Projection vectorielle est l'ombre d'un vecteur sur un autre vecteur. Le vecteur de projection est obtenu en multipliant le vecteur par le Cos de l'angle entre les deux vecteurs. Un vecteur a à la fois une ampleur et une direction. Deux vecteurs sont dits égaux s’ils ont la même grandeur et la même direction. La projection vectorielle est essentielle à la résolution numérique en physique et en mathématiques.

Dans cet article, nous découvrirons en détail ce qu'est la projection vectorielle, l'exemple de formule de projection vectorielle, la formule de projection vectorielle, la dérivation de la formule de projection vectorielle, l'algèbre linéaire de la formule de projection vectorielle, la formule de projection vectorielle 3D et quelques autres concepts connexes.

Table des matières

• Qu’est-ce que la projection vectorielle ?
• Formule de projection vectorielle
• Dérivation de la formule de projection vectorielle
• Exemples de formules de projection vectorielle
• Applications pratiques et importance de la projection vectorielle
• Exemples concrets de résolution de problèmes de projection vectorielle

Qu’est-ce que la projection vectorielle ?

La projection vectorielle est une méthode permettant de faire pivoter un vecteur et de le placer sur un deuxième vecteur. Par conséquent, un vecteur est obtenu lorsqu’un vecteur est résolu en deux composantes, parallèle et perpendiculaire. Le vecteur parallèle est appelé vecteur de projection. Ainsi, la projection vectorielle est la longueur de l'ombre d'un vecteur sur un autre vecteur.

La projection vectorielle d'un vecteur est obtenue en multipliant le vecteur par le Cos de l'angle entre les deux vecteurs. Disons que nous avons deux vecteurs « a » et « b » et que nous devons trouver la projection du vecteur a sur le vecteur b puis nous multiplierons le vecteur « a » par cosθ où θ est l'angle entre le vecteur a et le vecteur b.

Formule de projection vectorielle

Sivec Aest représenté par A etvec Best représenté par B, la projection vectorielle de A sur B est donnée comme le produit de A par Cos θ où θ est l'angle entre A et B. L'autre formule pour la projection vectorielle de A sur B est donnée comme le produit de A et B divisé par la grandeur de B. Le vecteur de projection obtenu est ainsi un multiple scalaire de A et a une direction dans la direction de B.

Dérivation de la formule de projection vectorielle

La dérivation de la formule de projection vectorielle est décrite ci-dessous :

Supposons que OP =vec Aet OQ =vec Bet l'angle entre OP et OQ est θ. Dessiné PN perpendiculairement à OQ.

Dans le triangle rectangle OPN, Cos θ = ON/OP

⇒ ON = ON Cos θ

⇒ ACTIVÉ = |vec A| Cosθ

ON est le vecteur de projection devec Asurvec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

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⇒ ACTIVÉ =frac{vec A.vec B}

Par conséquent, ON =|vec A|.hat B

Ainsi, la projection vectorielle devec Asurvec Best donné commefrac{vec A.vec B}

la projection vectorielle devec Bsurvec Aest donné commefrac{vec A.vec B}

Vérifiez également : Types de vecteurs

Termes importants concernant la projection vectorielle

Pour trouver la projection vectorielle, nous devons apprendre à trouver l’angle entre deux vecteurs et également à calculer le produit scalaire entre deux vecteurs.

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Angle entre deux vecteurs

L'angle entre les deux vecteurs est donné comme l'inverse du cosinus du produit scalaire de deux vecteurs divisé par le produit de la norme de deux vecteurs.

Disons que nous avons deux vecteursvec Aetvec Bl'angle entre eux est θ

⇒ cos θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

Produit scalaire de deux vecteurs

Disons que nous avons deux vecteursvec Aetvec Bdéfini commevec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat ketvec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k alors le produit scalaire entre eux est donné comme

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= un₁b₁+ un₂b₂+un₃b₃

Article associé:

• Ajout de vecteur
• Vecteur d'unité
• Algèbre vectorielle
• Algèbre linéaire

Exemples de formules de projection vectorielle

Exemple 1. Trouver la projection du vecteur 4hat i + 2hat j + hat k sur 5hat i -3hat j + 3hat k .

Solution:

Ici,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

On sait, projection du Vecteur a sur le Vecteur b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

Exemple 2. Trouver la projection du vecteur 5hat i + 4hat j + hat k sur 3hat i + 5hat j – 2hat k

Solution:

Ici,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

On sait, projection du Vecteur a sur le Vecteur b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Exemple 3. Trouver la projection du vecteur 5hat i – 4hat j + hat k sur 3hat i – 2hat j + 4hat k

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Solution:

Ici,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

On sait, projection du Vecteur a sur le Vecteur b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Exemple 4. Trouver la projection du vecteur 2hat i – 6hat j + hat k sur 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Solution:

Ici,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

On sait, projection du Vecteur a sur le Vecteur b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Exemple 5. Trouver la projection du vecteur 2hat i – hat j + 5hat k sur 4hat i – hat j + hat k .

Solution:

Ici,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

On sait, projection du Vecteur a sur le Vecteur b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Vérifier: Opérations vectorielles

Applications pratiques et importance de la projection vectorielle

La physique

• Forcer la décomposition : En physique, la formule de projection vectorielle est cruciale pour décomposer les forces en composantes parallèles et perpendiculaires aux surfaces. Par exemple, comprendre la force exercée par une corde dans un jeu de tir à la corde nécessite de projeter le vecteur force sur la direction de la corde.

• Calcul du travail : Le travail effectué par une force lors du déplacement est calculé par projection vectorielle. Le travail est le produit scalaire du vecteur force et du vecteur déplacement, projetant essentiellement un vecteur sur un autre pour trouver la composante de force dans la direction du déplacement.

