UN Hyperbole est une courbe douce dans un plan avec deux branches qui se reflètent, ressemblant à deux arcs infinis. Il s'agit d'une section conique formée par l'intersection d'un cône circulaire droit avec un plan formant un angle tel que les deux moitiés du cône se coupent.

Découvrons l'hyperbole en détail, y compris son équation, ses formules, ses propriétés, ses graphiques et sa dérivation.

Hyperbole

Table des matières

• Qu’est-ce que l’hyperbole ?
• Définition de l'hyperbole
• Équation d'hyperbole
• Parties de l'hyperbole
• Excentricité de l'hyperbole
• Équation standard de l'hyperbole
• Côté droit de l'hyperbole
• Dérivation de l'équation de l'hyperbole
• Formule Hyperbole
• Graphique de l’hyperbole
• Hyperbole conjuguée
• Propriétés de l’hyperbole
• Cercles auxiliaires d'hyperbole
• Hyperbole rectangulaire
• Représentation paramétrique de l'hyperbole
• Hyperbole Classe 11
• Exemples résolus sur l'hyperbole
• Problèmes de pratique sur l'hyperbole

Qu’est-ce que l’hyperbole ?

Une hyperbole est le lieu des points dont la différence des distances à deux foyers est une valeur fixe. Cette différence est obtenue en soustrayant la distance du foyer le plus proche de la distance du foyer le plus éloigné.

Si P (x, y) est un point de l’hyperbole et que F, F’ sont deux foyers, alors le lieu de l’hyperbole est

PF – PF' = 2a

Note: Reportez-vous au diagramme ajouté dans la dérivation pour l'image.

Définition de l'hyperbole

En géométrie analytique, une hyperbole est un type de section conique créée lorsqu'un plan coupe les deux moitiés d'un double cône circulaire droit selon un angle. Cette intersection donne naissance à deux courbes distinctes et illimitées qui sont des images miroir l’une de l’autre, formant une hyperbole.

Équation d'hyperbole

L’équation d’une hyperbole dans sa forme standard dépend de son orientation et du fait qu’elle soit centrée à l’origine ou à un autre point. Voici les deux formes principales des hyperboles centrées à l'origine, l'une s'ouvrant horizontalement et l'autre s'ouvrant verticalement :

X ² /un ² - et ² /b ² = 1

Cette équation représente une hyperbole qui s'ouvre à gauche et à droite. Les points (±a,0) sont les sommets de l'hyperbole, situés sur l'axe des x.

Parties de l'hyperbole

Une hyperbole est une section conique qui se développe lorsqu'un plan coupe un double cône circulaire droit selon un angle tel que les deux moitiés du cône sont jointes. Il peut être décrit à l'aide de concepts tels que foyers, directrice, latus rectum et excentricité.

Excentricité de l'hyperbole

L'excentricité d'une hyperbole est le rapport entre la distance d'un point au foyer et sa distance perpendiculaire à la directrice. Il est désigné par la lettre « C'est '.

• L'excentricité d'une hyperbole est toujours supérieure à 1, c'est-à-dire e>1.
• On peut facilement trouver l'excentricité de l'hyperbole par la formule :

e = √[1 + (b ² /un ² )]

où,

• un est la longueur du demi-grand axe
• b est la longueur du demi-petit axe

En savoir plus: Excentricité

Équation standard de l'hyperbole

Les équations standards d'une hyperbole sont :

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

OU

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Une hyperbole a deux équations standards. Ces équations d'une hyperbole sont basées sur son axe transversal et son axe conjugué.

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• L'équation standard de l'hyperbole est [(x²/un²) - (et²/b²)] = 1, où l'axe X est l'axe transversal et l'axe Y est l'axe conjugué.
• De plus, une autre équation standard de l’hyperbole est [(y²/un²)- (X²/b²)] = 1, où l'axe Y est l'axe transversal et l'axe X est l'axe conjugué.
• Équation standard de l'hyperbole avec le centre (h, k) et l'axe X comme axe transversal et l'axe Y comme axe conjugué,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• De plus, une autre équation standard de l'hyperbole avec le centre (h, k) et l'axe Y comme axe transversal et l'axe X comme axe conjugué est

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Côté droit de l'hyperbole

Latus rectum d'une hyperbole est une ligne passant par l'un des foyers d'une hyperbole et perpendiculaire à l'axe transversal de l'hyperbole. Les extrémités d'un latus rectum se trouvent sur l'hyperbole et sa longueur est de 2b²/un.

Dérivation de l'équation de l'hyperbole

Considérons un point P de l'hyperbole dont les coordonnées sont (x, y). D’après la définition de l’hyperbole, nous savons que la différence entre la distance du point P aux deux foyers F et F’ est de 2a, c’est-à-dire PF’-PF = 2a.

