L'algèbre booléenne est un type d'algèbre créé en exploitant le système binaire. En 1854, George Boole, un mathématicien anglais, proposa cette algèbre. Il s’agit d’une variante de la logique propositionnelle d’Aristote qui utilise les symboles 0 et 1, ou Vrai et Faux. L'algèbre booléenne concerne les variables binaires et les opérations logiques.
L'algèbre booléenne est fondamentale dans le développement de systèmes électroniques numériques car ils utilisent tous le concept de Algèbre de Boole pour exécuter des commandes. Outre l'électronique numérique, cette algèbre trouve également son application dans la théorie des ensembles, les statistiques et d'autres branches des mathématiques.
Dans cet article, nous découvrirons en détail les opérations booléennes de base, les expressions booléennes, les tables de vérité, les lois booléennes et autres.
Table des matières
- Opérations d'algèbre booléenne
- Table d'Algbera booléenne
- Expression booléenne et variables
- Terminologies de l'algèbre booléenne
- Tables de vérité en algèbre booléenne
- Règles d'algèbre booléenne
- Lois de l'algèbre booléenne
- Théorèmes d'algèbre booléenne
- Exemples résolus sur l'algèbre booléenne
Opérations d'algèbre booléenne
Diverses opérations sont utilisées en algèbre booléenne, mais les opérations de base qui constituent la base de l'algèbre booléenne le sont.
- Négation ou PAS Fonctionnement
- Conjonction ou Opération ET
- Disjonction ou OU Opération
Expression d'algèbre booléenne
Vérifier: Bases de l'algèbre booléenne en électronique numérique
Ces opérations ont leurs propres symboles et priorité et le tableau ajouté ci-dessous montre le symbole et la priorité de ces opérateurs.
Opérateur | Symbole | Priorité jeux d'images avec Android |
|---|---|---|
PAS | ‘ (ou) ⇁ | D'abord |
ET | . (ou) ∧ | Deuxième |
OU | + (ou) ∨ | Troisième |
Nous pouvons facilement définir ces opérations à l'aide de deux variables booléennes.
Prenons deux variables booléennes A et B qui peuvent prendre l'une des deux valeurs 0 ou 1, c'est-à-dire qu'elles peuvent être soit OFF, soit ON. Ensuite, ces opérations sont expliquées comme suit :
Négation ou opération NON
En utilisant le PAS opération inverse la valeur de la variable booléenne de 0 à 1 ou vice-versa. Cela peut être compris comme :
- Si A = 1, alors en utilisant l'opération NOT, nous avons (A)' = 0
- Si A = 0, alors en utilisant l’opération NOT nous avons (A)’ = 1
- Nous représentons également l'opération de négation par ~A, c'est-à-dire si A = 1, ~A = 0
Vérifier: Propriétés de l’algèbre booléenne
Conjonction ou opération ET
En utilisant le ET L'opération satisfait à la condition si la valeur des variables individuelles est vraie et si l'une des valeurs est fausse, alors cette opération donne un résultat négatif. Cela peut être compris comme,
- Si A = Vrai, B = Vrai, alors A . B = Vrai
- Si A = True, B = False ou A = false, B = True, alors A . B = Faux
- Si A = Faux, B = Faux, alors A . B = Faux
Vérifier: Théorèmes algébriques booléens
Opération de disjonction (OU)
En utilisant le OU L'opération satisfait à la condition si une valeur des variables individuelles est vraie, elle ne donne un résultat négatif que si les deux valeurs sont fausses. Cela peut être compris comme,
- Si A = Vrai, B = Vrai, alors A + B = Vrai
- Si A = Vrai, B = Faux, Ou A = faux, B = Vrai, alors A + B = Vrai
- Si A = Faux, B = Faux, alors A + B = Faux
Tableau d'algèbre booléenne
Ci-dessous se trouve l'expression de l'algèbre booléenne
| Opération | Symbole | Définition |
|---|---|---|
| ET Fonctionnement | ⋅ ou ∧ | Renvoie vrai uniquement si les deux entrées sont vraies. |
| OU Opération | + ou ∨ | Renvoie vrai si au moins une entrée est vraie. |
| PAS Fonctionnement | ¬ ou ∼ | Inverse l'entrée. |
| Opération XOR | ⊕ | Renvoie vrai si exactement une entrée est vraie. |
| Fonctionnement NAND | ↓ | Renvoie false uniquement si les deux entrées sont vraies. |
| Opération NOR | ↑ | Renvoie false si au moins une entrée est vraie. |
| Fonctionnement XNOR | ↔ | Renvoie vrai si les deux entrées sont égales. |
Expression booléenne et variables
Une expression booléenne est une expression qui produit une valeur booléenne lorsqu'elle est évaluée, c'est-à-dire qu'elle produit soit une valeur vraie, soit une valeur fausse. Alors que les variables booléennes sont des variables qui stockent des nombres booléens.
