Une déclaration d'implication peut être représentée sous la forme « si... alors ». Le symbole ⇒ est utilisé pour montrer l'implication. Supposons qu'il y ait deux affirmations, P et Q. Dans ce cas, l'instruction « si P alors Q » peut également s'écrire sous la forme P ⇒ Q ou P → Q, et elle sera lue comme « P implique Q ». Dans cette implication, l'énoncé P est une hypothèse, également connue sous le nom de prémisse et d'antécédent, et l'énoncé Q est une conclusion, également connue sous le nom de conséquent.

L'implication joue également un rôle important dans l'argumentation logique. Si l’on sait que l’implication des déclarations est vraie, alors chaque fois que la prémisse est remplie, la conclusion doit également être vraie. Pour cette raison, l’implication est également connue sous le nom d’instruction conditionnelle.

Voici quelques exemples d’implications :

conception unique

• 'Si le temps à GOA est ensoleillé, alors nous irons à la plage'.
• 'Si le club dispose d'un système de réduction, alors nous irons dans ce club'.
• 'S'il fait beau en allant à la plage, alors nous serons bronzés'.

L’implication logique peut être exprimée de différentes manières, décrites comme suit :

1. Si p alors q
2. Si p, q
3. q quand p
4. Q seulement si P
5. q sauf si ~p
6. q chaque fois que p
7. p est une condition suffisante pour q
8. q suivre p
9. p implique q
10. Une condition nécessaire pour p est q
11. q si p
12. q est nécessaire pour p
13. p est une condition nécessaire pour q

Nous allons maintenant décrire les exemples de toutes les implications décrites ci-dessus à l'aide de la prémisse P et de la conclusion Q. Pour cela, nous supposerons que P = Il fait beau et Q = J'irai à la plage.

P ⇒ Q

1. SI il fait beau ALORS j'irai à la plage
2. S'il fait beau, j'irai à la plage
3. J'irai à la plage QUAND il fera beau
4. J'irai à la plage SEULEMENT SI il fait beau
5. J'irai à la plage SAUF s'il ne fait pas beau
6. J'irai à la plage QUAND il fera beau
7. Il fait beau C'EST UNE CONDITION SUFFISANTE POUR J'irai à la plage
8. J'irai à la plage SUIVEZ il fait beau
9. Il fait beau IMPLIQUE que j'irai à la plage
10. UNE CONDITION NÉCESSAIRE POUR qu'il fasse beau c'est que j'aille à la plage
11. J'irai à la plage SI il fait beau
12. J'irai à la plage EST NÉCESSAIRE CAR il fait beau
13. Il fait beau C'EST UNE CONDITION NÉCESSAIRE POUR J'irai à la plage

Lorsqu'il y a une déclaration conditionnelle « si p alors q », alors cette déclaration P ⇒ Q sera fausse lorsque les prémisses p sont vraies et que la conclusion q est fausse. Dans tous les autres cas, cela signifie que lorsque p est faux ou Q est vrai, l’énoncé P ⇒ Q sera vrai. Nous pouvons représenter cette affirmation à l'aide d'une table de vérité dans laquelle le faux sera représenté par F et le vrai sera représenté par T. La table de vérité de l'énoncé « si P alors Q » est décrite comme suit :

Il n’est pas nécessaire que les prémisses et la conclusion soient liées les unes aux autres. L’interprétation de la table de vérité dépend de la formulation de P et Q.

Par exemple:

• Si Jack est en plastique, alors l'Océan est vert.
• La déclaration : Jack est en plastique
• La déclaration : L’Océan est vert

Les deux déclarations ci-dessus n'ont aucun sens car Jack est un humain et il ne peut jamais être fait de plastique, et une autre déclaration L'océan est vert n'arrivera jamais car l'océan est toujours bleu et sa couleur ne peut pas être modifiée. Comme nous pouvons le voir, les deux déclarations ne sont pas liées l’une à l’autre. En revanche, la table de vérité pour l’énoncé P ⇒ Q est valide. Il ne s’agit donc pas de savoir si la table de vérité est correcte ou non, mais c’est une question d’imagination et d’interprétation.

Donc dans P ⇒ Q, nous n'avons besoin d'aucun type de connexion entre la prémisse et le conséquent. Seule la signification de P et Q dépend de la valeur réelle de P et Q.

Ces déclarations seront également fausses même si nous considérons les deux déclarations pour notre monde, donc

 False ⇒ False 

Ainsi, lorsque nous regardons la table de vérité ci-dessus, nous voyons que lorsque P est faux et Q est faux, alors P ⇒ Q est vrai.

Ainsi, si le Jack est en plastique, alors l'Océan sera vert.

Cependant, la prémisse p et la conclusion q seront liées, et les deux affirmations ont un sens.

Ambiguïté

Il peut y avoir une ambiguïté dans l'opérateur implicite. Ainsi, lorsque nous utilisons l'opérateur implicite (⇒), à ce stade, nous devons utiliser la parenthèse.

Par exemple: Dans cet exemple, nous avons une affirmation ambiguë P ⇒ Q ⇒ R. Maintenant, nous avons deux affirmations ambiguës ((P ⇒ Q) ⇒ R) ou (P ⇒ (Q ⇒ R)), et nous devons montrer si ces affirmations sont semblables ou non.

Solution: Nous allons le prouver à l’aide d’une table de vérité, décrite comme suit :

Dans la table de vérité ci-dessus, nous pouvons voir que les tables de vérité de P ⇒ (Q ⇒ R) et (P ⇒ Q) ⇒ R ne sont pas similaires. Par conséquent, ils généreront tous deux des résultats ou des résultats différents.

