Les règles de logarithme ou les règles de journal sont essentielles pour simplifier les formulations complexes incluant des fonctions logarithmiques. Les règles de journal facilitent le calcul et la manipulation des logarithmes dans diverses applications mathématiques et scientifiques. Parmi toutes ces règles de journalisation, trois des plus courantes sont la règle du produit, la règle du quotient et la règle de la puissance. En dehors de celles-ci, nous avons de nombreuses règles du logarithme, dont nous parlerons plus loin dans l’article. Cet article explore toutes les règles pour les journaux, y compris les dérivées et les intégrales, en détail avec les exemples de règles de logarithme. Commençons donc par découvrir toutes les règles des logarithmes.

Table des matières

• Que sont les règles de journalisation ?
• Types de logarithme
• Liste des règles de logarithme
• Règles du journal naturel
• Applications du logarithme
• Règle de produit des logarithmes
• Règle de puissance du logarithme
• Règle du quotient des logarithmes
• Exemples résolus de règles de journalisation
• Questions pratiques sur les règles de journalisation

Que sont les règles de journalisation ?

Les règles du logarithme en mathématiques sont les règles et les lois utilisées pour la simplification et la manipulation des expressions de fonctions logarithmiques. Ces principes créent des relations entre les formes exponentielles et logarithmiques et fournissent une technique systématique pour gérer des calculs logarithmiques complexes.

Les règles clés sont les suivantes : Règle du produit : qui permet de diviser un produit au sein d'un logarithme en une somme de logarithmes distincts ; règle de quotient : qui permet de diviser un quotient au sein d'un logarithme en une différence de logarithmes ; règle de puissance : ce qui nous permet d'extraire les exposants d'un logarithme ; règle de changement de base ou changement de règle de base : qui permet de changer la base d'un logarithme.

Ces lois sont cruciales dans de nombreuses applications mathématiques et scientifiques, faisant des logarithmes un outil précieux pour résoudre des équations, modéliser une croissance exponentielle et analyser de grandes quantités de données.

Types de logarithme

Nous traitons généralement de deux types de logarithmes :

• Logarithme commun
• Un algorithme naturel

Note: Il peut y avoir un logarithme avec n'importe quel nombre réel comme base, mais ces deux logarithmes, c'est-à-dire le logarithme commun et le logarithme naturel, sont les plus courants et les plus standards.

Discutons de ces types en détail.

Logarithme commun

Un logarithme commun, souvent appelé log base 10 ou simplement log, est une fonction mathématique qui représente l'exposant auquel un nombre donné doit être augmenté pour atteindre un nombre donné. Il calcule la puissance de dix nécessaire pour obtenir un certain nombre.

Par exemple, connectez-vous_dix(100) est égal à 2, car 10 élevé à la puissance 2 est égal à 100. Le logarithme commun de 100 dans ce cas est 2, ce qui montre que 10²= 100. Les logarithmes courants sont utilisés dans de nombreux secteurs, notamment la science, l'ingénierie et la finance, pour simplifier les représentations de grands nombres et faciliter les calculs nécessitant des puissances de 10.

Un algorithme naturel

Le logarithme népérien est une fonction mathématique qui exprime le logarithme en base « e » (le nombre d'Euler, environ 2,71828). C'est l'inverse de la fonction exponentielle et représente le temps nécessaire pour qu'une quantité augmente ou diminue d'un facteur constant.

Par exemple, ln (10) ≈ 2,30259 signifie que e multiplié par 2,30259 est égal à 10. Le logarithme népérien est utilisé dans de nombreux domaines, notamment les mathématiques, la physique et la finance, pour décrire des phénomènes qui affichent une croissance ou un déclin exponentiel, tels que l'expansion démographique, désintégration radioactive et calculs d’intérêts composés.

Que sont les règles de logarithme ?

Les opérations logarithmiques peuvent être effectuées selon des règles spécifiques. Ces règles sont connues sous le nom de :

• Règle du produit
• Règle de quotient
• Règle du zéro
• Règle d'identité
• Règle de puissance ou règle exponentielle
• Changement de règle de base
• Règle réciproque

Outre ces règles communes, nous pouvons également avoir des règles peu communes, telles que :

• Propriété inverse du logarithme
• Dérivé du journal
• Intégration du journal

Règle du journal du produit

Selon la règle du produit, le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes de ses éléments.

