Intégration par pièces : L'intégration par parties est une technique utilisée en calcul pour trouver l'intégrale du produit de deux fonctions. Il s’agit essentiellement d’un renversement de la règle du produit en matière de différenciation.

Intégrer une fonction n'est pas toujours facile, parfois nous devons intégrer une fonction qui est le multiple de deux fonctions ou plus dans ce cas, si nous devons trouver l'intégration, nous devons utiliser le concept d'intégration par partie, qui utilise deux produits de deux fonctions et nous dit comment trouver leur intégration.

Apprenons maintenant L'intégration par parties, sa formule, sa dérivation et autres en détail dans cet article.

Qu’est-ce que l’intégration par parties ?

L'intégration par partie est la technique utilisée pour trouver l'intégration du produit de deux ou plusieurs fonctions lorsque l'intégration ne peut pas être effectuée à l'aide de techniques normales. Supposons que nous ayons deux fonctions f(x) et g(x) et que nous devions trouver l'intégration de leur produit, c'est-à-dire ∫ f(x).g(x) dx où il n'est pas possible de résoudre davantage le produit de ce produit f(x).g(x).

Cette intégration est réalisée à l'aide de la formule :

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

où f'(x) est la première différenciation de f(x).

Cette formule se lit comme suit :

L'intégration de la première fonction multipliée par la deuxième fonction est égale à (première fonction) multipliée par (intégration de la deuxième fonction) – Intégration de (différenciation de la première fonction multipliée par l'intégration de la deuxième fonction).

À partir de la formule ci-dessus, nous pouvons facilement observer que le choix de la première fonction et de la deuxième fonction est très important pour le succès de cette formule, et la manière dont nous choisissons la première fonction et la deuxième fonction est discutée plus en détail dans cet article.

Qu’est-ce que l’intégration partielle ?

L'intégration partielle, également connue sous le nom d'intégration par parties, est une technique utilisée en calcul pour évaluer l'intégrale d'un produit de deux fonctions. La formule d’intégration partielle est donnée par :

∫ u dv = uv – ∫ v du

où u et v sont des fonctions différentiables de x. Cette formule permet de simplifier l'intégrale d'un produit en le décomposant en deux intégrales plus simples. L’idée est de choisir u et dv de manière à ce que la nouvelle intégrale du côté droit soit plus facile à évaluer que celle d’origine du côté gauche. Cette technique est particulièrement utile lorsqu’il s’agit de produits de fonctions qui n’ont pas de primitives simples.

Histoire de l’intégration partielle

Le concept d'intégration par partie a été proposé pour la première fois par le célèbre Brook Taylor dans son livre de 1715. Il a écrit que l'on peut trouver l'intégration du produit de deux fonctions dont les formules de différenciation existent. Certaines fonctions importantes n'ont pas de formules d'intégration et leur intégration est réalisée à l'aide de l'intégration en les prenant en partie comme produit de deux fonctions. Par exemple, ∫ln x dx ne peut pas être calculé à l’aide des techniques d’intégration normales. Mais nous pouvons l'intégrer en utilisant la technique d'intégration par partie et en le prenant comme produit de deux fonctions, c'est-à-dire ∫1.ln x dx.

Formule d'intégration par pièces

La formule d'intégration par parties est la formule qui nous aide à réaliser l'intégration du produit de deux ou plusieurs fonctions. Supposons que nous devions intégrer le produit de deux fonctions comme

∫u.v dx

où u et v sont les fonctions de x, alors cela peut être réalisé en utilisant,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

L'ordre pour choisir la Première fonction et la Deuxième fonction est très important et le concept utilisé dans la plupart des cas pour trouver la première fonction et la deuxième fonction est le concept ILATE.

En utilisant la formule ci-dessus et le concept ILATE, nous pouvons facilement trouver l'intégration du produit de deux fonctions. La formule d'intégration par partie est présentée dans l'image ci-dessous,

Dérivation de la formule d'intégration par parties

La formule d'intégration par pièces est dérivée à l'aide de la règle de différenciation des produits. Supposons que nous ayons deux fonctions dans et dans et x alors la dérivée de leur produit est obtenue en utilisant la formule,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Maintenant, dérivons la formule d'intégration par parties en utilisant la règle de différenciation du produit.

