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Règle trapézoïdale

La règle trapézoïdale est l'une des règles fondamentales de l'intégration qui est utilisée pour définir la définition de base de l'intégration. Il s'agit d'une règle largement utilisée et la règle trapézoïdale est ainsi nommée car elle donne l'aire sous la courbe en divisant la courbe en petits trapèzes au lieu de rectangles.

Généralement, nous trouvons l'aire sous la courbe en divisant l'aire en rectangles plus petits, puis en trouvant la somme de tous les rectangles, mais dans la règle trapézoïdale, l'aire sous la courbe est divisée en trapèzes, puis leur somme est calculée. La règle trapézoïdale est utilisée pour trouver la valeur des intégrales définies en analyse numérique. Cette règle est également appelée règle du trapèze ou règle du trapèze. Apprenons-en davantage sur la règle trapézoïdale, sa formule et sa preuve, son exemple et d'autres en détail dans cet article.

Qu'est-ce que la règle trapézoïdale ?

La règle trapézoïdale est une règle utilisée pour trouver la valeur de l'intégrale définie de la formeb∫unf(x)dx. On sait que la valeur de l'intégrale définieb∫unf(x) dx est l'aire délimitée sous la courbe y = f(x) et l'axe des x dans l'intervalle a et b sur l'axe des x. Nous calculons cette aire en divisant l’aire complète en plusieurs petits rectangles puis en trouvant leur somme.



Dans la règle trapézoïdale, comme son nom l'indique, l'aire sous la courbe est divisée en plusieurs trapèzes, puis leur somme est trouvée pour obtenir l'aire de la courbe. La règle trapézoïdale ne fournit pas la meilleure approximation de l’aire sous la courbe que la règle de Simpson, mais son résultat est néanmoins suffisamment précis et cette règle est une règle largement utilisée en calcul.

Formule de règle trapézoïdale

La formule de la règle trapézoïdale est la formule utilisée pour trouver l'aire sous la courbe. Maintenant, pour trouver l'aire sous la courbe à l'aide de la règle trapézoïdale,

Soit y = f(x) une courbe continue définie sur l'intervalle fermé [a, b]. Maintenant, nous divisons l'intervalle fermé [a, b] en n sous-intervalles égaux, chacun ayant la largeur de,

Δx = (b – a)/n

Tel que,

une = x0 1 2<⋯ n=b

Maintenant, en utilisant la formule de la règle trapézoïdale, nous pouvons trouver l'aire sous la courbe comme suit :

∫bunf(x) dx = Aire sous la courbe = (Δx/2) [y0+ 2 (et1+ et2+ et3+ ….. + etn-1) + ouin]

où, oui0, et1, et2,…. etnsont les valeurs de la fonction à x = 1, 2, 3,….., n respectivement.

Dérivation de la formule de la règle trapézoïdale

La formule de la règle trapézoïdale pour calculer l'aire sous la courbe est dérivée en divisant l'aire sous la courbe en plusieurs trapèzes, puis en trouvant leur somme.

Déclaration:

Soit f(x) une fonction continue définie sur l'intervalle (a, b). Maintenant, nous divisons les intervalles (a, b) en n sous-intervalles égaux où la largeur de chaque intervalle est,

chaîne java de concaténation

Δx = (b – a)/n

tel que a = x0 1 2 3<…..n=b

Alors la formule de la règle trapézoïdale est :

∫bunf(x)dx ≈ △x/2 [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) +….2f(xn-1) + f(xn)]

où, xje= une + i△x

Si n → ∞, le R.H.S de l'expression donne l'intégrale définie int_{a}^{b}f(x)dx

Preuve:

Cette formule est prouvée en divisant l'aire sous la courbe donnée, comme le montre la figure ci-dessus, en différents trapèzes. Le premier trapèze a une hauteur Δx et les longueurs des bases parallèles sont f(x0) et f(x1)

L'aire du premier trapèze = (1/2) Δx [f(x0) + f(x1)]

De même, l’aire des trapèzes restants est (1/2)Δx [f(x1) + f(x2)], (1/2)Δx [f(x2) + f(x3)], et ainsi de suite.