Formule: enregistrer_un(XY) = journal_unX + journal_unET

Exemple: enregistrer₂(3 × 5) = journal₂(3) + journal₂(5)

Règle de quotient du journal

La règle du quotient affirme que le logarithme d’un quotient est égal à la différence des logarithmes du numérateur et du dénominateur.

Formule: enregistrer_un(X/Y) = journal_unX – journal_unET

Exemple: enregistrer₃(9/3) = journal₃(9) – journal₃(3)

Règle zéro du journal

Selon la règle du zéro, le logarithme de 1 dans n'importe quelle base est toujours 0.

Formule: enregistrer_un(1) = 0

Exemple: enregistrer₄(1) = 0

Règle d'identité du journal

Selon la règle d’identité, le logarithme d’une base par rapport à elle-même est toujours 1.

Formule: enregistrer_un(une) = 1

Exemple: enregistrer₇(7) = 1

Règle réciproque

Selon la règle réciproque des logarithmes, le logarithme de l’inverse d’un nombre (1 divisé par ce nombre) est égal au négatif du logarithme du nombre d’origine. En notation mathématique :

Formule : enregistrer_un(1/X) = – journal_un(X)

Exemple: enregistrer_un(1/2) = – journal_un(2)

Règle de puissance ou règle exponentielle du journal

Selon la règle des puissances, le logarithme d'un nombre élevé à un exposant est égal à l'exposant multiplié par le logarithme de la base.

Formule: enregistrer_un(Xⁿ) = n × journal_unX

Exemple: enregistrer₅(9²) = 2 × journal₅(9)

Changement de règle de base du journal

La règle de changement de base vous permet de calculer le logarithme d'un nombre dans une base différente en employant un logarithme commun (généralement base 10 ou base e). Le changement de règle de base est également appelé Règle de changement de base.

Formule: enregistrer_un(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Exemple: enregistrer₃(7) = journal_dix(7) / journal_dix(3)

Propriété inverse du logarithme

La propriété inverse du logarithme affirme que le calcul du logarithme d'une valeur exponentiée donne l'exposant d'origine.

Formule: enregistrer_un(uneⁿ) = n

Exemple: log₄(4²) = 2

Dérivé du journal

La dérivée du logarithme népérien d’une fonction est l’inverse de la fonction multipliée par la dérivée de la fonction.

Formule: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Exemple: Si y = ln(x²), alors dy/dx = 2x / x²= 2/x

Intégration du journal

Outre la différenciation, on peut également calculer l'intégrale du logarithme. L’intégrale de la fonction Log est donnée comme suit :

Formule: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Règles du journal naturel

Comme les bûches naturelles et communes n'ont qu'une différence de base, les règles pour les bûches naturelles sont donc les mêmes que celles pour les bûches communes, qui ont déjà été discutées. La seule différence est que dans les règles du logarithme naturel, au lieu de log (symbole du log commun en base 10), nous utilisons ln (symbole du logarithme naturel de base e). Ces règles peuvent être énoncées comme suit :

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• en mⁿ= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln 1 = 0
• C'est^{dans x}=x

Applications du logarithme

Examinons quelques-unes des applications du journal.

• Nous utilisons des logarithmes pour calculer l'acidité et l'alcalinité des solutions chimiques.
• L'échelle de Richter est utilisée pour calculer l'intensité des tremblements de terre.
• La quantité de bruit est mesurée en décibels (dB) sur une échelle logarithmique.
• Les logarithmes sont utilisés pour analyser des processus exponentiels tels que la désintégration des isotopes actifs, le développement bactérien, la propagation d'une épidémie dans une population et le refroidissement d'un cadavre.
• Un logarithme est utilisé pour calculer la durée de remboursement d'un prêt.
• Le logarithme est utilisé en calcul pour différencier des équations difficiles et calculer l'aire sous les courbes.

Règle de produit des logarithmes

Selon la règle du produit pour les logarithmes, le logarithme d'une multiplication de deux termes est identique à l'addition des logarithmes de ces termes individuels. En d’autres termes, cette règle s’exprime sous forme de log_b(mn) = journal_b(m) + journal_b(n). Continuons à dériver cette règle.