En savoir plus sur les implications

D’autres exemples d’implications sont décrits ci-dessous :

• S'il fait beau, j'irai à l'école.
• Si j’obtiens un bon travail, je gagnerai de l’argent.
• Si j’ai de bonnes notes, mes parents seront contents.

Dans tous les exemples ci-dessus, nous sommes confus car nous ne savons pas quand une implication sera considérée comme vraie et quand elle sera considérée comme fausse. Pour résoudre ce problème et comprendre le concept d’implication, nous utiliserons un exemple hypothétique. Dans cet exemple, nous supposerons que Marry jouera au badminton avec son petit ami Jack, et que son petit ami Jack veut motiver un peu Marry, alors il l'attire avec une déclaration :

 'If you win then I will buy a ring for you' 

À travers cette déclaration, Jack veut dire que si le mariage gagne, alors évidemment il achètera une bague. Par cette déclaration, Jack ne s'engage que lorsque Marry gagne. Il n'a en aucun cas commis quoi que ce soit lorsque Mary s'est détachée. Ainsi, à la fin du match, il ne peut y avoir que quatre possibilités, qui sont décrites comme suit :

• Se marier gagne - achetez une bague.
• Se marier gagne - n'achetez pas de bague.
• Se marier perd - achetez une bague.
• Se marier perd - n'achetez pas de bague.

Cependant, Jack n’a fait aucune déclaration relative à la règle (B). Il n'a pas non plus mentionné les règles numéro (C) et (D) dans sa déclaration, donc si Marry perd, alors c'est à Jack de lui acheter une bague ou non. En effet, les déclarations (A), (C) et (D) pourraient résulter de la déclaration que Jack dit à Marry, mais (B) ne sera pas le résultat. Si le résultat (B) se produit, alors seulement Jack sera pris en flagrant délit de mensonge. Dans les trois autres cas, c’est-à-dire (A), (C) et (D), il aura dit la vérité.

Nous allons maintenant utiliser l'énoncé le plus simple afin de pouvoir définir symboliquement l'énoncé de Jack comme ceci :

 P: you win Q: I will buy a ring for you 

Dans cette implication, nous utilisons le symbole logique ⇒, qui peut être lu comme « implique ». Nous formerons l'énoncé composé de Jack en plaçant cette flèche de P à Q comme ceci :

 P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you. 

En conclusion, nous avons observé que l’implication ne sera fausse que lorsque P est vrai et q est faux. Selon cette déclaration, Marry gagne la partie, mais malheureusement Jack n'achète pas de bague. Dans tous les autres cas/résultats, la déclaration sera vraie. En conséquence, la table de vérité pour l’implication est décrite comme suit :

La liste des équations logiques correspondantes pour l’implication est décrite comme suit :

 T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T 

Exemples d'implications :

Il existe divers exemples d’implications, dont certaines sont décrites comme suit :

Exemple 1: Supposons qu'il y ait quatre énoncés, P, Q, R et S où

P : Jack est à l'école

Q : Jack enseigne

R : Jack dort

S : Jack est malade

Nous allons maintenant décrire quelques déclarations symboliques impliquées dans ces déclarations simples.

1. P → R
2. S → ~P
3. ~ Q → (S ∧ R)
4. (P ∨ R) → ~Q
5. (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)

Ici, nous devons montrer la représentation de l'interprétation de ces déclarations symboliques en mots.

Solution:

Exemple 2 : Dans cet exemple, nous avons une implication P → Q. Ici, nous avons également trois autres énoncés composés qui sont naturellement associés à cette implication qui est contra positive, inverse et inverse de l'implication. La relation entre ces quatre déclarations est décrite à l’aide d’un tableau décrit comme suit :

Nous allons maintenant considérer un exemple d'implication, qui contient la déclaration : « Si vous étudiez bien, vous obtenez de bonnes notes ». Cette affirmation est sous la forme P → Q, où

P : tu étudies bien

Q : vous avez de bonnes notes

Nous allons maintenant utiliser les instructions P et Q et afficher les quatre instructions associées comme ceci :

Implication: Si vous étudiez bien, vous obtenez de bonnes notes.

Converser: Si vous obtenez de bonnes notes, vous étudiez bien.

Inverse: Si vous n’étudiez pas bien, vous n’obtiendrez pas de bonnes notes.

Contrapositif : Si vous n’obtenez pas de bonnes notes, vous n’étudiez pas bien.

Les valeurs de vérité de toutes les déclarations associées ci-dessus sont décrites à l'aide d'une table de vérité, décrite comme suit

Dans le tableau ci-dessus, nous pouvons voir que l'implication (P → Q) et sa contrapositive (~Q → ~P) ont la même valeur dans leurs colonnes. Cela signifie qu’ils sont tous les deux équivalents. On peut donc dire que :

 P → Q = ~Q → ~P 

De même, nous pouvons voir que l’inverse et l’inverse ont tous deux des valeurs similaires dans leurs colonnes. Mais cela ne fera aucune différence car l’inverse est le contre-positif de l’inverse. De même, l'implication originelle peut provenir du contre-positif du contre-positif. (Cela signifie que si nous annulons P et Q puis changeons la direction de la flèche, et après cela, nous répéterons à nouveau le processus, cela signifie annuler ~ P et ~ Q, et changer à nouveau la direction de la flèche, dans ce cas, nous obtiendrons retour là où nous avons commencé).