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Si nous voulons apprendre les énoncés inverses, inverses et contrapositifs, nous devons consulter notre article précédent, Logical Connectives.

Connecteurs logiques

Les connecteurs logiques sont un type d'opérateur utilisé pour combiner une ou plusieurs propositions. Il existe essentiellement 5 types de connecteurs en logique propositionnelle. Dans cette section, nous allons découvrir l'inverse, l'inverse et la contrapositive des instructions conditionnelles.

Converse, Inverse et Contrapositif

S'il existe une instruction conditionnelle x → y, alors

• L’instruction inverse sera y → x
• L’instruction inverse sera ∼x → ∼y
• L’énoncé contrapositif sera ∼y → ∼x

Notes IMPORTANTES:

Il y a quelques points importants que nous devons garder à l’esprit, qui sont décrits comme suit :

Remarque 1 : Nous ne pouvons écrire les énoncés inverses, inverses et contrapositifs que pour les énoncés conditionnels x → y.

Remarque 2 : Si nous effectuons deux actions, alors le résultat sera toujours la troisième.

Par exemple:

• Le contrapositif peut être décrit comme l’inverse de l’inverse.
• L’inverse peut être décrit comme l’inverse du contrapositif.
• Le contrapositif peut être décrit comme l’inverse de l’inverse.
• L'inverse peut être décrit comme l'inverse du contrapositif.
• Converse peut être décrit comme une contrapositive d’inverse.
• Inverse peut être décrit comme une contrapositive de converse.

Note 3:

Pour une instruction conditionnelle x → y,

Il y aura un résultat égal entre son instruction inverse (y → x) et l'instruction inverse (∼x → ∼y).

Il y aura également le même résultat entre x → y et son énoncé contrapositif (∼y → ∼x).

Problème basé sur Converse, Inverse et Contrapositif

Il existe certains problèmes sur la base de l'inverse, de l'inverse et du contrapositif, et nous allons en montrer quelques-uns comme ceci :

Problème 1 :

Ici, nous écrirons l'inverse, l'inverse et la contrapositive de certaines déclarations, présentées ci-dessous :

1. S'il fait beau, j'irai à l'école.
2. Si 3y - 2 = 10, alors x = 1.
3. S'il pleut, je sortirai pour en profiter.
4. Vous n’obtiendrez de bonnes notes que si vous étudiez dur.
5. J'irai au marché si mes cousins ​​viennent.
6. Je vais à l'université chaque fois que mes amis viennent.
7. Je ne t'offrirai une fête que si j'achète une bonne robe.
8. Si je deviens célèbre, je gagnerai beaucoup d’argent.

Solution:

Partie 1:

Nous avons les détails suivants :

La déclaration donnée est : « Si le temps est ensoleillé, alors j'irai à l'école ».

Cette déclaration doit avoir la forme : « si x alors y ».

Ainsi, cette affirmation contient une forme symbolique, c'est-à-dire x → y, où

x : Le temps est ensoleillé

y : j'irai à l'école

Déclaration inverse : Si je vais à l'école, le temps est ensoleillé.

Déclaration inverse : Si le temps n’est pas ensoleillé, je n’irai pas à l’école.

Déclaration contrapositive : Si je n'irai pas à l'école, c'est qu'il ne fait pas beau.

Partie 2:

Nous avons les détails suivants :

L'énoncé donné est : « Si 3a - 2 = 10, alors a = 1. »

Cette déclaration doit avoir la forme : « si x alors y ».

Ainsi, cette affirmation contient une forme symbolique, c'est-à-dire x → y, où

x : 3a - 2 = 10

et : a = 1

Déclaration inverse : Si a = 1, alors 3a - 2 = 10.

Déclaration inverse : Si 3a - 2 ≠ 10, alors a ≠ 1.

Déclaration contrapositive : Si a ≠ 1, alors 3a - 2 ≠ 10.

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Partie 3 :

Nous avons les détails suivants :

La déclaration donnée est : « S'il pleut, alors je sortirai pour en profiter. »

Cette déclaration doit avoir la forme : « si x alors y ».

Ainsi, cette déclaration contient une forme symbolique, c'est-à-dire x → y, où

X : Il pleut

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Y : Je vais sortir pour en profiter

Déclaration inverse : Si je sors pour en profiter, alors il pleut.

Déclaration inverse : S’il ne pleut pas, je ne sortirai pas pour en profiter.

Déclaration contrapositive : Si je ne sors pas pour en profiter, alors il n’y aura pas de temps pluvieux.

Partie 4 :

Nous avons les détails suivants :

La déclaration donnée est la suivante : « Vous obtiendrez de bonnes notes seulement si vous étudiez dur. »

Cette déclaration doit avoir la forme : « x seulement si y ».

Ainsi, cette affirmation contient une forme symbolique, c'est-à-dire x → y, où

X : Tu auras de bonnes notes

Y : Tu étudies dur

Déclaration inverse : Si vous étudiez dur, vous obtiendrez de bonnes notes.

Déclaration inverse : Si vous n’obtenez pas de bonnes notes, vous n’étudiez pas dur.

Déclaration contrapositive : Si vous n’étudiez pas dur, vous n’obtiendrez pas de bonnes notes.