Maintenant, nous pouvons dire que,

∫bunf(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x0)+f(x1) ) + (1/2)Δx (f(x1)+f(x2) ) + (1/2)Δx (f(x2)+f(x3) ) + … + (1/2)Δx (f(xn-1) + f(xn) )

Après avoir simplifié on obtient,

∫bunf(x) dx≈ (Δx/2) (f(x0)+2 f(x1)+2 f(x2)+2 f(x3)+ … +2f(xn-1) + f(xn))

Ainsi, la règle trapézoïdale est démontrée.

Comment appliquer la règle trapézoïdale ?

La règle trapézoïdale trouve l'aire sous la courbe en divisant l'aire sous la courbe en différents trapèzes, puis trouve la somme de tous les trapèzes. La règle trapézoïdale n'est pas l'approximation parfaite de la valeur de l'intégrale définie car elle utilise l'approximation quadratique.

Nous devons trouver la valeur de l’intégrale définie, ∫bunf(x)dx. La valeur de l'intégrale définie peut être calculée à l'aide de la règle du trapèze en suivant les étapes ci-dessous,

Étape 1: Marquez la valeur des sous-intervalles, n et des intervalles a et b.

Étape 2: Trouvez la largeur du sous-intervalle (△x) en utilisant la formule △x = (b – a)/n

Étape 3: Mettez toutes les valeurs dans la formule de la règle trapézoïdale et trouvez l'aire approximative de la courbe donnée qui représente l'intégrale définie ∫bunf(x)dx

java commutateur int

∫ b un f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x 0 )+2 f(x 1 )+2 f(x 2 )+2 f(x 3 )+ … +2f(x n-1 ) + f(x n ))

où, X je = une + i△x

Notation de sommation de la règle trapézoïdale

Nous savons que l’aire d’un trapèze est essentiellement la moyenne des longueurs des côtés parallèles multipliée par la hauteur. Donc, dans ce cas, considérons un trapèze pour le ièmeintervalle,

A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x

Puisque la superficie totale est la somme de toutes les superficies,

UNE = UNE1+ Un2+ ….+ An

⇒ UNE = sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}

⇒ UNE = sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x

C'est ce qu'on appelle la notation sigma ou la notation de sommation des sommes trapézoïdales.

Sommes de Riemann

Le Riemann résume les travaux sur l'idée de plonger la zone sous la courbe en différentes parties rectangulaires. À mesure que le nombre de rectangles augmente, la zone se rapproche de plus en plus de la zone actuelle. Dans la figure ci-dessous, il existe une fonction f(x). La zone sous cette fonction est divisée en plusieurs rectangles. L'aire totale sous la courbe est la somme des aires de tous les rectangles.

Sommes de Riemann (à droite)

Notez que dans la figure ci-dessus, l'extrémité droite des rectangles touche la courbe. C’est ce qu’on appelle les sommes de Riemann à droite.

Dans un autre cas, lorsque l’extrémité gauche des rectangles touche la courbe comme le montre l’image ci-dessous, ils sont appelés sommes de Riemann gauche.

Sommes de Riemann (à gauche)

Disons que Δx est la largeur de l'intervalle, la largeur n est le nombre d'intervalles comme indiqué ci-dessus. Alors l’aire de la courbe représentée par la somme est donnée par,

old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}

Sommes du point médian

Dans les sommes de Riemann, soit l'extrémité gauche, soit l'extrémité droite du rectangle touche la courbe. Dans ce cas, le milieu du rectangle touche la courbe. Tout le reste est identique aux sommes de Riemann. La figure ci-dessous montre la fonction f(x) et différents rectangles dans les sommes médianes.

Sommes du point médian

Disons Ajedésigne l'aire du ièmerectangle. L'aire de ce rectangle dans ce cas sera,

A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x

Maintenant, l'aire totale dans la notation de sommation sera donnée par,

old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Deltax}

En savoir plus,

Exemple résolu sur la règle trapézoïdale

Exemple 1 : Trouvez l'aire délimitée par la fonction f(x) entre x = 0 et x = 4 avec 4 intervalles.

f(x) = 4

Solution:

Ici a = 0, b = 4 et n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La règle trapézoïdale pour n = 4 est,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

En remplaçant les valeurs dans cette équation,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4 ) + 4) = 16

Exemple 2 : Trouvez l'aire délimitée par la fonction f(x) entre x = 0 et x = 3 avec 3 intervalles.

f(x) = x

Solution:

Ici a = 0, b = 3 et n = 3.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La règle trapézoïdale pour n = 3 est,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))

