La décomposition LU d'une matrice est la factorisation d'une matrice carrée donnée en deux matrices triangulaires, une matrice triangulaire supérieure et une matrice triangulaire inférieure, de telle sorte que le produit de ces deux matrices donne la matrice d'origine. Elle a été introduite par Alan Turing en 1948, qui a également créé la machine de Turing.

La méthode de décomposition LU consistant à factoriser une matrice en tant que produit de deux matrices triangulaires a diverses applications telles qu'une solution d'un système d'équations, qui elle-même fait partie intégrante de nombreuses applications telles que la recherche de courant dans un circuit et la solution de problèmes de systèmes dynamiques discrets. ; trouver l'inverse d'une matrice et trouver le déterminant de la matrice.

Qu’est-ce que la décomposition L U ?

Une matrice carrée A peut être décomposée en deux matrices carrées L et U telles que A = L U où U est une matrice triangulaire supérieure formée suite à l'application de la méthode d'élimination de Gauss sur A, et L est une matrice triangulaire inférieure avec des éléments diagonaux étant égal à 1.

Pour A =egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix} .

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On a L = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 end{bmatrix} et U =egin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{bmatrix} ;

Tel que A = L U c'est-à-dire,left[egin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight]=left[egin{array}{lll} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 0 end{array} ight] cdot left[egin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{array} ight]

Ici la valeur de l_vingt-et-un, dans_onze, etc. peuvent être comparés et trouvés.

Qu’est-ce que la méthode d’élimination de Gauss ?

L'élimination gaussienne, également connue sous le nom d'élimination de Gauss-Jordan, est une méthode utilisée en algèbre linéaire pour résoudre des systèmes d'équations linéaires et trouver l'inverse d'une matrice. Il porte le nom du mathématicien Carl Friedrich Gauss et du mathématicien Wilhelm Jordan, qui ont apporté une contribution significative à son développement.

Selon la méthode d'élimination de Gauss :

1. Toute ligne nulle doit être au bas de la matrice.
2. La première entrée non nulle de chaque ligne doit se trouver à droite de la première entrée non nulle de la ligne précédente. Cette méthode réduit la matrice sous forme d’échelon de lignes.

Méthode de décomposition LU

Pour transformer n'importe quelle matrice carrée en deux matrices triangulaires, c'est-à-dire que l'une est une matrice triangulaire inférieure et l'autre est une matrice triangulaire supérieure, nous pouvons utiliser les étapes suivantes.

• Étant donné un ensemble d'équations linéaires, convertissez-les d'abord sous forme matricielle A X = C où A est la matrice des coefficients, X est la matrice des variables et C est la matrice des nombres du côté droit des équations.
• Maintenant, réduisez la matrice des coefficients A, c'est-à-dire la matrice obtenue à partir des coefficients des variables dans toutes les équations données de telle sorte que pour « n » variables, nous ayons une matrice nXn, sous forme d'échelon de ligne en utilisant la méthode d'élimination de Gauss. La matrice ainsi obtenue est U.
• Pour trouver L, nous avons deux méthodes. La première consiste à considérer les éléments restants comme des variables artificielles, à créer des équations en utilisant A = L U et à les résoudre pour trouver ces variables artificielles. L'autre méthode est que les éléments restants sont les coefficients multiplicateurs en raison desquels les positions respectives sont devenues nulles dans la matrice U. (Cette méthode est un peu difficile à comprendre par des mots mais serait claire dans l'exemple ci-dessous)
• Maintenant, nous avons A (la matrice des coefficients nXn), L (la matrice triangulaire inférieure nXn), U (la matrice triangulaire supérieure nXn), X (la matrice nX1 des variables) et C (la matrice nX1 des nombres à droite). côté des équations).
• Le système d'équations donné est A X = C. Nous substituons A = L U. Ainsi, nous avons L U X = C. Nous mettons Z = U X, où Z est une matrice ou des variables artificielles et résolvons d'abord L Z = C, puis résolvons pour U X = Z pour trouver X ou les valeurs des variables, ce qui était requis.

