est-ce que l’intégrale de Sin x ?

L'intégrale de sin(x) concernant x est -cos(x) plus une constante (C). Cela signifie que lorsque vous différenciez -cos(x) par rapport à x, vous obtenez sin(x). La constante d'intégration (C) représente toute valeur constante supplémentaire pouvant être présente dans la fonction d'origine.

L'intégrale de sin x signifie physiquement la zone couverte sous la courbe sinusoïdale.

Apprendre,

• Calcul en mathématiques
• Intégration en mathématiques

Intégrale de Sin x Formule

L'intégrale de la fonction sinusoïdale, ∫ sin(x) dx, est égale à -cos(x) + C, où C est la constante d'intégration.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Ici, cos(x) est la fonction cosinus et C représente la constante qui est ajoutée à la primitive, car la dérivée d'une constante est nulle.

Signification graphique de l'intégrale de Sin x

L'intégrale de sin(x) de ( a ) à ( b ) a une signification graphique en termes de calcul de l'aire sous la courbe dans cet intervalle. Explorons la signification graphique en utilisant à la fois la méthode intégrale définie et la méthode géométrique.

Méthode intégrale définie

L'intégrale de sin(x) de ( a ) à ( b ) est donnée par :

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(une)

Cela représente la zone signée entre la courbe sin(x) et l'axe des x de ( a ) à ( b ).

Méthode géométrique

Considérons le graphique de sin(x) de ( a ) à ( b ). L'aire sous la courbe peut être divisée en deux régions :

• Zone positive : Régions où sin(x) est positif (au-dessus de l'axe des x). Cela contribue à l’aire positive sous la courbe.
• Zone négative : Régions où sin(x) est négatif (en dessous de l’axe des x). Cela contribue à l’aire négative sous la courbe.

L'aire totale est la somme algébrique de ces aires positives et négatives.

Exemple:

Pour trouver l'aire sous la courbe de sin(x) de ( a = 0 ) à ( b = π/2 ).

En utilisant la méthode intégrale définie :

∫₀^p/2péché x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

C'est la zone signée sous la courbe.

En utilisant la méthode géométrique :

Le graphique de sin(x) de 0 à (π/2) est un quart de cercle, et l'aire est bien 1.

Intégration de Sin x Preuve par méthode de substitution

Pour trouver l’intégrale de sin(x) à l’aide de la méthode de substitution, considérons l’intégrale :

Une substitution courante des intégrales trigonométriques consiste à laisser u être égal à l'expression à l'intérieur de la fonction trigonométrique. Dans ce cas, soit u = cos(x). Ensuite, calculez du en termes de dx :

du/dx = -sin(x)

Maintenant, résolvez pour dx :

dx = -1/sin(x)du

Maintenant, remplacez u et dx en termes de u dans l'intégrale d'origine :

Intégrale de sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Simplifiez l'expression :

Intégrale de sin(x) dx = -∫ du

Intégrons maintenant par rapport à u :

Intégrale de sin(x) dx = -u + C

Maintenant, remplacez u, qui a été défini comme cos(x) :

Intégrale de sin(x) dx = -cos(x) + C

Ainsi, en utilisant la méthode de substitution, nous sommes arrivés au même résultat que dans la preuve par dérivées. L'intégrale de sin(x) est -cos(x) + C, où C est la constante d'intégration.

Intégrale définie de Sin x

L'intégrale définie de sin(x) de a à b, notée

∫ ^b _un péché(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Il calcule l'aire nette sous la courbe sinusoïdale entre x = a et x = b, en considérant la direction de l'aire au-dessus et en dessous de l'axe des x.

