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Supposons qu'il existe deux formules, X et Y. Ces formules seront appelées équivalence si X ↔ Y est une tautologie. Si deux formules X ↔ Y sont une tautologie, alors nous pouvons également l'écrire sous la forme X ⇔ Y, et nous pouvons lire cette relation comme X est l'équivalence à Y.

Remarque : Il y a certains points que nous devons garder à l'esprit lors de l'équivalence linéaire de la formule, qui sont décrits comme suit :

• ⇔ est utilisé pour indiquer uniquement un symbole, mais il n'est pas conjonctif.
• La valeur de vérité de X et Y sera toujours égale si X ↔ Y est une tautologie.
• La relation d'équivalence contient deux propriétés, c'est-à-dire symétrique et transitive.

Méthode 1 : Méthode de la table de vérité :

Dans cette méthode, nous construirons les tables de vérité de n’importe quelle formule à deux affirmations, puis vérifierons si ces affirmations sont équivalentes.

Exemple 1: Dans cet exemple, nous devons prouver X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Solution: La table de vérité de X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) est décrite comme suit :

Comme on peut le voir que X ∨ Y et ¬(¬X ∧ ¬Y) est une tautologie. D'où X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Exemple 2 : Dans cet exemple, nous devons prouver (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

Solution: La table de vérité de (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) est décrite comme suit :

Comme on peut le voir, X → Y et (¬X ∨ Y) sont une tautologie. Donc (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Formule d'équivalence :

Il existe différentes lois utilisées pour prouver la formule d’équivalence, qui est décrite comme suit :

Loi idempotente : S'il existe une formule d'instruction, elle contiendra les propriétés suivantes :

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Droit associatif : S'il existe trois formules d'instruction, elle contiendra les propriétés suivantes :

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Loi commutative: S'il existe deux formules d'instruction, elle contiendra les propriétés suivantes :

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Loi distributive : S'il existe trois formules d'instruction, elle contiendra les propriétés suivantes :

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 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Droit de l'identité : S'il existe une formule d'instruction, elle contiendra les propriétés suivantes :

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Loi complémentaire : S'il existe une formule d'instruction, elle contiendra les propriétés suivantes :

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Loi d'absorption : S'il existe deux formules d'instruction, elle contiendra les propriétés suivantes :

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

De la loi de Morgan : S'il existe deux formules d'instruction, elle contiendra les propriétés suivantes :

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Méthode 2 : processus de remplacement

Dans cette méthode, nous supposerons une formule A : X → (Y → Z). La formule Y → Z peut être appelée partie de formule. Si nous remplaçons cette partie de la formule, c'est-à-dire Y → Z, par l'aide de la formule d'équivalence ¬Y ∨ Z dans A, alors nous obtiendrons une autre formule, c'est-à-dire B : X → (¬Y ∨ Z). C'est un processus simple pour vérifier si les formules données A et B sont équivalentes ou non. Grâce au processus de remplacement, nous pouvons obtenir B à partir de A.

Exemple 1: Dans cet exemple, nous devons prouver que {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Solution: Ici, nous allons prendre la partie latérale gauche et essayer d’obtenir la partie latérale droite.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Nous allons maintenant utiliser la loi associative comme ceci :

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Nous allons maintenant utiliser la loi de De Morgan comme ceci :

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Ainsi prouvé

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Exemple 2 : Dans cet exemple, nous devons prouver que {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Solution: Ici, nous allons prendre la partie latérale gauche et essayer d’obtenir la partie latérale droite.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Ainsi prouvé

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Oui

Exemple 3 : Dans cet exemple, nous devons prouver que X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

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Solution: Ici, nous allons prendre la partie latérale gauche et essayer d’obtenir la partie latérale droite.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Ainsi prouvé

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Exemple 4 : Dans cet exemple, nous devons prouver que (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Solution: Ici, nous allons prendre la partie latérale gauche et essayer d’obtenir la partie latérale droite.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Nous allons maintenant utiliser les lois associatives et distributives comme ceci :

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Nous allons maintenant utiliser la loi de De Morgan comme ceci :

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Nous allons maintenant utiliser la loi distributive comme ceci :

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Ainsi prouvé

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Exemple 5 : Dans cet exemple, nous devons montrer que ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) est une tautologie.

Solution: Ici, nous allons prendre de petites pièces et les résoudre.

Tout d’abord, nous utiliserons la loi de De Morgan et obtiendrons ce qui suit :

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Donc,

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Aussi

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Ainsi

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Ainsi

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

On peut donc dire que la formule donnée est une tautologie.