Réorganiser les termes

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Intégrant les deux côtés par rapport à x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

simplifier,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Ainsi, la formule d’intégration par parties est dérivée.

Règle ILATE

La règle ILATE nous explique comment choisir la première fonction et la deuxième fonction tout en résolvant l'intégration du produit de deux fonctions. Supposons que nous ayons deux fonctions de x u et v et que nous devions trouver l'intégration de leur produit puis nous choisissons la première fonction et la règle by ILATE.

Le formulaire complet ILATE est discuté dans l'image ci-dessous,

Règle ILATE d'intégration partielle

Les règles ILATE nous donnent la hiérarchie de prise de la première fonction, c'est-à-dire si dans le produit donné de la fonction, une fonction est une fonction logarithmique et une autre fonction est une fonction trigonométrique. Maintenant, nous prenons la fonction logarithmique comme première fonction car elle se situe au-dessus dans la hiérarchie de la règle ILATE. De la même manière, nous choisissons la première et la deuxième fonctions en conséquence.

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NOTE: Il n'est pas toujours approprié d'utiliser la règle ILATE, parfois d'autres règles sont également utilisées pour trouver la première fonction et la deuxième fonction.

Comment trouver une intégration par pièce ?

L'intégration par partie permet de trouver l'intégration du produit de deux fonctions. Nous pouvons y parvenir en utilisant les étapes décrites ci-dessous,

Supposons que nous devions simplifier ∫uv dx

Étape 1: Choisissez la première et la deuxième fonction selon la règle ILATE. Supposons que nous prenons u comme première fonction et v comme deuxième fonction.

Étape 2: Différencier u(x) par rapport à x c'est-à-dire Évaluez du/dx.

Étape 3: Intégrer v(x) par rapport à x c'est-à-dire Évaluez ∫v dx.

Utilisez les résultats obtenus aux étapes 1 et 2 dans la formule,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Étape 4: Simplifiez la formule ci-dessus pour obtenir l’intégration requise.

Intégration répétée par parties

L'intégration répétée par parties est une extension de la technique d'intégration par parties en calcul. Il est utilisé lorsque vous avez un produit de fonctions qui nécessite une intégration plusieurs fois pour trouver la primitive. Le processus consiste à appliquer la formule d'intégration par parties de manière itérative jusqu'à ce que vous atteigniez un point où l'intégrale résultante est facile à évaluer ou a une forme connue.

Lorsque vous appliquez cette formule à plusieurs reprises, vous commencerez par une intégrale qui implique un produit de deux fonctions, puis appliquerez l'intégration par parties pour la décomposer en intégrales plus simples. Vous continuerez ensuite ce processus sur les intégrales résultantes jusqu'à ce que vous atteigniez un point où d'autres applications ne sont pas nécessaires ou où les intégrales deviennent gérables.

Voici un exemple étape par étape du fonctionnement de l’intégration répétée par parties :

1. Commençons par une intégrale d'un produit de deux fonctions : ∫ u dv.
2. Appliquez la formule d’intégration par parties pour obtenir : uv – ∫ v du.
3. Si la nouvelle intégrale obtenue du membre de droite implique toujours un produit de fonctions, appliquez à nouveau l'intégration par parties pour la décomposer davantage.
4. Continuez ce processus jusqu'à ce que vous obteniez une intégrale plus simple qui peut être facilement évaluée ou qui correspond à une forme intégrale connue.

Intégration tabulaire par parties

L'intégration tabulaire, également connue sous le nom de méthode tabulaire ou méthode d'intégration tabulaire, est une technique alternative pour évaluer les intégrales qui impliquent l'application répétée de l'intégration par parties. Cette méthode est particulièrement utile lorsqu'il s'agit d'intégrales où le produit de fonctions peut être intégré plusieurs fois pour atteindre un résultat simple.