Apprendre, Intégrale définie

Intégrale de Sin x De 0 à Pi

Pour trouver l’intégrale de sin(x) de 0 à π, on peut utiliser la primitive. La primitive de sin(x) est -cos(x). En évaluant cette primitive de 0 à π, on obtient :

∫₀^Pipéché(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

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∫₀^Pipéché(x) dx = [-(-1) + 1]

Puisque cos(π) est -1 et cos(0) est 1, l'expression se simplifie comme suit :

∫₀^Pipéché(x) dx = 1 + 1 = 2

Ainsi, l'intégrale de sin(x) de 0 à π est égale à 2. Cela représente l'aire signée entre la courbe sin(x) et l'axe des x de x = 0 à x = π.

Intégrale de Sin x De 0 à Pi /2

L'intégrale définie représente la zone signée entre la courbe et l'axe des x sur l'intervalle donné.

L'intégrale est donnée par :

∫₀^p/2péché(x) dx

Utilisation de la primitive -cos(x) pour évaluer l'intégrale :

cos(x) |[0 à π/2]

Maintenant, remplacez π/2 par -cos(x) :

cos(π/2) – (-cos(0))

Rappelez-vous que cos(π/2) = 0 et cos(0) = 1. Remplacez ces valeurs :

-(0) – (-1)

Simplifier:

0 + 1 = 1

L'intégrale définie de sin(x) de 0 à π/2 est égale à 1. Cela signifie que la zone signée entre la courbe sinusoïdale et l'axe des x de x = 0 à x = π/2 est 1.

Vérifiez également

• Intégration de Cos x
• Intégration de Tan x
• Formules d'intégration

Intégrale de Sin x – Exemples résolus

Exemple 1: Trouver l'intégrale de sin2(x)

Solution:

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Pour sans²(x), vous pouvez utiliser la formule impliquant cos(2x).

∫péché²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Divisez-le en deux parties :

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x)dx

L'intégrale de dx est juste x. L'intégrale de cos(2x) implique l'utilisation de la formule sin(2x). Cela ressemble à ceci :

= (1/2)x – (1/4)péché(2x) + C

Combinez les deux résultats et ajoutez une constante C pour tenir compte de toute constante potentielle dans l'intégrale d'origine.

(1/2)x – (1/4)péché(2x) + C

Exemple 2 : Trouver l'intégrale du sinus ³ X.

Solution:

L'intégrale du sinus au cube par rapport à x peut s'écrire :

∫péché³x dx

Utilisez une identité trigonométrique pour simplifier :

sans³x = [1 – cos²(x)] péché(x)

∫[1 – car²(x)] péché(x) dx

Distribuez et séparez les termes :

∫[péché x – péché x. parce que²(x)]dx

Intégrez chaque terme séparément :

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Ici, ( C ) représente la constante d'intégration.

Exemple 3 : Trouver l'intégrale de sin x ^-1

Solution:

L'intégrale de sin(x)^-1peut être exprimé à l’aide de la fonction arc sinus. L'intégrale est donnée par :

∫1/sin x = -ln|cosec x + lit bébé x| +C

Ici, (C) est la constante d’intégration.

Exemple 4 : Trouver l'intégrale de sin x ²

Solution:

L'intégrale de sin²(x) par rapport à x peut être résolue en utilisant une identité trigonométrique.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Maintenant, intégrez chaque terme séparément :

1/2​∫(1−cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 péché(2x)] + C

où ( C ) est la constante d'intégration.

Exemple 5 : Trouver l'intégrale de sin x ^-3

Solution:

Intégrale de sin(x)^-3par rapport à (x) implique une substitution trigonométrique. Voici comment vous pouvez le résoudre :

Soit u = sin(x), alors du = cos(x)dx

Maintenant, remplacez-les dans l'intégrale :

∫péché(x)⁻³dx = ∫u⁻³du

Maintenant, intégrons par rapport à (u) :

∫tu⁻³tu = toi⁻²/−2​ + C

Remplacez en termes de (x) en utilisant u = sin(x) :

∫péché(x)⁻³dx = -1/2 péché²x + C

Donc l’intégrale de sin(x)^-3par rapport à (x) est -1/2sin²x , où (C) est la constante d'intégration.