Soit les coordonnées des foyers F (c, o) et F '(-c, 0).

Maintenant, en utilisant la formule de distance de coordonnées, nous pouvons trouver la distance du point P (x, y) aux foyers F (c, 0) et F '(-c, 0).

√[(x+c)²+ (et – 0)²] – √[(x – c)²+ (et – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ et²] = 2a + √[(x – c)²+ et²]

Maintenant, en mettant les deux côtés au carré, on obtient

(x + c)²+ et²= 4a²+ (x – c)²+ et²+ 4a√[(x – c)²+ et²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ et²]

⇒ cx – une²= une√[(x – c)²+ et²]

Maintenant, en mettant au carré les deux côtés et en simplifiant, on obtient

[(X²/un²) - (et²/(c²- un²))] = 1

Nous avons, c²= un²+ b², donc en substituant ceci dans l'équation ci-dessus, nous obtenons

X²/un²- et²/b²= 1

Par conséquent, l’équation standard de l’hyperbole est dérivée.

De même, nous pouvons dériver les équations standards de l’autre hyperbole, c’est-à-dire [y²/un²- X²/b²] = 1

Formule Hyperbole

Les formules d'hyperbole suivantes sont largement utilisées pour trouver les différents paramètres de l'hyperbole, notamment l'équation de l'hyperbole, les axes majeur et mineur, l'excentricité, les asymptotes, le sommet, les foyers et le rectum semi-latus.

Où,

• ( X₀​, et₀​) est le point central
• un est le demi-grand axe
• b est l’Axe Semi-mineur.

Graphique de l’hyperbole

L'hyperbole est une courbe qui comporte deux courbes illimitées qui sont des images miroir l'une de l'autre. Le graphique de l'hyperbole montre cette courbe dans le plan 2D. Nous pouvons observer les différentes parties d'une hyperbole dans les graphiques d'hyperbole pour les équations standards donnés ci-dessous :

Équation de l'hyperbole	Graphique de l’hyperbole	Paramètres de l'hyperbole
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Coordonnées du centre : (0, 0) Coordonnées du sommet : (a, 0) et (-a, 0) Coordonnées des foyers : (c, 0) et (-c, 0) La longueur de l'axe transversal = 2a La longueur de l'axe conjugué = 2b La longueur du grand rectum = 2b2/un Équations d'asymptotes : y = (b/a) x et y = -(b/a) x Excentricité (e) = √[1 + (b2/un2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Coordonnées du centre : (0, 0) Coordonnées du sommet : (0, a) et (0, -a) Coordonnées des foyers : (0, c) et (0, -c) La longueur de l'axe transversal = 2b La longueur de l'axe conjugué = 2a La longueur du grand rectum = 2b2/un Équations d'asymptotes : y = (a/b) x et y = -(a/b) x Excentricité (e) = √[1 + (b2/un2)]

Hyperbole conjuguée

Les hyperboles conjuguées sont 2 hyperboles telles que les axes transversal et conjugué d'une hyperbole sont respectivement les axes conjugué et transversal de l'autre hyperbole.

Hyperbole conjuguée de (x²/ un²) - (et²/b²) = 1 est,

(X ² / un ² ) - (et ² /b ² ) = 1

Où,

• un est le demi-grand axe
• b est l'axe semi-mineur
• C'est est l'excentricité de la parabole
• un ² =b ² (C'est ² − 1)

Propriétés de l’hyperbole

• Si les excentricités de l'hyperbole et de son conjugué sont e₁, et e₂alors,

(1 et ₁ ² ) + (1 / e ₂ ² ) = 1

• Les foyers d'une hyperbole et son conjugué sont concycliques et forment les sommets d'un carré.
• Les hyperboles sont égales si elles ont le même grand rectum.

Cercles auxiliaires d'hyperbole

Le cercle auxiliaire est un cercle dessiné avec le centre C et le diamètre comme axe transversal de l'hyperbole. Le cercle auxiliaire de l'équation de l'hyperbole est,

X ² + et ² = un ²

Hyperbole rectangulaire

Une hyperbole avec un axe transversal de 2 unités a et un axe conjugué de 2 unités b d'égale longueur est appelée hyperbole rectangulaire. c'est-à-dire en hyperbole rectangulaire,

2a = 2b

⇒ une = b

L’équation d’une hyperbole rectangulaire est donnée comme suit :

X ² - et ² = un ²

Note: L'excentricité de l'hyperbole rectangulaire est √2.

