Classe d'équivalence sont le groupe d'éléments d'un ensemble basé sur une notion spécifique d'équivalence définie par une relation d'équivalence. Une relation d'équivalence est une relation qui satisfait trois propriétés : la réflexivité, la symétrie et la transitivité. Les classes d'équivalence partitionnent l'ensemble S en sous-ensembles disjoints. Chaque sous-ensemble est constitué d'éléments liés les uns aux autres selon la relation d'équivalence donnée.
Dans cet article, nous discuterons du concept de classe d'équivalence de manière suffisamment détaillée, y compris sa définition, son exemple, ses propriétés, ainsi que des exemples résolus.
Table des matières
- Que sont les classes d’équivalence ?
- Exemples de classe d'équivalence
- Propriétés des classes d'équivalence
- Classes d'équivalence et partition
Que sont les classes d’équivalence ?
Une classe d'équivalence est le nom que l'on donne au sous-ensemble de S qui comprend tous les éléments équivalents les uns aux autres. L'équivalent dépend d'une relation spécifiée, appelée relation d'équivalence. S’il existe une relation d’équivalence entre deux éléments, ils sont appelés équivalents.
Définition de la classe d'équivalence
Étant donné une relation d'équivalence sur un ensemble S, une classe d'équivalence par rapport à un élément a dans S est l'ensemble de tous les éléments dans S qui sont liés à a c'est-à-dire,
[a] OU x est lié à un
Par exemple, considérons l'ensemble des entiers ℤ et la relation d'équivalence définie par congruence modulo n. Deux entiers a et b sont considérés comme équivalents (notés (a ≡ b mod(n) s'ils ont le même reste lorsqu'ils sont divisés par n. Dans ce cas, la classe d'équivalence d'un entier a est l'ensemble de tous les entiers qui ont le même reste que a lorsqu'il est divisé par n.
Qu’est-ce que la relation d’équivalence ?
Toute relation R est dite réalité d’équivalence si et seulement si elle satisfait aux trois conditions suivantes :
- Réflexivité : Pour tout élément a, a est lié à lui-même.
- Symétrie: Si a est lié à b, alors b est lié à a.
- Transitivité : Si a est lié à b et b est lié à c, alors a est lié à c.
En savoir plus sur Relation d'équivalence .
Voici quelques exemples de relation d'équivalence :
Égalité sur un ensemble : Soit X un ensemble quelconque, et définissons une relation R sur X telle que a R b si et seulement si a = b pour a, b ϵ X.
- Réflexivité : Pour chaque un ϵ X, a = a (trivialement vrai).
- Symétrie: Si a = b, alors b = a (trivialement vrai).
- Transitivité : Si a = b et b = c, alors a = c (trivialement vrai).
Congruence modulo n : Soit n un entier positif, et définissons une relation R sur les entiers ℤ telle que a R b si et seulement si a – b est divisible par n.
- Réflexivité : Pour chaque un ϵ ℤ, a – a = 0 est divisible par n.
- Symétrie: Si a – b est divisible par n, alors -(a – b) = b – a est également divisible par n.
- Transitivité : Si a – b est divisible par n et b – c est divisible par n, alors a – c est également divisible par n.
Exemples de classe d'équivalence
L'exemple bien connu de relation d'équivalence est la relation égale à (=). En d’autres termes, deux éléments d’un ensemble donné sont équivalents s’ils appartiennent à la même classe d’équivalence. Les relations d’équivalence peuvent être expliquées à l’aide des exemples suivants :
Relation d'équivalence sur des entiers
Relation d'équivalence : Congruence modulo 5 (a ≡ b [mod(5)] )
- Classe d'équivalence de 0 : [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
- Classe d'équivalence de 1 : [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
- Classe d'équivalence de 2 : [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
- Classe d'équivalence de 3 : [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
- Classe d'équivalence de 4 : [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}
Relation d'équivalence sur les nombres réels
Relation d'équivalence : Différence absolue (a ~ b si |a – b| <1)
- Classe d'équivalence de 0 : [0] = (-0,5, 0,5)
- Classe d'équivalence de 1 : [1] = (0,5, 1,5)
- Classe d'équivalence de 2 : [2] = (1,5, 2,5)
- Classe d'équivalence de 3 : [3] = (2,5, 3,5)
En savoir plus,
- Nombres réels
- Entiers
- Nombres rationnels
Propriétés des classes d'équivalence
Les propriétés des classes d'équivalence sont :
- Chaque élément appartient à exactement une classe d’équivalence.
- Les classes d'équivalence sont disjointes, c'est-à-dire que l'intersection de deux classes d'équivalence est un ensemble nul.
- L'union de toutes les classes d'équivalence constitue l'ensemble d'origine.
- Deux éléments sont équivalents si et seulement si leurs classes d'équivalence sont égales.
En savoir plus,
- Union d'ensembles
- Intersection d'ensembles
- Ensembles disjoints
Classes d'équivalence et partition
Les groupes d'éléments d'un ensemble liés par une relation d'équivalence, alors qu'une collection de ces classes d'équivalence, couvrant l'ensemble sans chevauchement, sont appelées partition.
