Le déterminant est un concept fondamental en algèbre linéaire utilisé pour trouver une valeur scalaire unique pour la matrice donnée. Cet article expliquera ce qu'est une matrice 3 × 3 et comment calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 étape par étape, ainsi que ses applications. Que vous soyez un étudiant apprenant l'algèbre linéaire ou un passionné cherchant une compréhension plus approfondie des opérations matricielles, comprendre le déterminant d'une matrice 3 × 3 est une compétence précieuse à acquérir.

Quel est le déterminant de la matrice ?

Déterminant d'une matrice est un nombre unique calculé à partir d’une matrice carrée. Dans le domaine de l'algèbre linéaire, les déterminants sont trouvés en utilisant les valeurs de la matrice carrée. Ce nombre agit comme un facteur d'échelle, influençant la façon dont la matrice se transforme. Les déterminants sont utiles pour résoudre des systèmes d’équations linéaires, trouver l’inverse d’une matrice et diverses opérations de calcul.

Qu'est-ce que la matrice 3 × 3 ?

Une matrice 3 × 3 est un matrice dans lequel le nombre de lignes et de colonnes est égal à 3. Puisque le nombre de lignes et de colonnes est égal, donc 3 × 3 est une matrice carrée d'ordre 3 × 3. Une matrice est comme un tableau composé de nombres, organisés en lignes et en colonnes. Il est utilisé pour stocker et travailler avec des données en mathématiques et dans d’autres domaines. Alors qu’une matrice 3 × 3 est un type spécifique de matrice composé de trois lignes et trois colonnes. Il peut être représenté comme suit :

Matrice 3 × 3

Propriétés de la matrice 3 × 3

Comme les autres matrices, les matrices 3 × 3 possèdent également des propriétés importantes.

• Matrice Carrée : Une matrice 3 × 3 comporte trois lignes et trois colonnes, ce qui en fait une matrice carrée.

• Déterminant: Une matrice 3 × 3 a un déterminant, une valeur numérique cruciale pour résoudre des équations et trouver des inverses.

• Multiplication matricielle : Vous pouvez multiplier une matrice 3 × 3 par une autre matrice si le nombre de colonnes de la première matrice correspond au nombre de lignes de la seconde.

• Inverse: Une matrice 3 × 3 peut avoir un inverse si son déterminant est non nul. La matrice inverse, multipliée par la matrice d'origine, donne la matrice identité.

Déterminant de la formule matricielle 3 × 3

Il existe différentes méthodes pour calculer le déterminant d’une matrice. L'approche la plus courante consiste à diviser une matrice 3 × 3 donnée en déterminants 2 × 2 plus petits. Cela simplifie le processus de recherche du déterminant et est largement utilisé en algèbre linéaire.

Prenons une matrice carrée 3 × 3 qui s'écrit :

Pour calculer le déterminant de la matrice A, c'est-à-dire |A|.

Développez la matrice le long des éléments de la première ligne.

Donc,

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Comment trouver le déterminant d’une matrice 3 × 3 ?

Comprenons le calcul d'une matrice 3 × 3 avec un exemple. Pour la matrice 3 × 3 donnée ci-dessous.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Étape 1 : Choisissez une ligne ou une colonne de référence

Sélectionnez une ligne et une colonne pour commencer, supposons que dans cet exemple, nous prenons le premier élément (2) comme référence pour calculer le déterminant de la matrice 3 × 3.

Donc, en développant le long de la ligne R₁

Étape 2 : rayer la ligne et la colonne

Supprimez la ligne et la colonne choisies afin de les simplifier dans une matrice 2 × 2.

Matrice 2×2

Étape 3 : Trouver le déterminant de la matrice 2 × 2

Trouvez le déterminant de la matrice 2 × 2 en utilisant la formule

Déterminant = (a × d) – (b × c)

Multiplication croisée

Ici, a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

en mettant ces valeurs dans la formule du déterminant ci-dessus, nous obtenons

Déterminant = (0 × 2) – (1 × -1)

Déterminant = 0- (-1)

Déterminant = 0+1

∴ Déterminant de la matrice 2 × 2 = 1

Étape 4 : Multiplier par l'élément choisi

Multipliez le déterminant de la matrice 2 × 2 par l'élément choisi dans la ligne de référence (qui est 2,1 et 3 dans ce cas) :

premier élément = 2 × 1 = 2

Étape 5 : Répétez ce processus pour le deuxième élément de la ligne de référence choisie

