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Déterminant de la matrice 4×4 | Exemples et comment trouver

Déterminant de la matrice 4×4 : Le déterminant d'une matrice est un concept fondamental en algèbre linéaire, essentiel pour dériver une valeur scalaire unique à partir de la matrice. 4×4 est une matrice carrée de 4 lignes et 4 colonnes dont le déterminant peut être trouvé par une formule dont nous parlerons.

Cet article explorera la définition d'une matrice 4 × 4 et vous guidera à travers le processus étape par étape de calcul du déterminant de la matrice 4 × 4. De plus, il explore les applications pratiques de cette opération mathématique.



Table des matières

Quel est le déterminant d’une matrice ?

Le déterminant d'une matrice est une valeur scalaire qui peut être calculée à partir des éléments d'un Matrice Carrée . Il fournit des informations importantes sur la matrice, par exemple si elle est inversible et le facteur d'échelle des transformations linéaires représentées par la matrice.



Diverses méthodes, telles que cofacteur l'expansion ou la réduction de lignes peuvent être utilisées pour trouver le déterminant d'une matrice, en fonction de la taille et de la structure de la matrice. Une fois calculé, le déterminant est indiqué par le symbole det ou des barres verticales entourant la matrice.

Déterminant de la matrice 4×4

Une matrice 4×4 est un tableau rectangulaire de nombres disposés en quatre lignes et quatre colonnes. Chaque élément de la matrice est identifié par sa position en ligne et en colonne. La forme générale d’une matrice 4×4 ressemble à ceci :

egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}



Où unjereprésente l'élément situé dans le ièmerangée et jèmecolonne de la matrice.

Les matrices 4×4 sont couramment rencontrées dans divers domaines tels que l'infographie, la physique, l'ingénierie et les mathématiques. Ils sont utilisés pour représenter des transformations, résoudre des systèmes d’équations linéaires et effectuer des opérations en algèbre linéaire.

Propriétés de la matrice 4×4

Voici quelques propriétés d’une matrice 4×4 expliquées en termes simplifiés :

  • Matrice Carrée: Une matrice 4×4 a un nombre égal de lignes et de colonnes, ce qui en fait une matrice carrée.
  • Déterminant: Le déterminant d'une matrice 4 × 4 peut être calculé à l'aide de méthodes telles que l'expansion des cofacteurs ou la réduction de lignes. Il fournit des informations sur l’inversibilité de la matrice et le facteur d’échelle pour les transformations linéaires.
  • Inverse: Une matrice 4×4 est inversible si son déterminant est non nul. L'inverse d'une matrice 4×4 permet de résoudre des systèmes d'équations linéaires et d'annuler les transformations représentées par la matrice.
  • Transposer: La transposition d'une matrice 4×4 est obtenue en interchangeant ses lignes et ses colonnes. Cela peut être utile dans certains calculs et transformations.
  • Valeurs propres et vecteurs propres: Les matrices 4×4 peuvent être analysées pour trouver leur Valeurs propres et vecteurs propres , qui représentent les propriétés de la matrice sous transformations linéaires.
  • Symétrie: En fonction de la matrice spécifique, elle peut présenter des propriétés de symétrie telles qu'être symétrique, antisymétrique ou ni l'une ni l'autre.
  • Opérations matricielles : Diverses opérations telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la multiplication scalaire peuvent être effectuées sur des matrices 4×4 selon des règles et propriétés spécifiques.

Lire en détail : Propriétés des déterminants

Déterminant de la formule matricielle 4 × 4

Déterminant de toute matrice 4 × 4, c'est-à-direegin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix} , peut être calculé à l’aide de la formule suivante :

il(A) = un onze · il (Un onze ) - un 12 · il (Un 12 ) + un 13 · il (Un 13 ) - un 14 · il (Un 14 )

Où unjedésigne la sous-matrice en supprimant ièmerangée et jèmecolonne.