Processus de dérivation :

Commençons par supposer que le journal_b(m) = x et log_b(n) = oui. En convertissant les deux sous leurs formes exponentielles, nous obtenons :

enregistrer_b(m) = x implique m = b^X… (1)

enregistrer_b(n) = y implique n = b^et… (2)

Lorsque nous multiplions les équations (1) et (2) ensemble,

mn = b^{X .}b^et

Utiliser les règles de multiplication des exposants,

mn = b^{x + y}

La reconversion sous forme logarithmique donne,

enregistrer_b(mn) = x + y

En remplaçant x et y,

enregistrer_b(mn) = journal_b(m) + journal_b(n)

Ainsi, nous avons dérivé la règle du produit des logarithmes. Cette règle peut être utilisée de diverses manières, telles que :

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Il est important de noter que la règle de produit pour les logarithmes ne s'applique pas aux log (m + n), qui ne peut pas être divisé en logarithmes distincts. Cette règle concerne strictement le logarithme d'un produit, log(mn).

Règle de puissance du logarithme

La règle de puissance du logarithme stipule que lorsque l’argument d’un logarithme est élevé à une puissance, cet exposant peut être déplacé vers l’avant du logarithme. En d’autres termes, logb mn = n logb m. Explorons la dérivation de cette règle.

Processus de dérivation :

Commencez par supposer que le journal_bm est égal à x. La conversion sous sa forme exponentielle nous donne :

b^X= m

Ensuite, élevez les deux côtés à la puissance n, ce qui donne :

Java comparable

(b^X)ⁿ= mⁿ

L'application de la règle de puissance de l'exposant donne :

b^nx= mⁿ

En revenant sous forme logarithmique, nous obtenons :

enregistrer_bmⁿ= nx

En remplaçant x par log_bm, on arrive à :

enregistrer_bmⁿ= n journal_bm

Ceci conclut la dérivation de la règle de puissance du logarithme. Vous trouverez ci-dessous plusieurs exemples de la manière dont cette règle est appliquée :

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Règle du quotient des logarithmes

Selon la règle du quotient des logarithmes, le logarithme d'une division entre deux nombres est la soustraction des logarithmes de chaque nombre.

Plus précisément, la règle stipule que le journal_b(m/n) = journal_bm – journal_bn. Continuons à dériver cette règle.

Processus de dérivation :

Supposons que le journal_bm est égal à x et log_bn est égal à y. Nous les exprimerons sous leurs formes exponentielles.

enregistrer_bm = x implique m = b^X… (1)

enregistrer_bn = y implique n = b^et… (2)

Lorsque l'on divise l'équation (1) par l'équation (2),

m/n = b^X/b^et

En appliquant la règle du quotient pour les exposants,

m/n = b^x-y

Reconversion sous forme logarithmique,

enregistrer_b(m/n) = x – y

En remplaçant x et y,

enregistrer_b(m/n) = journal_bm – journal_bn

Ainsi, nous avons dérivé la règle du quotient pour les logarithmes. Cette règle peut être utilisée comme suit :

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Il est important de noter que la règle du quotient n’implique rien pour log (m – n).

Rubriques connexes:

• Table antilogique
• Calculateur de journaux
• Bûche naturelle
• Tableau de journal

Exemples résolus de règles de journalisation

Exemple 1 : Simplifier le journal ₂ (4 × 8).

Solution:

En utilisant la règle du produit, nous divisons le produit en une somme de logarithmes :

enregistrer₂(4 × 8) = journal₂(4) + journal₂(8) = 2 + 3 = 5.

Exemple 2 : Simplifier le journal ₄ (16/2).

Solution:

En utilisant la règle du quotient, nous divisons le quotient en une différence de logarithmes :

enregistrer₄(16 / 2) = journal₄(16) – journal₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Exemple 3 : Simplifier le journal ₅ (25 ³ ).

Solution:

En utilisant la règle de puissance, nous pouvons réduire l’exposant sous forme de coefficient :

enregistrer₅(25³) = 3 × journal₅(25) = 3 × 2 = 6.