La méthode tabulaire organise le processus d'intégration répétée par parties dans un tableau, ce qui facilite le suivi des termes et simplifie efficacement l'intégrale. Voici comment fonctionne la méthode tabulaire :

1. Commencez par écrire les fonctions impliquées dans l'intégrale dans deux colonnes : une pour la fonction à différencier (u) et une autre pour la fonction à intégrer (dv).
   • Commencez par la fonction à intégrer (dv) dans la colonne de gauche et la fonction à différencier (u) dans la colonne de droite.
2. Continuez à différencier la fonction dans la colonne u jusqu'à ce que vous atteigniez zéro ou une constante. À chaque étape, intégrez la fonction dans la colonne dv jusqu'à ce que vous atteigniez un point où une intégration plus poussée n'est pas nécessaire.
3. Multipliez les termes en diagonale et alternez les signes (+ et -) pour chaque terme. Résumez ces produits pour trouver le résultat de l’intégration.

Voici un exemple pour illustrer le méthode d'intégration tabulaire :

Évaluons l’intégrale ∫x sin(x) dx.

• Étape 1: Créez un tableau avec deux colonnes pour u (fonction à différencier) et dv (fonction à intégrer) :

• Étape 2: Différenciez la fonction dans la colonne u et intégrez la fonction dans la colonne dv :

• Étape 3: Multipliez les termes en diagonale et alternez les signes :

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

notes de bas de page de démarque

Donc le résultat de l’intégrale ∫x sin(x) dx est -x cos(x) + péché(x).

La méthode d'intégration tabulaire est particulièrement utile lorsqu'il s'agit d'intégrales qui impliquent des fonctions qui se répètent lors de la différenciation ou de l'intégration, permettant une approche systématique et organisée pour trouver la primitive.

Applications de l'intégration par parties

L'intégration par parties a diverses applications dans le calcul intégral ; elle est utilisée pour trouver l'intégration de la fonction là où les techniques d'intégration normales échouent. On peut facilement trouver l'intégration de fonctions inverses et logarithmiques en utilisant le concept d'intégration par parties.

Nous retrouverons l'intégration de la fonction Logarithmique et de la fonction Arctan en utilisant l'intégration par règle de partie,

Intégration de la fonction logarithmique (log x)

L'intégration de la fonction logarithmique inverse (log x) est réalisée à l'aide de la formule d'intégration par partie. L'intégration est discutée ci-dessous,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Prendre log x comme première fonction et 1 comme deuxième fonction.

En utilisant ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Quelle est l’intégration requise de la fonction logarithmique.

Intégration de la fonction trigonométrique inverse (tan^-1X)

Intégration de la fonction trigonométrique inverse (tan^-1x) est obtenu à l’aide de la formule d’intégration par pièce. L'intégration est discutée ci-dessous,

∫ donc^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

Prendre du bronzage^-1x comme première fonction et 1 comme deuxième fonction.

En utilisant ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫bronzage^-1x.1.dx = bronzage^-1x.∫1.dx – ∫((bronze^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫bronzage^-1x.1.dx = bronzage^-1X. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫bronzage^-1x.1.dx = x. donc^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫bronzage^-1x.dx = x. donc^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Quelle est l’intégration requise de la fonction trigonométrique inverse.

Applications réelles de l'intégration partielle

Certaines des applications réelles courantes de l'intégration partielle sont :

programmes c

• Trouver des primitives
  • En ingénierie et en physique, l'intégration partielle est utilisée pour trouver des primitives de fonctions qui représentent des grandeurs physiques. Par exemple, en mécanique, il est utilisé pour dériver des équations de mouvement à partir des équations de force et d’accélération.
• Produit Valais
  • Le produit de Wallis, une représentation produit infinie de pi, peut être dérivé à l'aide de techniques d'intégration partielle. Ce produit a des applications dans des domaines tels que la théorie des nombres, la théorie des probabilités et le traitement du signal.
• Identité de la fonction Gamma
  • La fonction gamma, qui étend la fonction factorielle aux nombres complexes, a diverses applications en mathématiques, en physique et en ingénierie. L'intégration partielle est utilisée pour prouver les identités impliquant la fonction gamma, qui sont cruciales dans des domaines tels que la théorie des probabilités, la mécanique statistique et la mécanique quantique.
• Utilisation en analyse harmonique
  • L'intégration partielle joue un rôle important dans l'analyse harmonique, en particulier dans l'analyse de Fourier. Il est utilisé pour dériver les propriétés des transformées de Fourier, telles que le théorème de convolution et les propriétés des séries de Fourier. Ces résultats sont appliqués dans des domaines tels que le traitement du signal, l'analyse d'images et les télécommunications.

