L'aire sous courbe est l'aire délimitée par la courbe et les axes de coordonnées, elle est calculée en prenant de très petits rectangles puis en prenant leur somme si l'on prend des rectangles infiniment petits alors leur somme est calculée en prenant la limite de la fonction ainsi formée.

Pour une fonction donnée f(x) définie dans l'intervalle [a, b], l'aire (A) sous la courbe de f(x) de 'a' à 'b' est donnée par UNE = ∫ _un ^b f(x)dx . L'aire sous une courbe est calculée en prenant la valeur absolue de la fonction sur l'intervalle [a, b], additionnée sur la plage.

Dans cet article, nous découvrirons l'aire sous la courbe, ses applications, des exemples et autres en détail.

Table des matières

• Qu’est-ce que l’aire sous la courbe ?
• Calcul de l'aire sous la courbe
• Utiliser les sommes de Reimann
• Utiliser des intégrales définies
• Surface approximative sous la courbe
• Calcul de l'aire sous la courbe
• Formules d'aire sous la courbe

Qu’est-ce que l’aire sous la courbe ?

L'aire sous la courbe est l'aire délimitée par n'importe quelle courbe avec l'axe des x et des conditions aux limites données, c'est-à-dire l'aire délimitée par la fonction y = f(x), l'axe des x et la ligne x = a et x = b. Dans certains cas, il n’y a qu’une ou aucune condition aux limites lorsque la courbe coupe l’axe des x une ou deux fois respectivement.

L'aire sous la courbe peut être calculée à l'aide de diverses méthodes telles que la somme de Reimann et Intégrale définie et nous pouvons également approximer la zone en utilisant les formes de base, c'est-à-dire un triangle, un rectangle, un trapèze, etc.

Lire en détail : Calcul en mathématiques

Calcul de l'aire sous la courbe

Pour calculer l'aire sous une courbe, nous pouvons utiliser les méthodes suivantes telles que :

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• Utiliser les sommes de Reimann
• Utiliser des intégrales définies
• Utiliser l'approximation

Étudions ces méthodes en détail comme suit :

Utiliser les sommes de Reimann

Sommes de Reimann est calculé en divisant le graphique d’une fonction donnée en rectangles plus petits et en additionnant les aires de chaque rectangle. Plus nous considérons de rectangles en subdivisant l'intervalle fourni, plus la surface calculée par cette approche est précise ; néanmoins, plus nous considérons de sous-intervalles, plus les calculs deviennent difficiles.

Reimann Sum peut être classé en trois autres catégories telles que :

• Somme de Reimann gauche
• Somme de Reimann droite
• Somme de Reimann médiane

L'aire utilisant la somme de Reimann est donnée comme suit :

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

où,

• f(x _je ) est la valeur de la fonction intégrée au je ^ème Point d'échantillonnage
• Δx = (b-a)/n est la largeur de chaque sous-intervalle,
  • un et b sont les limites de l’intégration et
  • n est le nombre de sous-intervalles
• ∑ représente la somme de tous les termes de i=1 à n,

Exemple : Trouvez l'aire sous la courbe de la fonction, f(x) = x ² entre les limites x = 0 et x = 2.

Solution:

Nous voulons trouver l'aire sous la courbe de cette fonction entre x = 0 et x = 2. Nous utiliserons une somme de Reimann gauche avec n = 4 sous-intervalles pour approximer l'aire.

Calculons l'aire sous la courbe en utilisant 4 sous-intervalles.

Ainsi, largeur des sous-intervalles, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Les 4 sous-intervalles sont,

une = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

X₀= 0,x₁= 0,5, x₂= 1,x₃= 1,5, x₄= 2

Nous pouvons maintenant évaluer la fonction à ces valeurs x pour trouver les hauteurs de chaque rectangle :

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

L'aire sous la courbe peut maintenant être approximée en additionnant les aires des rectangles formés par ces hauteurs :

UNE ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Par conséquent, aire sous la courbe de f(x) = x²entre x = 0 et x = 2, approximé à l'aide d'une somme de Reimann gauche avec 4 sous-intervalles, est d'environ 1,25.

Utiliser des intégrales définies

L'intégrale définie est presque la même que la somme de Reimann mais ici le nombre de sous-intervalles s'approche de l'infini. Si la fonction est donnée pour l'intervalle [a, b] alors l'intégrale définie est définie comme :

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Une intégrale définie donne l'aire exacte sous la courbe, contrairement à la somme de Reimann. L'intégrale définie est calculée en trouvant la primitive de la fonction et en l'évaluant aux limites d'intégration.