Comment trouver le déterminant d’une matrice 4×4 ?

Pour trouver le déterminant d'une matrice 4×4, vous pouvez utiliser diverses méthodes telles que le développement par mineurs, la réduction de lignes ou l'application de propriétés spécifiques.

Une méthode courante consiste à utiliser l'expansion par mineurs, où vous développez le long d'une ligne ou d'une colonne en multipliant chaque élément par son cofacteur et en additionnant les résultats. Ce processus se poursuit de manière récursive jusqu'à ce que vous atteigniez une sous-matrice 2×2, pour laquelle vous pouvez directement calculer le déterminant. Pour comprendre comment trouver le déterminant d’une matrice 4×4, prenons un exemple.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

Étape 1 : Développez le long de la première ligne :

il(A) = 2 · il(A onze ) – 1 · il(UNE 12 ) + 3 · il(UNE 13 ) – 4 · il(A 14 )

Où unjedésigne la sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne.

Étape 2 : Calculez le déterminant de chaque sous-matrice 3×3.

Pour unonze

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 1 2 & 0 & 5 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |UNEonze| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]

⇒ |UNEonze| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]

⇒ |UNEonze| = 10 – 2(-13) + 4

⇒ |UNEonze| = 10 + 26 + 4= 40

Pour un12

A_{12} = egin{bmatrix} 0 & 2 & 1 3 & 0 & 5 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |UNE12| = (0)(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]

booléen en chaîne

⇒ |UNE12| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]

⇒ |UNE12| = 0 – 2(8) + 6

⇒ |UNE12| = 0 – 16+ 6= 10

Pour un13

A_{13} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 1 3 & 2 & 5 -1 & 3 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |UNE13| = (0)(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |UNE13| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |UNE13| = 0 – (-1)(8) + 2(11)

⇒ |UNE13| = 8 + 22 = 30

Pour un14

A_{14} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 2 3 & 2 & 0 -1 & 3 & 2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |UNE14| = (0)(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |UNE14| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |UNE14| = 0 – (-1)(6) + 2(11)

⇒ |UNE14| = 6 + 22 = 28

Étape 3 : Remplacez les déterminants des sous-matrices 3×3 dans la formule de développement :

(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28

Étape 4 : Calculez le déterminant final :

il(A) = 80 – 10 + 90 – 112

il(A) = 48

Ainsi, le déterminant de la matrice 4×4 donnée est 48.

Vérifiez également

Déterminant des exemples de matrice 4 × 4

Exemple 1: UNE =egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 4 & -1 & 2 & 0 -3 & 2 & 1 & 5 1 & 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

Solution:

Développez d'abord le long de la première ligne :

ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14})

Maintenant, calculez le déterminant de chaque sous-matrice 3×3.

Pour un onze ) :

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight)

= (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))

= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))

= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)

= -13 – 12

= -25

Pour un 12 ) :

A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight)

= (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2 ) -(1)(1))

= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))

= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)

= -14 – 0 – 21

= -35

Pour un 13 ) :

A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0 ) )-(2)(1))

= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))

= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)

= 12 + 14 – 6

= 20

Pour un 14 ) :

A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))

= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))

= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)

= -8 – 5 + 0

= -13

Maintenant, remplacez les déterminants des sous-matrices 3×3 dans la formule de développement :

det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)

= -50 + 35 + 0 + 39

= -50 + 35 + 39

= 24

Ainsi, le déterminant de la matrice (A) est 24.

Exemple 2 : Calculer le déterminant de la matriceA = egin{bmatrix} 2 & 1 & -3 & 4 -1 & 0 & 2 & 5 3 & 2 & 1 & 0 4 & -2 & 3 & 1 end{bmatrix}

Solution:

Pour trouver le déterminant de la matrice ( A ), nous utiliserons la méthode du développement par mineurs le long de la première ligne :

ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix}

Calculons maintenant les déterminants des sous-matrices 3×3 :

ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2)))

= 2 · (0 – 4 + 30) = 52

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4))

= -1 · (1 – 6 + 45) = 60

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (6 – 0 – 50) = 44

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (8 – 0 + 0) = -8

Maintenant, remplacez ces déterminants dans la formule d'expansion :

il(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120

Ainsi, le déterminant de la matrice ( A ) est det(A) = -120.