Partie 5 :

Nous avons les détails suivants :

La déclaration donnée est : « J'irai au marché si mes cousins ​​viennent ».

Cette déclaration doit avoir la forme : « y si x ».

Ainsi, cette affirmation contient une forme symbolique, c'est-à-dire x → y, où

X : Mes cousins ​​viennent

Y : j'irai au marché

Déclaration inverse : Si je vais au marché, mes cousins ​​viennent.

Déclaration inverse : Si mes cousins ​​ne viennent pas, je n’irai pas au marché.

Déclaration contrapositive : Si je ne vais pas au marché, mes cousins ​​ne viennent pas.

Partie 6 :

Nous avons les détails suivants :

La déclaration donnée est la suivante : « Je vais à l'université chaque fois que mes amis viennent. »

Dans cette instruction, « chaque fois » peut être remplacé par « si ».

Après avoir remplacé la phrase, ce sera : 'Je vais à l'université si mes amis viennent'.

Ainsi, cette affirmation contient une forme symbolique, c'est-à-dire x → y, où

X : Mes amis viennent

Y : Je vais à l'université

Déclaration inverse : Si je vais à l'université, mes amis viennent.

Déclaration inverse : Si mes amis ne viennent pas, je n’irai pas à l’université.

Déclaration contrapositive : Si je ne vais pas à l’université, mes amis ne viennent pas.

Partie 7 :

Nous avons les détails suivants :

La déclaration donnée est la suivante : « Je vous organiserai une fête seulement si j'achète une bonne robe. »

Cette déclaration doit avoir la forme : « x seulement si y ».

Ainsi, cette affirmation contient une forme symbolique, c'est-à-dire x → y, où

X : Je t'offrirai une fête seulement

Y : J'achète une bonne robe

Déclaration inverse : Si j'achète une belle robe, je t'offrirai une fête.

Déclaration inverse : Si je ne t'offre pas de fête, je n'achète pas une bonne robe.

Déclaration contrapositive : Si je n’achète pas une bonne robe, je ne t’offrirai pas de fête.

Partie 8 :

Nous avons les détails suivants :

La déclaration donnée est : « Si je deviens célèbre, alors je gagnerai beaucoup d'argent ».

Cette déclaration doit avoir la forme : « Si x alors y ».

Ainsi, cette affirmation contient une forme symbolique, c'est-à-dire x → y, où

X : Je deviens célèbre

Y : je gagnerai beaucoup d’argent

Déclaration inverse : Si je gagne beaucoup d’argent, je deviens célèbre.

Déclaration inverse : Si je ne deviens pas célèbre, je ne gagnerai pas beaucoup d’argent.

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Déclaration contrapositive : Si je ne gagne pas beaucoup d’argent, je ne deviendrai pas célèbre.

Problème 2 :

Ici, nous devons déterminer l'inverse d'une affirmation, c'est-à-dire « Je ne vais à l'école que s'il fait beau » parmi toutes les affirmations données.

1. Je vais à l'école s'il fait beau
2. Si je vais à l'école, alors le temps est ensoleillé
3. S’il ne fait pas beau, je ne vais pas à l’école.
4. Si je ne vais pas à l'école, le temps est ensoleillé.

Solution:

Nous avons les détails suivants :

La déclaration donnée est : « Je vais à l'école seulement s'il fait beau ».

Cette déclaration doit avoir la forme : « x seulement si y ». Nous pouvons également l'écrire sous la forme « Si x alors y ».

Ainsi, cette instruction contient une forme symbolique, c’est-à-dire x → y. L’inverse de cette forme sera y → x, où

X : je vais à l’école

Y : Le temps est ensoleillé

Comme nous le savons, l'énoncé inverse de l'énoncé donné sera « Si le temps est ensoleillé, alors je vais à l'école », qui se présente sous la forme « si y alors x ».

• Le première déclaration est vrai . La première affirmation est : « Je vais à l'école s'il fait beau ». Cette instruction se présente sous la forme « x si y ». Nous pouvons également l'écrire « si x alors y », ce qui indique que « S'il fait beau, alors je vais à l'école », ce qui est l'inverse d'une affirmation donnée. C'est pourquoi la première affirmation est vraie.
• Le deuxième déclaration est FAUX . La deuxième affirmation est : « Si je vais à l'école, alors il fait beau » et cette affirmation se présente sous la forme « si x alors y ». La deuxième affirmation est déjà donnée dans la question. C'est pourquoi ce n'est pas vrai.
• Le troisième déclaration est FAUX . La troisième affirmation est : « Si le temps n'est pas ensoleillé, alors je ne vais pas à l'école ». Cette instruction est sous la forme '∼y → ∼x'. Ce n'est pas l'inverse car cette affirmation est l'inverse de celle donnée dans la question. C'est pourquoi cette affirmation n'est pas vraie.
• Le quatrième déclaration est FAUX . La quatrième affirmation est : « Si je ne vais pas à l'école, alors il fait beau ». Cette déclaration est sous la forme '∼x → y. Cette forme est quelque chose de différent car elle n'est ni inverse, ni inverse, ni contrapositive. En effet, un côté est négatif et l’autre côté n’est pas négatif, il ne rentre donc dans aucune des catégories. C'est pourquoi cette affirmation n'est pas vraie.

Par conséquent, l’option (A) est vraie.