Formules d'intégration par pièces

Nous pouvons dériver l'intégration de diverses fonctions en utilisant le concept d'intégration par parties. Certaines des formules importantes dérivées de cette technique sont

• ∫ et^X(f(x) + f'(x)).dx = e^Xf(x) + C
• ∫√(x²+ un²).dx = ½ . x.√(x²+ un²)+ un²/2. log|x + √(x²+ un²)| +C
• ∫√(x²- un²).dx =½ . x.√(x²- un²) - un²/2. log|x +√(x²- un²) | C
• ∫√(un²- X²).dx = ½ . x.√(un²- X²) + un²/2. sans^-1x/a + C

Exemples d'intégration par pièces

Exemple 1 : Trouver ∫ e ^X x dx.

Solution:

Soit I = ∫ e^Xx dx

Choisir u et v en utilisant la règle ILATE

u = x
v = e^X

Vous différencier

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^Xdx = e^X

En utilisant la formule d'intégration par pièce,

⇒ je = ∫ e^Xx dx

⇒ je = x ∫e^Xdx − ∫1 (∫e^Xdx) dx

⇒ je = xe^X− et^X+C

⇒ je = e^X(x−1) + C

Exemple 2 : Calculez ∫ x sin x dx.

Solution:

Soit I = ∫ x sin x dx

Choisir u et v en utilisant la règle ILATE

u = x
v = péché x

Vous différencier

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

En utilisant la formule d'intégration par pièce,

⇒ I = ∫ x péché x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + péché x + C

Exemple 3 : Trouver ∫ sin ⁻¹ x dx.

Solution:

Soit I= ∫ péché⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.sin⁻¹x dx

Choisir u et v en utilisant la règle ILATE

tu = péché⁻¹X
v = 1

Vous différencier

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(péché⁻¹x )/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

En utilisant la formule d'intégration par pièce,

⇒ I = ∫ péché⁻¹x dx

⇒ I = sans⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx)dx

⇒ I = x péché⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

Soit t = 1 − x²

Différencier les deux côtés

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = xdx

⇒ I = ∫ péché⁻¹x dx = x péché⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x péché⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x péché⁻¹x + t^1/2+C

⇒ I = x péché⁻¹x + √(1 − x²) + C

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Problèmes pratiques sur l'intégration par parties

1. Intégrer xe ^X

2. Intégrer x sin(x)

3. Intégrer x ² ln(x)

4. Intégrer e ^X cos(x)

5. Intégrer ln(x)

FAQ sur l'intégration par pièces

Qu’est-ce que l’intégration par parties ?

L'intégration par parties est la technique permettant de trouver l'intégration du produit des deux fonctions là où les techniques normales d'intégration échouent. L'intégration par la formule de partie est la,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Qu’est-ce que la formule d’intégration par parties ?

Pour deux fonctions f(x) et g(x), la formule d'intégration par partie est,

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

où f'(x) est la différenciation de f(x).

Comment dériver la formule d’intégration par parties ?

La formule d'intégration par pièce est dérivée à l'aide de la règle de différenciation du produit.

Pourquoi utilisons-nous la formule d'intégration par parties ?

La formule d'intégration par partie est utilisée pour trouver l'intégration de la fonction lorsque les techniques de différenciation normales échouent. On peut trouver l'intégration de fonctions trigonométriques inverses et de fonctions logarithmiques en utilisant la formule d'intégration par partie

Quelle est l’application de l’intégration par parties ?

L'intégration par partie a diverses applications et son application de base est qu'elle est utilisée pour trouver l'intégration de la fonction lorsque la fonction est donnée comme le produit des fonctions qui ne peuvent pas être simplifiées davantage. Par exemple ∫ f(x).g(x) dx est obtenu en utilisant l'intégration par parties.