Ingénierie

• Analyse structurelle : Les ingénieurs utilisent la projection vectorielle pour analyser les contraintes sur les composants. En projetant des vecteurs de force sur des axes structurels, ils peuvent déterminer les composantes de contrainte dans différentes directions, contribuant ainsi à la conception de structures plus sûres et plus efficaces.

• Dynamique des fluides : En dynamique des fluides, la projection vectorielle aide à analyser l'écoulement des fluides autour des objets. En projetant des vecteurs de vitesse d'un fluide sur des surfaces, les ingénieurs peuvent étudier les modèles d'écoulement et les forces, essentiels à la conception aérodynamique et à l'ingénierie hydraulique.

Infographie

• Techniques de rendu : La projection vectorielle est fondamentale en infographie pour le rendu des ombres et des reflets. En projetant des vecteurs de lumière sur des surfaces, un logiciel graphique calcule les angles et l'intensité des ombres et des reflets, améliorant ainsi le réalisme des modèles 3D.

• Animation et développement de jeux : En animation, la projection vectorielle est utilisée pour simuler des mouvements et des interactions. Par exemple, déterminer comment un personnage se déplace sur un terrain accidenté implique de projeter des vecteurs de mouvement sur la surface du terrain, permettant ainsi des animations réalistes.

Vérifier: Vecteurs de base en algèbre linéaire

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Exemples concrets de résolution de problèmes de projection vectorielle

Exemple 1 : Navigation GPS

• Contexte : Dans les systèmes de navigation GPS, la projection vectorielle est utilisée pour calculer le chemin le plus court entre deux points de la surface terrestre.
• Application : En projetant le vecteur de déplacement entre deux emplacements géographiques sur le vecteur de la surface terrestre, les algorithmes GPS peuvent calculer avec précision les distances et les directions, optimisant ainsi les itinéraires de déplacement.

Exemple 2 : Analyse sportive

• Contexte : Dans l'analyse sportive, en particulier dans le football ou le basket-ball, la projection vectorielle permet d'analyser les mouvements des joueurs et les trajectoires du ballon.
• Application : En projetant les vecteurs de mouvement des joueurs sur le terrain de jeu ou sur le terrain, les analystes peuvent étudier les modèles, les vitesses et l'efficacité des mouvements, contribuant ainsi à la planification stratégique et à l'amélioration des performances.

Exemple 3 : Ingénierie des énergies renouvelables

• Contexte : Dans la conception d'éoliennes, la compréhension des composantes de la force du vent est essentielle pour optimiser la production d'énergie.
• Application : Les ingénieurs projettent les vecteurs de vitesse du vent sur le plan des pales de la turbine. Cette analyse aide à déterminer l’angle et l’orientation optimaux des pales pour maximiser la capture de l’énergie éolienne.

Exemple 4 : Réalité augmentée (RA)

• Contexte : Dans les applications de réalité augmentée, la projection vectorielle est utilisée pour placer avec précision des objets virtuels dans des espaces du monde réel.
• Application : En projetant des vecteurs d'objets virtuels sur des plans du monde réel capturés par des appareils AR, les développeurs peuvent garantir que les objets virtuels interagissent de manière réaliste avec l'environnement, améliorant ainsi l'expérience utilisateur.

Vérifier: Composants du vecteur

FAQ sur la projection vectorielle

Définir le vecteur de projection.

Le vecteur de projection est l'ombre d'un vecteur sur un autre vecteur.

Qu'est-ce que la formule de projection vectorielle ?

La formule de projection du vecteur est donnée parfrac{vec A.vec B}

Comment trouver un vecteur de projection ?

Le vecteur de projection est trouvé en calculant le produit scalaire des deux vecteurs divisé par celui sur lequel l'ombre est projetée.

Quels sont les concepts requis pour calculer le vecteur de projection ?

Nous devons connaître l’angle entre deux vecteurs et le produit scalaire de deux vecteurs pour calculer la projection vectorielle.

Où le vecteur de projection est-il utilisé ?

Le vecteur de projection est utilisé pour résoudre diverses physiques numériques qui nécessitent que la quantité vectorielle soit divisée en ses composants.

Quelle est l’importance de la projection vectorielle en physique ?

En physique, la projection vectorielle est cruciale pour décomposer les forces, calculer le travail effectué par une force dans une direction spécifique et analyser le mouvement. Cela aide à comprendre comment les différentes composantes d’un vecteur contribuent aux effets dans diverses directions.

La projection vectorielle peut-elle être négative ?

Oui, la composante scalaire d'une projection vectorielle peut être négative si l'angle entre les deux vecteurs est supérieur à 90 degrés, indiquant que la projection va dans la direction opposée du vecteur de base.

Comment la projection vectorielle est-elle utilisée en ingénierie ?

Les ingénieurs utilisent la projection vectorielle pour analyser les contraintes structurelles, optimiser les conceptions en décomposant les forces en composants gérables et en dynamique des fluides pour étudier les modèles d'écoulement sur les surfaces.

Quelle est la différence entre la projection scalaire et vectorielle ?

La projection scalaire donne la magnitude d'un vecteur dans la direction d'un autre et peut être positive ou négative. La projection vectorielle, en revanche, ne prend pas seulement en compte la magnitude, mais donne également la direction de la projection sous forme de vecteur.

Quelles sont les applications réelles de la projection vectorielle ?

La projection vectorielle a des applications dans la navigation GPS, l'analyse sportive, l'infographie pour le rendu des ombres et des reflets, et dans la réalité augmentée pour placer des objets virtuels dans des espaces du monde réel.