Zone par rapport à l'axe X

La courbe montrée dans l'image ci-dessous est représentée par y = f(x). Nous devons calculer l’aire sous la courbe par rapport à l’axe des x. Les valeurs limites de la courbe sur l'axe des x sont respectivement a et b. L'aire A sous cette courbe par rapport à l'axe des x est calculée entre les points x = a et x = b. Considérons la courbe suivante :

La formule pour l'aire sous la courbe par rapport à l'axe des x est donnée par :

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

où,

• UN est l'aire sous la courbe
• et ou f(x) est l'équation de la courbe
• un, et b sont des valeurs x ou une limite d'intégration, pour lesquelles nous devons calculer l'aire

Zone par rapport à l'axe Y

La courbe montrée dans l'image ci-dessus est représentée en utilisant x = f(y). Nous devons calculer l'aire sous la courbe par rapport à l'axe Y. Les valeurs limites de la courbe sur l'axe Y sont respectivement a et b. L'aire A sous cette courbe par rapport à l'axe Y entre les points y = a et y = b. Considérons la courbe suivante :

La formule pour l'aire sous la courbe par rapport à l'axe y est donnée par :

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

où,

• UN est l'aire sous la courbe
• X ou f(y) est l'équation de la courbe
• un B sont des interceptions y

Apprendre encore plus, Aire entre deux courbes

Surface approximative sous la courbe

L'estimation de l'aire sous la courbe implique l'utilisation de formes géométriques simples, telles que des rectangles ou des trapèzes, pour estimer l'aire sous la courbe. Cette méthode est utile lorsque la fonction est difficile à intégrer ou lorsqu'il n'est pas possible de trouver une primitive de la fonction. La précision de l'approximation dépend de la taille et du nombre de formes utilisées.

Calcul de l'aire sous la courbe

Nous pouvons facilement calculer l’aire des différentes courbes en utilisant les concepts abordés dans l’article donné. Considérons maintenant quelques exemples de calcul de l'aire sous la courbe pour certaines courbes courantes.

Aire sous la courbe : Parabole

Nous savons qu'une parabole standard est divisée en deux parties symétriques soit par l'axe des x, soit par l'axe des y. Supposons que nous prenions une parabole²= 4ax et alors son aire doit être calculée de x = 0 à x = a. Et si nécessaire, nous doublons son aire pour trouver l’aire de la parabole dans les deux quadrants.

Surface de calcul,

et²= 4ax

y = √(4ax)

UNE = 2∫₀^uny.dx

UNE = 2∫₀^un√(4ax).dx

UNE = 4√(une)∫₀^un√(x).dx

UNE = 4√(une){2/3.une^3/2}

A = 8/3a²

Ainsi, l'aire sous la parabole de x = 0 à x = a est 8/3a ² unités carrées

Aire sous la courbe : cercle

Un cercle est une courbe fermée dont la circonférence est toujours à égale distance de son centre. Son aire est calculée en calculant d'abord l'aire du premier quadrant, puis en la multipliant par 4 pour les quatre quadrants.

Supposons que nous prenons un cercle x²+ et²= un²puis son aire doit être calculée de x = 0 à x = a dans le premier quadrant. Et si nécessaire, nous quadruplons son aire pour trouver l’aire du cercle.

Surface de calcul,

X²+ et²= un²

y = √(une²- X²).dx

UNE = 4∫₀^uny.dx

UNE = 4∫₀^un√(un²- X²).dx

UNE = 4[x/2√(une²- X²) + un²/2 sans^-1(x/a)]^un₀

UNE = 4[{(une/2).0 + une²/2.sans^-1} – 0]

UNE = 4(une²/2)(p/2)

A = πa²

Ainsi, l’aire sous le cercle est Pennsylvanie ² unités carrées

Aire sous la courbe : Ellipse

Un cercle est une courbe fermée. Son aire est calculée en calculant d'abord l'aire du premier quadrant, puis en la multipliant par 4 pour les quatre quadrants.

Supposons que nous prenions un cercle (x/a)²+ (o/b)²= 1 et ensuite son aire doit être calculée de x = 0 à x = a dans le premier quadrant. Et si nécessaire, nous quadruplons son aire pour trouver l’aire de l’ellipse.

Surface de calcul,

(x/a)²+ (o/b)²= 1

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y = b/une√(une²- X²).dx

UNE = 4∫₀^uny.dx

UNE = 4b/une∫₀^un√(un²- X²).dx

UNE = 4b/une[x/2√(une²- X²) + un²/2 sans^-1(x/a)]^un₀

UNE = 4b/une[{(une/2).0 + une²/2.sans^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Ainsi, l’aire sous l’ellipse est πab unités carrées.