Exemple 3 : Trouver le déterminant de la matrice B =egin{bmatrix} -2 & 3 & 1 & 0 4 & 1 & -3 & 2 0 & -1 & 2 & 5 3 & 2 & 0 & -4 end{bmatrix}

Solution:

Pour trouver le déterminant de la matrice ( B ), nous utiliserons la méthode du développement par mineurs le long de la première ligne :

ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix}

Calculons maintenant les déterminants des sous-matrices 3×3 :

ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2))

= -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))

= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3))

= 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))

= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3)

= -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)

= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3

= 24 + 6 + 6

= 36

Maintenant, remplacez ces déterminants dans la formule d'expansion :

det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ n'importe quoi

= 8 + 9 – 36 + 0

= -19

Ainsi, le déterminant de la matrice ( B ) est det(B) = -19

Déterminant des questions pratiques sur la matrice 4 × 4

T1 : Calculez le déterminant de la matrice 4×4 suivante :A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 -1 & 2 & 2 & 0 3 & -2 & 0 & 1 1 & 1 & 2 & -1 end{bmatrix}

T2 : Trouver le déterminant de la matrice :B = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 2 & 3 & 4 & 5 end{bmatrix}

T3 : Calculez le déterminant de la matrice 4×4 suivante :C = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 3 & 2 & -1 & 0 0 & -3 & 2 & 1 1 & 0 & 3 & -2 end{bmatrix}

T4 : Déterminer le déterminant de la matrice :D = egin{bmatrix} 4 & 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 2 0 & 2 & 1 & -3 2 & 0 & -1 & 4 end{bmatrix}

trier la liste de tableaux

Q5 : Trouver le déterminant de la matrice : E = egin{bmatrix} 3 & 1 & -2 & 0 2 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & 3 & -2 0 & 3 & -1 & 1 end{bmatrix}

FAQ sur le déterminant de la matrice 4×4

Comment trouver le déterminant d’une matrice 4×4 ?

Pour trouver le déterminant d'une matrice 4 × 4, vous pouvez utiliser diverses méthodes telles que les techniques d'expansion des cofacteurs ou de réduction de lignes.

Quel est le déterminant d’une matrice d’identité 4×4 ?

Le déterminant d'une matrice d'identité 4 × 4 est 1, car il s'agit d'un cas particulier où tous les éléments diagonaux valent 1 et les autres valent 0.

Comment trouver le déterminant d'une matrice 4×4 en utilisant le développement des cofacteurs ?

Déterminer le déterminant d'une matrice 4 × 4 à l'aide du développement du cofacteur implique de la décomposer en matrices 3 × 3 plus petites, d'appliquer la formule du cofacteur et d'additionner les produits.

Quelle est la formule du déterminant ?

La formule du déterminant consiste à additionner les produits des éléments et de leurs cofacteurs dans chaque ligne ou colonne, en tenant compte de leurs signes.

Un déterminant peut-il être négatif ?

Oui, les déterminants peuvent être négatifs, positifs ou nuls, selon la matrice spécifique et ses propriétés.

Une matrice 4×4 peut-elle avoir un inverse ?

Une matrice 4×4 peut avoir un inverse si son déterminant est différent de zéro ; sinon, il est singulier et n’a pas d’inverse.

Comment montrez-vous qu’une matrice 4×4 est inversible ?

Pour montrer qu'une matrice 4 × 4 est inversible, confirmez que son déterminant est différent de zéro, indiquant l'existence d'un inverse, et utilisez des critères supplémentaires comme la réduction de lignes pour vérifier l'inversibilité.