Pour le deuxième élément

Trouvez le déterminant du deuxième élément 1 en mettant les valeurs de la matrice 2 × 2 dans la formule

Déterminant = (a × d) – (b × c)

Ici, a = 4, b= 1, c= 2, d= 2

Déterminant = (4 × 2) – (1 × 2)

Déterminant = 8 – 2

Déterminant = 6

Maintenant, multipliez le déterminant de la matrice 2 × 2 par l'élément choisi dans la ligne de référence (qui est 1 dans ce cas) :

deuxième élément = 1 × 6 = 6

Étape 6 : Répétez ce processus pour le troisième élément de la ligne de référence choisie

Pour le troisième élément

Trouvez le déterminant du troisième élément 3 en mettant les valeurs de la matrice 2 × 2 dans la formule

Déterminant = (a × d) – (b × c)

Ici, a = 4, b= 0, c= 2, d= -1

Déterminant = (4 × -1) – (0 × 2)

Déterminant = -4 – 0

Déterminant = -4

Maintenant, multipliez le déterminant de la matrice 2×2 par l'élément choisi dans la ligne de référence (qui est 3 dans ce cas) :

deuxième élément = 3 × (-4) = -12

Étape 7 : Utiliser la formule

Additionnez tous les résultats des étapes 4, 5 et 6

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 est le déterminant de la matrice 3 × 3.

Application du déterminant d'une matrice 3 × 3

Le déterminant d'une matrice peut être utilisé pour trouver l'inverse et résoudre le système d'équation linéaire. Par conséquent, nous apprenons à trouver l’inverse de la matrice 3 × 3 et également à résoudre un système d’équation linéaire en utilisant la règle de Cramer qui implique l’utilisation du déterminant de la matrice 3 × 3.

Inverse de la matrice 3 × 3

La formule pour trouver l’inverse d’une matrice carrée A est :

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Où,

• A-1 est le inverse de la matrice A .
• Det(A) représente le déterminant de la matrice A.
• adj(A) représente l'adjugé de la matrice A

En termes simples, vous pouvez suivre ces étapes pour trouver l’inverse d’une matrice :

Étape 1. Calculez le déterminant de la matrice A.

Étape 2. Trouver l'adjugé de la matrice A.

Étape 3. Multipliez chaque élément de l'adjugé par 1/det(A).

Cette formule est utilisée pour les matrices carrées (matrices avec le même nombre de lignes et de colonnes) et suppose que le déterminant est non nul, ce qui est une condition nécessaire pour qu'une matrice ait un inverse.

La règle de Cramer

La règle de Cramer fournit une formule pour résoudre un système d’équations linéaires à l’aide de déterminants. Pour un système d'équations linéaires à n variables sont données sous la forme de

AX=B

Où,

• A = Coefficient de la matrice carrée
• X = Matrice de colonnes ayant des variables
• B = Matrice de colonnes ayant des constantes

Considérons le système d'équation linéaire suivant

un₁x + b₁y + c₁z + . . . = ré₁

un₂x + b₂y + c₂z + . . . = ré₂

. . .

un_nx + b_ny + c_nz + . . . = ré_n

Les variables x, y, z, …, sont déterminées à l'aide des formules suivantes :

• x = ré_X/D
• y = ré_et/D
• z = D_Avec/D

Où:

• D est le déterminant de la matrice des coefficients.
• D_Xest le déterminant de la matrice obtenu en remplaçant les coefficients de x par les constantes du membre de droite.
• D_etest le déterminant de la matrice obtenu en remplaçant les coefficients de y
• D_Avecest le déterminant de la matrice obtenu en remplaçant les coefficients de z

La règle de Cramer est applicable lorsque le déterminant de la matrice de coefficients D est non nul. Si D = 0, on ne peut pas appliquer la règle qui indique soit aucune solution, soit une infinité de solutions selon les cas particuliers.