Exemple 4 : Convertir le journal ₃ (7) dans une expression en base 10.

Solution:

En utilisant la règle de changement de base, nous divisons par le logarithme de la nouvelle base :

enregistrer₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Exemple 5 : évaluer le journal ₇ (49) en utilisant la règle du changement de base avec la base 2.

Solution:

Utilisation de la règle de changement de base avec la base 2 :

enregistrer₇(49) = journal₂(49) / journal₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (environ).

Questions pratiques sur les règles de journalisation

Problème 1 : Simplifiez l'expression : journal₂(4) + journal₂(8).

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Problème 2 : Simplifier : journaliser₅(25) – journal₅(5).

Problème 3 : Simplifiez l'expression : journal₃(9²).

Problème 4 : Journal express₄(25) en termes de logarithmes communs.

Problème 5 : Simplifiez-vous à l'aide des règles de journal : journal₇(49) + 2 bûches₇(3).

Problème 6 : Résoudre pour x : journal₂(x) = 3.

Problème 7 : Résoudre x : 2^{3x – 1}= 8.

Règles de journalisation – FAQ

Que sont les règles de logarithme ?

Les règles de logarithme sont un ensemble de recommandations permettant de manipuler et de simplifier des formules à l'aide de fonctions logarithmiques. Ils offrent une méthode systématique pour traiter les calculs complexes et les interactions entre exponentielles et logarithmes.

Combien y a-t-il de règles de logarithme clé ?

La règle du produit, la règle du quotient, la règle de la puissance, la règle du changement de base et la règle du changement de base sont toutes des règles de logarithme majeures. Ces principes permettent des modifications et des calculs d'expressions logarithmiques.

Qu’est-ce que la règle du produit logarithmique ?

Selon la règle du produit, le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs individuels : logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Quels sont les deux types de logarithmes ?

Les deux types de logarithmes les plus couramment utilisés sont :

• Logarithme Commun ou Logarithme Base 10
• Logarithme naturel ou logarithme de base

Qu'est-ce que la règle de journalisation pour le changement de base ?

Selon le changement de règle de base du journal, journal_un(b)=[journal_c(Blog_c(a)], où c est n’importe quel nombre réel positif.

Qu'est-ce que le journal 0 ?

Le logarithme de zéro est inconnu. Nous n’acquérons jamais le nombre 0 en élevant une valeur à la puissance d’une autre valeur.

Qu'est-ce que le journal 1 ?

En raison de la règle zéro, le logarithme de 1 dans n'importe quelle base est toujours 0, c'est-à-dire log_un(1) = 0.

Qu'est-ce que le logarithme d'un nombre quelconque sur lui-même comme base ?

Selon la règle d'identité, le logarithme d'une base par rapport à elle-même est toujours 1, c'est-à-dire log_un(a) = 1.

Quelle est la relation entre les logarithmes et les exponentielles ?

Les logarithmes et les exponentielles sont des opérations inverses. Un logarithme vous indique l'exposant nécessaire pour atteindre un certain nombre, tandis qu'une exponentielle élève une base à un exposant.

Quelles sont les 7 règles des logarithmes ?

Les 7 règles des logarithmes comprennent

• Règle du produit
• Règle de quotient
• Règle de puissance
• Changement des règles de base
• Règle du zéro
• Règle d'identité
• Règle négative

Ces règles sont utilisées pour simplifier les expressions logarithmiques.

Qu'est-ce que la règle de l'exposant du journal ?

La règle de l'exposant de journal indique que la base de journal b de a^Xest égal à x fois log base b de a, c'est-à-dire log_bun^X= x journal_bun.

Quelle est la principale différence entre le journal commun et le journal naturel ?

La principale différence entre le journal commun et le journal naturel est que les journaux communs utilisent la base 10, tandis que les journaux naturels utilisent la constante mathématique « e » comme base.

Quelle est la règle dérivée du journal ?

La règle dérivée pour les fonctions log est : d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b)), où « b » est la base du logarithme.

Qu'est-ce que la règle de changement de base ?

Selon la règle de changement de base, la base de n'importe quel logarithme peut être remplacée par n'importe quelle autre base souhaitée en utilisant la formule : loga(X) = logb(X) / logb(a).