Formules d'aire sous la courbe

La formule pour différents types de calcul de l’aire sous la courbe est présentée ci-dessous :

Lisez également

• Intégrales
• Aire comme intégrale définie

Exemples d'exemples sur l'aire sous la courbe

Exemple 1 : Trouver l'aire sous la courbe y ² = 12x et l'axe X.

Solution:

L'équation de la courbe donnée est y²= 12x

C'est une équation de parabole avec a = 3 donc, y²= 4(3)(x)

Le graphique de la zone requise est présenté ci-dessous :

L'axe X divise la parabole ci-dessus en 2 parties égales. Ainsi, nous pouvons trouver l’aire dans le premier quadrant puis la multiplier par 2 pour obtenir l’aire requise

Ainsi, nous pouvons trouver la surface requise comme suit :

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 unités carrées

Exemple 2 : Calculer l'aire sous la courbe x = y ³ – 9 entre les points y = 3 et y = 4.

Solution:

Étant donné, l'équation de la courbe est x = y³– 9

Les points limites sont (0, 3) et (0, 4)

Comme l'équation de la courbe est de la forme x = f(y) et que les points sont également sur l'axe Y, nous utiliserons la formule,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

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⇒ A = 139/4 unités carrées

Exemple 3 : Calculer l'aire sous la courbe y = x ² – 7 entre les points x = 5 et x = 10.

Solution:

Étant donné la courbe est y = x²−7 et les points limites sont (5, 0) et (10, 0)

Ainsi, l’aire sous la courbe est donnée par :

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 unités carrées

Exemple 4 : Trouver la zone délimitée par la parabole y ² = 4ax et la droite x = a dans le premier quadrant.

Solution:

La courbe et la ligne donnée peuvent être tracées comme suit :

Maintenant, l'équation de la courbe est y²= 4ax

Les points limites sont (0, 0) et (a, 0)

Ainsi, l’aire par rapport à l’axe X peut être calculée comme suit :

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Exemple 5 : Trouver la zone couverte par le cercle x ² + et ² = 25 dans le premier quadrant.

Solution:

Étant donné, x²+ et²= 25

La courbe peut être tracée comme suit :

La zone requise a été ombrée dans la figure ci-dessus. D’après l’équation, nous pouvons voir que le rayon du cercle est de 5 unités.

Comme, x²+ et²= 25

y = sqrt{25-x^2}

Pour trouver la zone, nous utiliserons :

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 unités carrées

FAQ sur l'aire sous la courbe

Définir la zone sous une courbe.

La région délimitée par la courbe, l'axe et les points limites est appelée zone sous la courbe. À l'aide des axes de coordonnées et de la formule d'intégration, l'aire sous la courbe a été déterminée comme une aire bidimensionnelle.

Comment calculer l’aire sous une courbe ?

Il existe trois méthodes pour déterminer l'aire sous la courbe, à savoir :

java scan.chaîne suivante

• Sommes de Reimann impliquent de diviser la courbe en rectangles plus petits et d'ajouter leurs zones, le nombre de sous-intervalles affectant la précision du résultat.
• Intégrales définies sont similaires aux sommes de Reimann mais utilisent un nombre infini de sous-intervalles pour fournir un résultat exact.
• Méthodes d'approximation on utilise des formes géométriques connues pour approximer l'aire sous la courbe.

Quelle est la différence entre une intégrale définie et une somme de Reimann ?

La principale différence entre une intégrale définie et une somme de Reimann est qu'une intégrale définie représente l'aire exacte sous une courbe donnée alors qu'une somme de Reimann représente la valeur approximative de l'aire et que la précision de la somme dépend de la taille de partition choisie.

La surface sous la courbe peut-elle être négative ?

Si la courbe est en dessous de l’axe ou se trouve dans les quadrants négatifs de l’axe des coordonnées, l’aire sous la courbe est négative. Dans ce cas également, l'aire sous la courbe est calculée selon l'approche conventionnelle, puis la solution est modulée. Même dans les cas où la réponse est négative, seule la valeur de la zone est prise en compte, pas le signe négatif de la réponse.

Que représente l’aire sous la courbe dans les statistiques ?

L'aire sous courbe (ROC) est la mesure de la précision d'un test de diagnostic quantitatif.

Comment interpréter le signe de l’aire sous une courbe ?

Le signe de la zone indique que la zone sous la courbe est au-dessus de l'axe des x ou en dessous de l'axe des x. Si l'aire est positive, alors l'aire sous la courbe est au-dessus de l'axe des x et si elle est négative, l'aire sous la courbe est en dessous de l'axe des x.

Comment la surface sous la courbe est-elle estimée ?

En segmentant la région en minuscules rectangles, l'aire sous la courbe peut être estimée grossièrement. Et en additionnant les aires de ces rectangles, on peut obtenir l’aire sous la courbe.