Représentation paramétrique de l'hyperbole

La représentation paramétrique des cercles auxiliaires de l'hyperbole est :

x = a sec θ, y = b tan θ

Les gens lisent aussi

• Section conique
• Parabole
• Cercle
• Ellipse

Hyperbole Classe 11

En mathématiques de classe 11, l'étude des hyperboles fait partie des sections coniques en géométrie analytique. Comprendre les hyperboles à ce niveau implique d’explorer leur définition, leurs équations standards, leurs propriétés et divers éléments qui leur sont associés.

Le programme de la classe 11 comprend généralement la dérivation de ces équations et propriétés, l’esquisse d’hyperboles basées sur des équations données et la résolution de problèmes liés aux éléments et aux positions de l’hyperbole. La maîtrise de ces concepts fournit une base solide en analyse géométrie , préparant les étudiants à la poursuite d'études en mathématiques et dans des domaines connexes.

Résumé – Hyperbole

Une hyperbole est un type de section conique qui se forme lorsqu'un plan coupe un cône selon un angle tel que deux courbes distinctes sont produites. Caractérisée par sa symétrie miroir, une hyperbole est constituée de deux branches déconnectées, chacune s'éloignant l'une de l'autre. Il peut être défini mathématiquement dans un plan de coordonnées à l'aide d'une équation standard, qui varie en fonction de son orientation (horizontale ou verticale) et selon que son centre est à l'origine ou à un autre point.

Les formulaires standards sont X ² /un ² - et ² /b ² = 1 pour une hyperbole s'ouvrant horizontalement et et ² /un ² - X ² /b ² = 1 pour une ouverture verticale, avec des variations pour s'adapter à un centre déplacé vers (h,k). Les principales caractéristiques des hyperboles comprennent les sommets, les points de chaque branche les plus proches du centre ; les foyers, points à partir desquels les distances jusqu'à n'importe quel point de l'hyperbole ont une différence constante ; et les asymptotes, lignes que les branches approchent mais ne touchent jamais.

Les propriétés des hyperboles les rendent importantes dans divers domaines, notamment l'astronomie, la physique et l'ingénierie, pour la modélisation et l'analyse des trajectoires et des comportements hyperboliques.

Exemples résolus sur l'hyperbole

Question 1 : Déterminer l'excentricité de l'hyperbole x ² /64 – et ² /36 = 1.

Solution:

L'équation de l'hyperbole est x²/64 – et²/36 = 0

En comparant l'équation donnée avec l'équation standard de l'hyperbole x²/un²- et²/b²= 1, on obtient

un²= 64, b²= 36

⇒ une = 8, b = 6

Nous avons,

Excentricité d'une hyperbole (e) = √(1 + b²/un²)

⇒e = √(1 + 6²/8²)

⇒e = √(1 + 36/64)

⇒e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Par conséquent, l’excentricité d’une hyperbole donnée est de 1,25.

Question 2 : Si l'équation de l'hyperbole est [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, trouvez les longueurs du grand axe, du petit axe et du latus rectum.

Solution:

L'équation de l'hyperbole est [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

En comparant l'équation donnée avec l'équation standard de l'hyperbole, (x – h)²/un²- (et K)²/b²= 1

Ici, x = 4 est le grand axe et y = 3 est le petit axe.

un²= 25 une = 5

b²= 9 b = 3

Longueur du grand axe = 2a = 2 × (5) = 10 unités

Longueur du petit axe = 2b = 2 × (3) = 6 unités

Longueur du grand rectum = 2b²/une = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 unités

Question 3 : Trouvez le sommet, l'asymptote, le grand axe, le petit axe et la directrice si l'équation de l'hyperbole est [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Solution:

L'équation de l'hyperbole est [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

En comparant l'équation donnée avec l'équation standard de l'hyperbole, (x – h)²/un²- (et K)²/b²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Sommet d'une hyperbole : (h + a, k) et (h – a, k) = (13, 2) et (-1, 2)

Le grand axe de l'hyperbole est x = h x = 6

Le petit axe de l'hyperbole est y = k y = 2

Les équations des asymptotes de l'hyperbole sont

y = k − (b / a)x + (b / a)h et y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 et y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 et y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x et y = -1,43 + 0,57x

L'équation de la directrice d'une hyperbole est x = ± a²/√(un²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Question 4 : Trouvez l'excentricité de l'hyperbole dont le grand rectum est la moitié de son axe conjugué.

Solution:

La longueur du latus rectum est la moitié de son axe conjugué

Soit l'équation de l'hyperbole [(x²/ un²) - (et²/b²)] = 1

Axe conjugué = 2b

Longueur du rectum Latus = (2b²/ un)

A partir de données données, (2b²/ une) = (1/2) × 2b

2b = un

Nous avons,

Excentricité de l'hyperbole (e) = √[1 + (b²/un²)]

Maintenant, remplacez a = 2b dans la formule de l'excentricité

⇒e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒e = √5/2

Par conséquent, l’excentricité requise est √5/2.