Exemple 6 : Trouver l'intégrale du péché inverse x

Solution:

Pour trouver l'intégrale du péché^-1(x) par rapport à (x), vous pouvez utiliser l'intégration par parties. La formule d'intégration par parties est :

∫udv=uv−∫vdu

tu = péché^-1(x) et dv = dx

Maintenant, trouvez (du) et (v) :

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Appliquez la formule d'intégration par parties :

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Maintenant, intégrez le terme restant du côté droit. Vous pouvez utiliser la substitution en laissant (t = 1 – x²), alors (dt = -2x , dx) :

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Maintenant, remplacez en termes de (x) :

= -sqrt{1 – x^2} + C

Mettre tous ensemble:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

où (C) est la constante d’intégration.

Exemple 7 : Trouver l'intégrale de x sin 2x dx

Solution:

Pour trouver l'intégrale de xsin(2x) par rapport à (x), vous pouvez utiliser l'intégration par parties. La formule d’intégration par parties est donnée par :

∫udv = uv − ∫vdu

u = x et dv = sin(2x)dx

Maintenant, trouvez (du) et (v) :

du = dx et v = -1/2cos(2x)

Appliquez la formule d'intégration par parties :

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Maintenant, intégrez le terme restant du côté droit. L'intégrale de -1/2cos(2x) peut être trouvée en laissant (u = 2x) et en utilisant une simple substitution :

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Remplacez ce résultat dans l'équation d'origine :

-1/2x cos(2x) + 1/4 péché(2x) + C

Ainsi, l'intégrale de xsin(2x) par rapport à (x) est -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, où (C) est la constante d'intégration.

Exemple 8 : Trouver l'intégrale de sin x cos 2x

Solution:

Pour trouver l'intégrale de sin(x) cos(2x) par rapport à (x), vous pouvez utiliser l'intégration par parties. La formule d'intégration par parties est la suivante :

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) et dv = cos(2x)dx

Maintenant, trouvez (du) et (v) :

du = cos(x) dx et v = 1/2 sin(2x)

Appliquez la formule d'intégration par parties :

∫sin(x).cos(2x)dx = 1​/2sin(x)sin(2x) − ∫1​/2sin(2x)cos(x)dx

Maintenant, intégrez le terme restant du côté droit. Vous pouvez à nouveau utiliser l'intégration par parties :

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Continuez le processus jusqu'à ce que l'intégrale devienne gérable. Après avoir simplifié, vous obtiendrez le résultat final :

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

où (C) est la constante d’intégration.

Intégrale de Sin x – Questions pratiques

T1. Trouvez l'intégrale du sinus de 0 à pi.

Q2. Calculez l’intégrale du sinus de -π/2 à π/2.

Q3. Trouvez la valeur de l’intégrale du sinus plus cosinus par rapport à x.

Q4. Évaluez l’intégrale de sinus(2x) de 0 à π/3.

Q5. Trouvez la primitive de sinus(3x) par rapport à x.

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Q6. Calculez l’intégrale de sinus(2x) de π à 2π.

Q7. Intégrez la fonction sinus au carré par rapport à x.

Q8. Évaluez l’intégrale du sinus au carré de -π/4 à π/4.

Intégrale de Sin x – Foire aux questions

Qu’est-ce que l’intégrale de Sin x ?

L'intégrale de sin x est -cos x

Qu’est-ce que le péché x ?

Sin(x) est une fonction trigonométrique qui représente le rapport entre la longueur du côté opposé à un angle et la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle.

Quelle est la portée de Sin x ?

La plage de Sin x est [-1, 1].

Qu'est-ce que l'intégrale et la dérivée de Sin x ?

L'intégrale de sin x est -cos x et la dérivée de si x est cos x

Quelle est l’intégrale de Sin x et Cos x ?

L'intégrale de sin x est -cos x + C et l'intégrale de cos x est sin x

Qu'est-ce que l'intégrale de Sin 2x ?

L'intégration de sin 2x est (-cos2x)/2 + c