P + Q = R est une expression booléenne dans laquelle P, Q et R sont des variables booléennes qui ne peuvent stocker que deux valeurs : 0 et 1. Les 0 et 1 sont les synonymes de faux et vrai et sont parfois utilisés en algèbre booléenne. nous utilisons également Oui à la place de Vrai et Non à la place de Faux.
Ainsi, on peut dire que les instructions utilisant des variables booléennes et opérant sur des opérations booléennes sont des expressions booléennes. Voici quelques exemples d'expressions booléennes :
- A + B = Vrai
- A.B = Vrai
- (A)' = Faux
Vérifier: Axiomes de l'algèbre booléenne
Terminologies de l'algèbre booléenne
Il existe différentes terminologies liées à l'algèbre booléenne, qui sont utilisées pour expliquer divers paramètres de Algèbre de Boole . Qui comprend,
série de Fibonacci en c
- Algèbre de Boole
- Variables booléennes
- Fonction booléenne
- Littéral
- Complément
- Table de vérité
Nous allons maintenant discuter des terminologies importantes de l'algèbre booléenne dans l'article ci-dessous,
Algèbre de Boole
La branche de l'algèbre qui traite des opérations binaires ou des opérations logiques est appelée algèbre booléenne. Il a été introduit par George Boole au milieu du XIXe siècle. Il est utilisé pour analyser et manipuler des fonctions logiques dans des variables binaires. Il est largement utilisé dans divers domaines tels que la conception logique numérique, l'informatique et les télécommunications.
Variables booléennes
Les variables utilisées en algèbre booléenne qui stockent la valeur logique de 0 et 1 sont appelées variables booléennes. Ils sont utilisés pour stocker des valeurs vraies ou fausses. Les variables booléennes sont fondamentales pour représenter des états logiques ou des propositions dans des expressions et fonctions booléennes.
Fonction booléenne
Une fonction de l'algèbre booléenne formée par l'utilisation de variables booléennes et d'opérateurs booléens est appelée fonction booléenne. Il est formé en combinant des variables booléennes et des expressions logiques telles que AND, OR et NOT. Il est utilisé pour modéliser des relations logiques, des conditions ou des opérations.
Littéral
Une variable ou le complément de la variable en algèbre booléenne est appelée le littéral. Les littéraux sont les éléments de base des expressions et fonctions booléennes. Ils représentent les opérandes des opérations logiques.
Complément
L'inverse de la variable booléenne est appelé le complément de la variable. Le complément de 0 est 1 et le complément de 1 est 0. Il est représenté par ' ou (¬) sur la variable. Les compléments sont utilisés pour représenter les négations logiques dans les expressions et fonctions booléennes.
Table de vérité
La table contenant toutes les valeurs possibles des variables logiques et la combinaison de la variable avec l'opération donnée est appelée table de vérité. Le nombre de lignes dans la table de vérité dépend du nombre total de variables booléennes utilisées dans cette fonction. Il est donné en utilisant la formule,
Nombre de lignes dans la table de vérité = 2 n
où n est le nombre de variables booléennes utilisées.
Vérifier:
- Théorie des ensembles
- Statistiques
Tables de vérité en algèbre booléenne
Une table de vérité représente toutes les combinaisons de valeurs d’entrée et de sorties sous forme de tableau. Toutes les possibilités d'entrée et de sortie y sont affichées, d'où le nom de table de vérité. Dans les problèmes de logique, les tables de vérité sont couramment utilisées pour représenter divers cas. T ou 1 signifie « Vrai » et F ou 0 signifie « Faux » dans la table de vérité.
Exemple : Dessinez la table de vérité des conditions A + B et A.B où A et b sont des variables booléennes.
Solution:
La table de vérité requise est,
| UN | B | X = A + B | Y = A.B |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | F |
| F | T | T | F |
| F | F | F | F |
Règles d'algèbre booléenne
En algèbre booléenne, il existe différentes règles fondamentales pour l’expression logique.
- Représentation binaire : En algèbre booléenne, les variables ne peuvent avoir que deux valeurs, 0 ou 1, où 0 représente faible et 1 représente élevé. Ces variables représentent les états logiques du système.