Exemple 6 : Dans cet exemple, nous devons montrer que (X ∧ Y) → (X ∨ Y) est une tautologie.

Solution: (X ∧ Oui) → (X ∨ Oui)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Nous allons maintenant utiliser la loi de De Morgan comme ceci :

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Nous allons maintenant utiliser la loi associative et la loi commutative comme ceci :

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Nous allons maintenant utiliser la loi de négation comme ceci :

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

On peut donc dire que la formule donnée est une tautologie.

Exemple 7 : Dans cet exemple, nous devons écrire la négation de certaines affirmations, qui sont décrites comme suit :

1. Marry terminera ses études ou acceptera la lettre d'adhésion de la société XYZ.
2. Harry ira faire un tour ou courir demain.
3. Si j'ai de bonnes notes, mon cousin sera jaloux.

Solution: Tout d’abord, nous allons résoudre la première instruction comme ceci :

1. Supposons que X : Marry termine ses études.

Y : Acceptez la lettre d’adhésion de la société XYZ.

Nous pouvons utiliser la forme symbolique suivante pour exprimer cette affirmation :

 X ∨ Y 

La négation de X ∨ Y est décrite comme suit :

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

En conclusion, la négation d’une déclaration donnée sera :

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Supposons X : Harry ira faire un tour

Y : Harry courra demain

Nous pouvons utiliser la forme symbolique suivante pour exprimer cette affirmation :

 X ∨ Y 

La négation de X ∨ Y est décrite comme suit :

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

En conclusion, la négation d’une déclaration donnée sera :

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Supposons X : si j’obtiens de bonnes notes.

Y : Mon cousin sera jaloux.

Nous pouvons utiliser la forme symbolique suivante pour exprimer cette affirmation :

 X → Y 

La négation de X → Y est décrite comme suit :

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

En conclusion, la négation d’une déclaration donnée sera :

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Exemple 8 : Dans cet exemple, nous devons écrire la négation de certaines affirmations à l'aide de la loi de De Morgan. Ces déclarations sont décrites comme suit :

1. J'ai besoin d'un ensemble de diamants et vaut une bague en or.
2. Vous obtenez un bon travail ou vous n'obtiendrez pas un bon partenaire.
3. Je prends beaucoup de travail et je ne peux pas le gérer.
4. Mon chien part en voyage ou il fait du désordre dans la maison.

Solution: La négation de toutes les affirmations à l'aide de la loi de De Morgan est décrite une par une comme ceci :

1. Je n'ai pas besoin d'un ensemble de diamants et je ne vaux pas une bague en or.
2. Vous ne pouvez pas obtenir un bon travail et vous obtiendrez un bon partenaire.
3. Je ne demande pas beaucoup de travail ou je peux le gérer.
4. Mon chien ne part pas en voyage et ne fait pas de dégâts dans la maison.

Exemple 9 : Dans cet exemple, nous avons des déclarations et nous devons écrire la négation de ces déclarations. Les déclarations sont décrites comme suit :

1. S'il pleut, le projet d'aller à la plage est annulé.
2. Si j’étudie dur, j’obtiendrai de bonnes notes à l’examen.
3. Si je vais à une fête nocturne, mon père me punira.
4. Si vous ne voulez pas me parler, vous devez bloquer mon numéro.

Solution: La négation de toutes les affirmations est décrite une à une comme ceci :

1. Si le projet d'aller à la plage est annulé, alors il pleut.
2. Si j’obtiens de bonnes notes à l’examen, j’étudie dur.
3. Si mon père me punit, je vais à une fête nocturne.
4. Si vous devez bloquer mon numéro, vous ne voulez pas me parler.

Exemple 10 : Dans cet exemple, nous devons vérifier si (X → Y) → Z et X → (Y → Z) sont logiquement équivalents ou non. Nous devons justifier notre réponse à l'aide de tables de vérité et à l'aide de règles de logique pour simplifier les deux expressions.

Solution: Tout d’abord, nous utiliserons la méthode 1 pour vérifier si (X → Y) → Z et X → (Y → Z) sont logiquement équivalents, ce qui est décrit comme suit :

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Méthode 1 : Ici, nous supposerons ce qui suit :

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

Et

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Méthode 2 : Nous allons maintenant utiliser la deuxième méthode. Dans cette méthode, nous utiliserons la table de vérité.

Dans cette table de vérité, on peut voir que les colonnes de (X → Y) → Z et X → (Y → Z) ne contiennent pas de valeurs identiques.