Différence entre les classes d'équilavalence et la partition
Les principales différences entre les classes d'équilavalence et la partition sont indiquées dans le tableau suivant :
| Fonctionnalité | Classes d'équivalence | Partitions |
|---|---|---|
| Définition | Ensembles d'éléments considérés comme équivalents dans une relation. | Une collection de sous-ensembles non vides et disjoints par paires, tels que leur union constitue l'ensemble entier. |
| Notation | Si UN est une classe d'équivalence, elle est souvent désignée par [ un ] ou [un] R. , où un est un élément représentatif et R. est la relation d'équivalence. | Une partition d'un ensemble X est noté { B 1, B 2,…, B n }, où B je sont les sous-ensembles disjoints de la partition. |
| Relation | Les classes d'équivalence forment une partition de l'ensemble sous-jacent. | Une partition peut ou non résulter d'une relation d'équivalence. |
| Cardinalité | Les classes d'équivalence peuvent avoir des cardinalités différentes. | Tous les sous-ensembles de la partition ont la même cardinalité. |
| Exemple | Considérons l'ensemble des entiers et la relation d'équivalence ayant le même reste lorsqu'elle est divisée par 5. Les classes d'équivalence sont {…,−5,0,5,…}, {…,−5,0,5,…}, {…,−4,1,6,…} et {…,−4,1 ,6,…}, etc. | Considérons l'ensemble des entiers divisés en nombres pairs et impairs : {…,−4,−2,0,2,4,…} et {…,−3,−1,1,3,5,…}. |
| Intersection des classes | Les classes d'équivalence sont soit disjointes, soit identiques. | Les partitions sont constituées de sous-ensembles disjoints. |
Exemples résolus sur la classe d'équivalence
Exemple 1 : Montrer que la relation R est un type d'équivalence dans l'ensemble P= { 3, 4, 5,6 } donné par la relation R = (p, q) :.
Solution:
Donné: R = (p,q):. Où p, q appartient à P.
Propriété réflexive
À partir de la relation fournie |p – p| = | 0 |=0.
- Et 0 est toujours pair.
- Par conséquent, |p – p| est même.
- Par conséquent, (p, p) se rapporte à R
Donc R est réflexif.
Propriété symétrique
À partir de la relation donnée |p – q| = |q – p|.
- Nous savons que |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
- D'où |p – q| est même.
- Suivant |q – p| est également pair.
- En conséquence, si (p, q) ∈ R, alors (q, p) appartient également à R.
Donc R est symétrique.
Propriété transitive
- Si |p – q| est pair, alors (p-q) est pair.
- De même, si |q-r| est pair, alors (qr) est également pair.
- La somme des nombres pairs est trop paire.
- Nous pouvons donc l’aborder comme p – q+ q-r est pair.
- Ensuite, p – r est encore plus pair.
Par conséquent,
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- |p – q| et |q-r| est pair, alors |p – r| est même.
- Par conséquent, si (p, q) ∈ R et (q, r) ∈ R, alors (p, r) fait également référence à R.
Donc R est transitif.
Exemple 2 : Considérons A = {2, 3, 4, 5} et R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.
Solution:
Étant donné : A = {2, 3, 4, 5} et
Relation R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4 )}.
Pour que R soit une relation d'équivalence, R doit satisfaire trois propriétés, à savoir réflexive, symétrique et transitive.
Réfléchi : La relation R est réflexive car (5, 5), (2, 2), (3, 3) et (4, 4) ∈ R.
Symétrique : La relation R est symétrique comme chaque fois que (a, b) ∈ R, (b, a) se rapporte également à R c'est-à-dire (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.
Transitif : La relation R est transitive car chaque fois que (a, b) et (b, c) se rapportent à R, (a, c) se rapporte également à R c'est-à-dire (3, 5) ∈ R et (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈R.
En conséquence, R est réflexif, symétrique et transitif.
Ainsi, R est une relation d'équivalence.
Problèmes pratiques sur la classe d'équivalence
Problème 1 : aRb si a+b est pair. Déterminez s’il s’agit d’une relation d’équivalence et ses propriétés.
Problème 2 : xSy si x et y ont le même mois de naissance. Analysez s’il s’agit d’une relation d’équivalence.
Problème 3 : Considérons A = {2, 3, 4, 5} et R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3 ), (4, 2), (4, 4)}. Confirmez que R est une relation de type équivalence.
Problème 4 : Montrer que la relation R est un type d'équivalence dans l'ensemble P= { 3, 4, 5,6 } donné par la relation R = est pair .
Classe d'équivalence : FAQ
1. Qu'est-ce que la classe d'équivalence ?
Une classe d'équivalence est un sous-ensemble au sein d'un ensemble, formé en regroupant tous les éléments équivalents les uns aux autres sous une relation d'équivalence donnée. Il représente tous les membres considérés comme égaux par cette relation.
2. Quel est le symbole de la classe d'équivalence ?
Le symbole d'une classe d'équivalence s'écrit généralement sous la forme [a], où a est un élément représentatif de la classe. Cette notation désigne l'ensemble de tous les éléments équivalents à a sous une relation d'équivalence spécifique.
3. Comment trouver la classe d’équivalence d’un ensemble ?
Pour trouver la classe d'équivalence d'un ensemble, procédez comme suit :
Étape 1: Définir une relation d'équivalence.
Étape 2: Sélectionnez un élément dans l'ensemble.
Étape 3: Identifiez les éléments équivalents aux éléments sélectionnés.
Étape 4: Formez la classe d'équivalence contenant tous les éléments équivalents à l'élément sélectionné.
4. Quelle est la différence entre la classe d'équivalence et la partition ?
Les classes d'équivalence sont des sous-ensembles formés par une relation d'équivalence, tandis que les partitions sont des sous-ensembles non chevauchants couvrant l'ensemble entier. Chaque classe d'équivalence est un sous-ensemble d'une partition, mais toutes les partitions ne découlent pas d'une relation d'équivalence.
5. Qu'est-ce qu'une relation d'équivalence ?
Relation réflexive, symétrique et transitive, divisant un ensemble en sous-ensembles disjoints.