- Représentation complémentaire : Le complément des variables est représenté par (¬) ou (') sur la variable. Cela indique une négation ou une inversion logique de la valeur de la variable. Le complément de la variable A peut donc être représenté par
overline{A} ,si la valeur de A=0 alors son complément est 1. - OU Opération : L'opération OU est représentée par (+) entre les variables. L'opération OU renvoie vrai si au moins un des opérandes est vrai. Pour des exemples, prenons trois variables A, B, C, l'opération OU peut être représentée par A+B+C.
- ET Fonctionnement : L'opération ET est indiquée par (.) entre les variables. L'opération AND renvoie vrai uniquement si tous les opérandes sont vrais. Pour des exemples, prenons trois variables A, B, C, l'opération ET peut être représentée ABC ou ABC.
Lois de l'algèbre booléenne
Les lois fondamentales de l'algèbre booléenne sont ajoutées dans le tableau ajouté ci-dessous,
| Loi | Formulaire OU | ET formulaire |
|---|---|---|
| Droit de l'identité | P + 0 = P | P.1 = P |
| Loi idempotente | P + P = P | P.P = P |
| Loi commutative | P + Q = Q + P | P.Q = Q.P |
| Droit associatif | P + (Q + R) = (P + Q) + R | P.(Q.R) = (P.Q).R |
| Loi distributive | P + QR = (P + Q).(P + R) | P.(Q + R) = P.Q + P.R |
| Loi d'inversion | (A')' = A | (A')' = A |
| De la loi de Morgan | (P + Q)’ = (P)’.(Q)’ | (P.Q)' = (P)' + (Q)' |
Découvrons ces lois en détail.
Droit de l'identité
Dans l'algèbre booléenne, nous avons des éléments d'identité pour les opérations AND(.) et OR(+). La loi de l'identité stipule qu'en algèbre booléenne, nous avons de telles variables qu'en opérant avec les opérations AND et OR, nous obtenons le même résultat, c'est-à-dire
- A + 0 = A
- A.1 = A
Loi commutative
Les variables binaires en algèbre booléenne suivent la loi commutative. Cette loi stipule que le fonctionnement des variables booléennes A et B est similaire au fonctionnement des variables booléennes B et A. Autrement dit,
- A.B = B.A
- A + B = B + A
Droit associatif
La loi associative stipule que l’ordre d’exécution des opérateurs booléens est illogique car leur résultat est toujours le même. Cela peut être compris comme,
- ( UN B ) . C = UNE. ( AVANT JC )
- ( UNE + B ) + C = UNE + ( B + C)
Loi distributive
Les variables booléennes suivent également la loi distributive et l'expression de la loi distributive est donnée comme suit :
- UN . ( B + C) = (UNE. B) + (UNE. C)
Loi d'inversion
La loi d'inversion est la loi unique de l'algèbre booléenne. Cette loi stipule que le complément du complément de tout nombre est le nombre lui-même.
- (A')' = A
Outre ces autres lois, sont mentionnées ci-dessous :
ET Loi
La loi ET de l'algèbre booléenne utilise l'opérateur ET et la loi ET est,
- UN . 0 = 0
- UN . 1 = UN
- UN . UNE = UNE
OU Loi
La loi OU de l'algèbre booléenne utilise l'opérateur OU et la loi OU est,
- A + 0 = A
- A + 1 = 1
- A + A = A
Les lois de De Morgan sont également appelées Extrait du théorème de Morgan . Ce sont les lois les plus importantes en Algèbre de Boole et ceux-ci sont ajoutés ci-dessous sous le titre Théorème de l'algèbre booléenne
Théorèmes d'algèbre booléenne
Il existe deux théorèmes fondamentaux d’une grande importance en algèbre booléenne, à savoir les premières lois de De Morgan et les secondes lois de De Morgan. Ceux-ci sont également appelés théorèmes de De Morgan. Voyons maintenant les deux en détail.
Les premières lois de De Morgan
La table de vérité pour cela est donnée ci-dessous :
| P. | Q | (P)’ | (Q)' | (P.Q)’ | (P)' + (Q)' |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | F |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
Nous pouvons clairement voir que les valeurs de vérité pour (P.Q)' sont égales aux valeurs de vérité pour (P)' + (Q)', correspondant à la même entrée. Ainsi, la première loi de De Morgan est vraie.
Extrait des deuxièmes lois de Morgan
Déclaration: Le Complément de la somme (OR) de deux variables (ou expressions) booléennes est égal au produit (ET) du complément de chaque variable (ou expression) booléenne.