En remplaçant les valeurs dans cette équation,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Flèche droite T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6

Exemple 3 : Trouvez l'aire délimitée par la fonction f(x) entre x = 0 et x = 2 avec 2 intervalles.

f(x) = 2x

Solution:

Ici a = 0, b = 2 et n = 2.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La règle trapézoïdale pour n = 2 est,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))

En remplaçant les valeurs dans cette équation,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4

Exemple 4 : Trouvez l'aire délimitée par la fonction f(x) entre x = 0 et x = 3 avec 3 intervalles.

f(x) = x 2

Solution:

Ici a = 0, b = 3 et n = 3.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1

ordinateur inventé en quelle année

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La règle trapézoïdale pour n = 3 est,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))

En remplaçant les valeurs dans cette équation,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14

Exemple 5 : Trouvez l'aire délimitée par la fonction f(x) entre x = 0 et x = 4 avec 4 intervalles.

f(x) = x 3 + 1

Solution:

Ici a = 0, b = 4 et n = 4.

convention de dénomination de Java

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La règle trapézoïdale pour n = 4 est,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

En remplaçant les valeurs dans cette équation,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Rightarrow T_n= 72

Exemple 6 : Trouvez l'aire délimitée par la fonction f(x) entre x = 0 et x = 4 avec 4 intervalles.

f(x) = e X

Solution:

Ici a = 0, b = 4 et n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La règle trapézoïdale pour n = 4 est,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

En remplaçant les valeurs dans cette équation,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}

Applications de la règle du trapèze

Intégration numérique:

La principale application de la règle trapézoïdale consiste à approximer des intégrales définies. Il est utilisé lorsque l’intégration d’une fonction est difficile et qu’une approche numérique est plus réalisable. La règle trapézoïdale fait souvent partie de techniques d'intégration numérique plus avancées.

Physique et ingénierie :

En physique et en ingénierie, la règle trapézoïdale peut être appliquée pour calculer des quantités telles que le déplacement, la vitesse et l'accélération. Par exemple, lorsque des données expérimentales sont collectées à intervalles de temps discrets, la règle trapézoïdale peut être utilisée pour estimer l'aire sous la courbe, fournissant ainsi une approximation de l'intégrale.

Économie et Finance :

La règle trapézoïdale peut être appliquée dans la modélisation financière pour estimer la valeur actuelle des flux de trésorerie futurs. Ceci est particulièrement utile dans l’analyse des flux de trésorerie actualisés (DCF), où l’objectif est de calculer la valeur actuelle nette d’un investissement.

Statistiques:

En statistiques, la règle trapézoïdale peut être utilisée pour estimer la superficie sous des fonctions de densité de probabilité ou des fonctions de distribution cumulative. Ceci est particulièrement utile dans les cas où la forme exacte de la distribution est inconnue ou complexe.

FAQ sur la règle trapézoïdale

Q1 : Qu'est-ce que la règle trapézoïdale ?

Répondre:

La règle trapézoïdale est la règle utilisée pour trouver l'intégrale définie. Elle divise l'aire sous la courbe en plusieurs trapèzes, puis leur aire individuelle est trouvée, puis la somme est calculée pour obtenir la valeur de l'intégrale définie.

Q2 : Qu'est-ce que la formule de la règle trapézoïdale ?

Répondre:

La formule de la règle trapézoïdale est la suivante :

∫ b un f(x) dx = (Δx/2) (f(x 0 )+2 f(x 1 )+2 f(x 2 )+2 f(x 3 )+ … +2f(x n-1 ) + f(x n ))

Q3 : Pourquoi s’appelle-t-on la formule de la règle trapézoïdale ?

Répondre:

La formule de la règle trapézoïdale est appelée règle trapézoïdale car elle divise l'aire sous la courbe en plusieurs trapèzes, puis leur aire est calculée en trouvant la somme des trapèzes.

Q4 : Quelle est la différence entre la règle trapézoïdale et la règle des sommes de Riemann ?

Répondre:

La principale différence entre la règle trapézoïdale et la règle des sommes de Riemann est que la règle trapézoïdale divise l'aire sous la courbe sous la forme des trapèzes, puis trouve l'aire en prenant leur somme, tandis que la règle des sommes de Riemann divise l'aire sous la courbe sous la forme du trapèze et trouve ensuite la zone en prenant leur somme.