Exemple de décomposition LU

Résolvez le système d'équations suivant à l'aide de la méthode de décomposition LU :

egin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 end{equation*} egin{equation*} 4x_1 + 3x_2 – x_3 = 6 end{equation*} egin{equation*} 3x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 4 end{equation*}

Solution : Ici, nous avons A =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} , X = egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

et

C = egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

tel que A X = C. Maintenant, considérons d'abord

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix}

et convertissez-le sous forme d'échelon de ligne en utilisant la méthode d'élimination de Gauss. Alors, en faisant

egin{equation} R_2 o R_2 – 4R_1 end{equation} egin{equation} R_3 o R_3 – 3R_1 end{equation}

on a

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} sim

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 2 & 0 end{bmatrix}

Maintenant, en faisant

egin{equation} R_3 o R_3 – (-2)R_2 end{equation}

On a

sim egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(N'oubliez pas de toujours garder le signe ' – ' entre les deux, remplacer le signe ' + ' par deux signes ' – ') On obtient donc L =

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix}

et U =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(notez que dans la matrice L,

l_{21} = 4

vient de (1),

l_{31} = 3

est de (2) et

recherche linéaire en java

l_{32} = -2

vient de (3)) Maintenant, nous supposons que Z

= egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

et résolvez L Z = C.

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

Donc nous avons

z_1 = 1 ,

4z_1 + z_2 = 6 ,

3z_1 – 2z_2 + z_3 = 4 .

En résolvant, on obtient

z_1 = 1

,

z_2 = 2

et

z_3 = 5

. Maintenant, nous résolvons U X = Z

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix} egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 2 5 end{bmatrix}

Par conséquent, nous obtenons

x_1 + x_2 + x_3 = 1 ,

-x_2 – 5x_3 = 2

,

-10x_3 = 5 .

Ainsi, la solution du système d’équations linéaires donné est

x_1 = 1

'abc' est en chiffres'

,

x_2 = 0.5

,

x_3 = -0.5

et donc la matrice X =

egin{bmatrix} 1 0.5 -0.5 end{bmatrix}

Exercice sur la décomposition LU

Dans la décomposition LU de la matrice

| 2 2 |
| 4 9 |

, si les éléments diagonaux de U sont tous deux égaux à 1, alors l'entrée diagonale inférieure l22 de L est (GATE CS 2015) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

Pour la solution, voir PORTE | PORTE-CS-2015 (Ensemble 1) | Question 65 .

FAQ sur la décomposition LU

Quelle est la méthode de décomposition LU ?

La décomposition LU, abréviation de Lower-Upper Decomposition, est une technique de factorisation matricielle utilisée pour décomposer une matrice carrée en produit d'une matrice triangulaire inférieure (L) et d'une matrice triangulaire supérieure (U). Il est couramment utilisé pour simplifier la résolution de systèmes d’équations linéaires et le calcul des déterminants.

Pourquoi la décomposition LU est-elle unique ?

La décomposition LU est unique car elle fournit un moyen de factoriser une matrice carrée A en matrices triangulaires inférieure et supérieure (L et U), permettant une résolution efficace de systèmes linéaires et un calcul déterminant.

Comment la décomposition LU est-elle calculée ?

La décomposition LU est calculée à l'aide de l'élimination gaussienne, dans laquelle vous transformez une matrice carrée A en matrices triangulaires inférieure (L) et supérieure (U) en effectuant des opérations sur les lignes tout en gardant une trace des modifications dans des matrices distinctes. Ce processus est itératif et se poursuit jusqu'à ce que A soit complètement décomposé. La méthode avec toutes les étapes de décomposition LU est donnée dans l'article.

Quand la décomposition LU n’est pas possible ?

La décomposition LU peut ne pas être possible lorsque la matrice A est singulière (non inversible) ou lorsqu'elle nécessite un pivotement pour plus de stabilité, mais l'élément pivot devient nul, provoquant une division par zéro pendant le processus de décomposition.

Existe-t-il des alternatives à la décomposition LU ?

Oui, les alternatives à la décomposition LU incluent Décomposition de Cholesky pour les matrices définies positives symétriques, la décomposition QR pour les matrices générales et les méthodes basées sur les valeurs propres telles que la décomposition spectrale et la décomposition en valeurs singulières (SVD) pour diverses opérations et applications matricielles.

La décomposition LU peut-elle être appliquée à des matrices non carrées ?

La décomposition LU est généralement appliquée aux matrices carrées. Pour les matrices rectangulaires, la décomposition QR est plus couramment utilisée. Cependant, des variantes telles que la décomposition LUP peuvent également gérer des matrices rectangulaires, où P est une matrice de permutation.