La formule du point médian est ((X ₁ +x ₂ )/2 et ₁ + et ₂ )/2). Les coordonnées des deux points sont (x₁, et₁) et (x₂, et₂) respectivement, et le point médian est un point situé à mi-chemin entre ces deux points.

Mid Point est un concept fondamental en géométrie de coordonnées. Il joue un rôle crucial dans la recherche du point médian d’un segment de ligne. Il existe des cas en géométrie de coordonnées où nous devons connaître le milieu de deux points donnés ou le milieu d'un segment de ligne. Dans ce cas, nous utilisons la formule Mid Point car c'est un moyen simple et efficace de calculer le milieu d'un segment de ligne donné, quelle que soit sa longueur ou sa position sur le plan de coordonnées.

Nous avons couvert en détail la formule du point médian, avec sa dérivation utilisant la similitude des triangles. Parallèlement, nous avons organisé les exemples résolus sur la formule Mid Point.

Définition du point médian

Le point qui divise la ligne exactement en deux moitiés égales est le milieu de la ligne. En d’autres termes, le rapport entre les deux moitiés de la ligne dans laquelle le point médian la divise est de 1 : 1.

Point médian de la ligne

Formule du point médian de la ligne

Pour un segment de droite AB en coordonnée cartésienne où la coordonnée sur l'axe x du point A est x₁et la coordonnée sur l'axe y du point A est y₁et de même, la coordonnée sur l'axe x du point B est x₂et la coordonnée sur l'axe y du point B est y_2,le milieu de la ligne sera donné par (x_m, et_m).

La formule pour le point médian (x_m, et_m) est:

Formule du point médian

Dérivation de la formule du point médian

Soit P(x₁,et₁) et Q(x₂,et₂) les deux extrémités d'une ligne donnée dans un plan de coordonnées, et R(x,y) le point sur cette ligne qui divise PQ dans le rapport m₁:m₂tel que

PR/RQ = m₁/m₂. . .(1)

Dérivation de la formule du point médian

En traçant les lignes PM, QN et RL perpendiculaires à l'axe des x et passant par R, tracez une ligne droite parallèle à l'axe des x pour rencontrer MP en S et NQ en T.

Ainsi à partir de la figure, nous pouvons dire :

SR = ML = OL – OM = x – x₁. . . (2)

alternative à mylivecricket

RT = LN = ON – Ol = x₂- X . . . (3)

PS = MS – MP = LR – MP = y – y₁. . . (4)

TQ = NQ – NT = NQ – LR = y₂- et . . . (5)

Maintenant le triangle ∆ SPR est semblable au triangle ∆TQR .

Donc,

SR/RT = PR/RQ

En utilisant les équations 2, 3 et 1, nous savons :

x – x₁/ X₂– x = m₁/m₂

⇒m₂x-m₂X₁= m₁X₂– m₁X

⇒m₁x + m₂x = m₁X₂+ m₂X₁

⇒ (m₁+ m₂)x = m₁X₂+ m₂X₁

logique de transfert de registre

⇒ x = (m₁X₂+ m₂X₁) / (m₁+ m₂)

Maintenant le triangle ∆ SPR est semblable au triangle ∆ TQR,

Donc,

PS/TQ = PR/RQ

En utilisant les équations 4, 5 et 1, nous savons :

et et₁/ et₂– y = m₁/m₂

⇒m₂y – m₂et₁= m₁et₂– m₁et

⇒m₁y + m₂y = m₁et₂+ m₂et₁

⇒ (m₁+ m₂)y = m₁et₂+ m₂et₁

⇒ y = (m₁et₂+ m₂et₁) / (m₁+ m₂)

Les coordonnées de R(x,y) sont donc :

R(x, y) = (m ₁ X ₂ + m ₂ X ₁ ) / (m ₁ + m ₂ ), (m ₁ et ₂ + m ₂ et ₁ ) / (m ₁ + m ₂ )

Comme nous avons dû calculer le point médian, nous conservons donc les valeurs de m₁et M₂comme pareil, c'est-à-dire

Pour le point médian, nous le connaissons par la définition du point médian, m₁= m₂= 1.