Problèmes de pratique sur l'hyperbole

P1. Trouvez l'équation sous forme standard de l'hyperbole avec des sommets à (-3, 2) et (1, 2) et une distance focale de 5.

P2. Déterminez le centre, les sommets et les foyers de l'hyperbole avec l'équation 9x ² – 4 ans ² = 36.

P3. Étant donné l'hyperbole avec l'équation (x – 2) ² /16 – (et + 1) ² /9 = 1, trouvez les coordonnées de son centre, de ses sommets et de ses foyers.

P4. Écrivez l'équation de l'hyperbole avec un grand axe horizontal, un centre en (0, 0), un sommet en (5, 0) et un foyer en (3, 0).

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Hyperbole – FAQ

Qu’est-ce que l’hyperbole en mathématiques ?

Le lieu d'un point dans un plan tel que le rapport de sa distance à un point fixe sur celle à une ligne fixe est une constante supérieure à 1 est appelé hyperbole.

Qu’est-ce que l’équation standard de l’hyperbole ?

L'équation standard de l'hyperbole est

(X ² /un ² ) - (et ² /b ² ) = 1

Qu’est-ce que l’excentricité de l’hyperbole ?

L'excentricité d'une hyperbole est le rapport entre la distance d'un point au foyer et sa distance perpendiculaire à la directrice. Pour Hyperbole, l'excentricité est toujours supérieure à 1.

Quelle est la formule de l’excentricité de l’hyperbole ?

La formule pour l’excentricité de l’hyperbole est e = √(1 + (b ² /un ² ))

Que sont Foyers de l'Hyperbole ?

Une hyperbole a deux foyers. Pour l'hyperbole (x²/un²) - (et²/b²) = 1, les foyers sont donnés par (ae, 0) et (-ae, 0)

Qu’est-ce que l’axe transversal de l’hyperbole ?

Pour l'hyperbole (x²/un²) - (et²/b²) = 1, l'axe transversal est le long de l'axe x. Sa longueur est donnée par 2a. La ligne passant par le centre et les foyers de l'hyperbole est appelée axe transversal d'une hyperbole.

Que sont les asymptotes de l’hyperbole ?

Les lignes parallèles à l'hyperbole qui rencontrent l'hyperbole à l'infini sont appelées les asymptotes de l'hyperbole.

Combien d’asymptotes l’Hyperbole possède-t-elle ?

Une hyperbole a 2 asymptotes. Les asymptotes sont une ligne tangente à l'hyperbole qui rencontre l'hyperbole à l'infini.

A quoi sert l’Hyperbole ?

Les hyperboles trouvent des applications dans divers domaines tels que l'astronomie, la physique, l'ingénierie et l'économie. Ils sont utilisés dans les trajectoires des satellites, les modèles de transmission radio, le ciblage de l’artillerie, la modélisation financière et la mécanique céleste, entre autres domaines.

Quelle est la différence entre une parabole et une hyperbole sous forme standard ?

Sous forme standard, l'équation d'une parabole implique des termes élevés à la puissance 1 et 2, tandis que l'équation d'une hyperbole implique des termes élevés à la puissance 2 et -2. De plus, la parabole est caractérisée par un seul point focal, tandis que l’hyperbole en a deux.

Qu'est-ce que l'équation de base du graphique hyperbole ?

L’équation de base d’un graphique hyperbole est :

(x-h)²/ un²- (et K)²/b²= 1

Ou

(et K)²/b²– (x-h)²/ un²= 1

Quels sont les types d’hyperboles ?

Les hyperboles peuvent être classées en trois types en fonction de leur orientation : les hyperboles horizontales, verticales et obliques.

Comment identifier une équation d’hyperbole ?

Une équation d'hyperbole implique généralement des termes avec les deux X et et variables, avec une différence entre les carrés de X et et coefficients, et les coefficients de ces termes sont respectivement positifs et négatifs.

Quelle est la formule de B dans l’hyperbole ?

Sous la forme standard d'une équation d'hyperbole, B représente la longueur de l'axe conjugué, et sa formule est B = 2 b , où b est la distance entre le centre et les sommets le long de l'axe conjugué.

Comment dessiner une hyperbole ?

Pour dessiner une hyperbole, vous commencez généralement par tracer le point central, puis marquez les sommets, les foyers, les asymptotes et d'autres points clés en fonction de l'équation ou des propriétés données. Enfin, dessinez les courbes de l’hyperbole en utilisant ces points comme guides.