(P + Q)’ = (P)’.(Q)’
Preuve:
La table de vérité pour cela est donnée ci-dessous :
| P. | Q | (P)’ | (Q)' | (P + Q)' | (P)'.(Q)' |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | F |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Nous pouvons clairement voir que les valeurs de vérité pour (P + Q)' sont égales aux valeurs de vérité pour (P)'.(Q)', correspondant à la même entrée. Ainsi, la deuxième loi de De Morgan est vraie.
En savoir plus,
caractère java en chaîne
Exemples résolus sur l'algèbre booléenne
Dessiner une table de vérité pour P + P.Q = P
Solution:
La table de vérité pour P + P.Q = P
P. Q P.Q. P + P.Q T T T T T F F T F T F F F F F F Dans la table de vérité, nous pouvons voir que les valeurs de vérité pour P + P.Q sont exactement les mêmes que pour P.
Dessiner une table de vérité pour P.Q + P + Q
Solution:
La table de vérité pour P.Q + P + Q
P. Q P.Q. P.Q + P + Q T T T T T F F T F T F T F F F F
Résoudre
Solution:
Utiliser la loi de De Morgan
overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C) Utiliser la loi distributive
10 sur 1 million
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C Ainsi, l'expression simplifiée de l'équation donnée
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C
Conclusion
L'algèbre booléenne sert de cadre fondamental pour représenter et manipuler des expressions logiques à l'aide de variables binaires et d'opérateurs logiques. Il joue un rôle crucial dans divers domaines tels que la conception logique numérique, la programmation informatique et l'analyse de circuits. En fournissant un moyen systématique de décrire et d'analyser les relations logiques, l'algèbre booléenne permet le développement de systèmes et d'algorithmes complexes. Ses principes et opérations, notamment AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR et XNOR, constituent les éléments constitutifs de la conception de circuits logiques, de l'écriture de code efficace et de la résolution de problèmes logiques.
Algèbre booléenne – FAQ
Qu’est-ce que l’algèbre booléenne ?
Algèbre booléenne également appelée Algèbre logique est une branche des mathématiques qui traite des variables booléennes telles que 0 et 1.
Que sont les principaux opérateurs booléens ?
Il existe trois principaux opérateurs booléens qui sont :
- ET (Conjonction)
- OU (Disjonction)
- NON (Négation)
Comment minimiser la fonction booléenne ?
Il existe plusieurs méthodes pour minimiser les fonctions booléennes, notamment :
- Simplification algébrique :
- Cartes Karnaugh (K-Maps) :
- Algorithme Quine-McCluskey :
- Méthode de tabulation :
- Conditions indifférentes :
Quelles sont les applications de l’algèbre booléenne ?
Algèbre de Boole a diverses applications. Il est utilisé pour simplifier les circuits logiques qui constituent l’épine dorsale de la technologie moderne.
Que représente 0 en algèbre booléenne ?
Le 0 dans Algèbre de Boole représente une condition fausse ou représente la condition d'arrêt.
Que représente 1 en algèbre booléenne ?
Le 1 dans Algèbre de Boole représente une condition vraie ou représente la condition de mise sous tension.
Que sont les lois de l’algèbre booléenne ?
Les lois de l'algèbre booléenne sont des règles permettant de manipuler des expressions logiques avec des variables binaires, assurer la cohérence et la simplification des opérations telles que l'addition, la multiplication et la complémentation, cruciales dans des domaines comme l'électronique numérique et l'informatique.
Quelles sont les 5 lois de l’algèbre booléenne ?
Algèbre de Boole est régi par cinq lois primaires, qui servent de fondement à la manipulation des expressions logiques :
1. Loi sur l'identité pour ET
2. Loi sur l'identité pour la salle d'opération
3. Loi complémentaire pour ET
4. Loi complémentaire pour la RO
5. Loi idempotente
Quelles sont les 3 lois de la logique booléenne ?
Les trois lois fondamentales de la logique booléenne sont
- La loi sur l'identité (ajouter zéro ou multiplier par un maintient la variable inchangée)
- La loi sur la domination (ajouter une variable à son complément donne 1 et la multiplier par son complément donne 0)
- La loi commutative (l'ordre des variables peut être commuté en addition ou en multiplication sans changer le résultat).
Qu’est-ce que le théorème de De Morgan ?
Le théorème de De Morgan stipule que t le complément d'une opération logique ET est équivalent à l'opération OU des compléments des termes individuels, et vice versa. C'est un principe fondamental de l'algèbre booléenne utilisé pour simplifier les expressions logiques et optimiser les circuits logiques.