Vérifiez également

• Types de matrices
• Système d'équations linéaires à trois variables
• Opérations matricielles

Déterminant des exemples résolus par une matrice 3 × 3

Exemple 1 : Trouver le déterminant de la matrice A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Déterminant de A = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ Déterminant de A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Déterminant de A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Déterminant de A = (-44) +15 – 4

⇒ Déterminant de A =-44+11

∴ Déterminant de A, c'est-à-dire |A| = (-33)

Exemple 2 : Trouver le déterminant de la matrice B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Déterminant de B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

⇒ Déterminant de B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Déterminant de B = 1(6) – 0 – 12

⇒ Déterminant de B =6-12

⇒ Déterminant de B = (-6)

∴ Déterminant de B, c'est-à-dire |B| = 6

Exemple 3 : Trouver le déterminant de la matrice C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Déterminant de la matrice C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Déterminant de C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Déterminant de C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Déterminant de C = 24 + 10 -8

⇒ Déterminant de C = 26

∴ Déterminant de C, c'est-à-dire |C| = 26

Exemple 4 : Résoudre le système d'équations donné en utilisant la règle de Cramer

2x + 3a – z = 7
4x – 2 ans + 3 z = 8
x + y + 2z = 10

Solution:

Étape 1: Tout d'abord, trouvez le déterminant D de matrice de coefficients.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

Sur la résolution de ce déterminant D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

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⇒ D= -19

Étape 2: Maintenant, trouvons les déterminants de D_X, D_etet D_Avec

Pour D_X, on remplace les coefficients de x par les constantes du membre de droite :

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Pour D_et, on remplace les coefficients de y par les constantes :

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Pour D_Avec, on remplace les coefficients de z par les constantes :

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

Sur la résolution du déterminant D_X

D_X= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒D_X= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒D_X= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒D_X= -49 + 42 + 28

Ainsi, D_X= 21

Sur la résolution du déterminant D_et

D_et= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒D_et= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒D_et= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒D_et= -68 + 14 + 24

⇒D_et= -30

Sur la résolution du déterminant D_Avec

D_Avec= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒D_Avec= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒D_Avec= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒D_Avec= 20 – 6 – 98

⇒D_Avec= -84

Étape 3: Maintenant, en mettant les valeurs de D, D_X, D_etet D_Avecdans la formule de la règle de Carmer pour trouver les valeurs de x, y et z.

x = ré_X/D = 21/(-19)

y = D_et/D = (-30)/(-19)

z = D_Avec/D = (-84)/(-19)

Questions pratiques sur le déterminant de la matrice 3 × 3

T1. Calculer le déterminant de la matrice identité :

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Trouver le déterminant de la matrice :

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Déterminer le déterminant de la matrice :

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Calculez le déterminant de la matrice :

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

Q5. Trouver le déterminant de la matrice :

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Q6. Déterminer le déterminant de la matrice :

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

Déterminant de la matrice 3 × 3 – FAQ

1. Qu'est-ce qu'une matrice ?

Une matrice est un arrangement rectangulaire de nombres ou d'éléments organisés en lignes et en colonnes. Il est utilisé dans divers domaines pour représenter et résoudre des problèmes mathématiques, scientifiques et techniques.

2. Quelle est la signification du déterminant d’une matrice 3 × 3 ?

Le déterminant d’une matrice 3 × 3 est important car il fournit des informations sur les propriétés de la matrice. Il permet de déterminer si un système d'équations linéaires a une solution unique, entre autres applications.

3. Quelle est la définition du déterminant de la matrice ?

Le déterminant d’une matrice est une valeur scalaire calculée à partir des éléments de la matrice, fournissant des informations sur ses propriétés. Il est utilisé pour résoudre des systèmes d’équations linéaires, trouver des inverses, etc.

4. Et si le déterminant d'une matrice 3 × 3 est zéro ?

Si le déterminant d’une matrice 3 × 3 est nul, cela signifie que la matrice est singulière et qu’elle n’a pas d’inverse. En termes géométriques, cela indique que la transformation représentée par la matrice réduit la surface ou le volume à zéro. le déterminant est toujours nul. Ceci s’applique aux matrices de n’importe quelle taille.

5. Le déterminant d’une matrice 3 × 3 peut-il être négatif ?

Oui, le déterminant peut être négatif. Le signe du déterminant dépend de la disposition des éléments de la matrice et du fait qu'ils donnent une valeur positive ou négative selon la méthode de calcul.

6. Quelles sont quelques applications pratiques de la recherche du déterminant d’une matrice 3 × 3 ?

Les déterminants sont utilisés dans divers domaines, notamment la physique, l’ingénierie, l’infographie et l’économie. Ils aident à résoudre des systèmes d'équations linéaires, à analyser des transformations géométriques et à déterminer la stabilité des systèmes dynamiques.