(x, y) = ((1.x₂+ 1.x₁) / (1 + 1), (1.a₂+ 1.a₁) / (1 + 1))

x, y = (x ₂ +x ₁ ) / 2 et ₂ + et ₁ ) / 2

Comment trouver le point médian ?

Pour trouver les coordonnées du milieu d’un segment de ligne donné, nous pouvons utiliser la formule du milieu si les extrémités du segment de ligne sont données. Considérez l'exemple suivant pour la même chose.

Exemple : Trouvez les coordonnées du milieu d'un segment de droite dont les extrémités sont (5, 6) et (-3, 4).

Solution:

Comme nous le savons, le milieu d’un segment de droite est donné par la formule :

Point médian = ((x₁+x₂)/2 et₁+o₂)/2)

où (x₁, et₁) et (x₂, et₂) sont les coordonnées des extrémités du segment de droite.

Point médian = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)

⇒ Point médian = (2/2, 10/2)

⇒ Milieu = (1, 5)

Par conséquent, les coordonnées du milieu du segment de droite sont (1, 5).

Formule associée

Il existe des formules similaires à la formule du point médian, qui sont les suivantes :

• Formule de section
• Formule centroïde

Formule de section

Formule de section est utilisé pour trouver la coordonnée du point qui divise le segment de ligne donné dans le rapport souhaité. Supposons que les extrémités d'un segment de droite soient A et B avec pour coordonnées (X ₁ , et ₁ ) et (X ₂ , et ₂ ) , et P le point qui divise le segment de droite joignant la droite AB en m:n. Alors la coordonnée de P est donnée par :

P(x, y) = [(mx ₂ + nx ₁ )/(m+n) , (mon ₂ + le ₁ )/(m+n)]

Formule centroïde

La formule centroïde est utilisée pour trouver le point central des polygones et mathématiquement pour les triangles et les quadrilatères, elle est donnée comme suit :

Centre de gravité d'une formule triangulaire

Les coordonnées du centre de gravité d'un triangle de sommets (x₁, et₁), (X₂, et₂), et (x₃, et₃) sont:

C(x, y) = ((x ₁ +x ₂ +x ₃ )/3, (et ₁ + et ₂ + et ₃ )/3)

Centre de gravité du triangle

Centre de gravité d'une formule quadrilatère

Les coordonnées du centre de gravité d'un quadrilatère de sommets (x₁, et₁), (X₂, et₂), (X₃, et₃), et (x₄, et₄) sont:

C(x, y) = ((x ₁ +x ₂ +x ₃ +x ₄ )/4, (et ₁ + et ₂ + et ₃ + et ₄ )/4)

Centre de gravité du quadrilatère

Questions résolues sur la formule à mi-parcours

Question 1 : Quel est le milieu du segment de droite AB où le point A est en (6,8) et le point B est (3,1) ?

kajal aggarwal

Solution:

Soit le milieu M(x_m, et_m),

X_m= (x₁+x₂) / 2

X₁= 6,x₂= 3

Ainsi, x_m= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5

et_m= (et₁+ et₂) / 2

et₁= 8, et₂= 1

Ainsi, y_m= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5

Le milieu de la droite AB est donc (4.5, 4.5).

Question 2 : Quel est le milieu du segment de droite AB où le point A est à (-6,4) et le point B est à (4,2) ?

Solution:

dhanashree verma

Soit le milieu M(x_m, et_m),

X₁= -6,x₂= 4, et₁= 4, et₂= 2

(X_m, et_m) = ((x₁+x₂) / 2 et₁+ et₂) / 2)

(X_m, et_m) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)

(X_m, et_m) = ((-2)/2, (6)/2)

(X_m, et_m) = (-1, 3)

Le milieu de la droite AB est donc (-1, 3).

Question 3 : Trouvez la valeur de p pour que (–2, 2,5) soit le point médian entre (p, 2) et (–1, 3).

Solution:

Soit le milieu M(x_m, et_m) = (-2, 2,5) où,

X₁= -1,x_m= -2

La coordonnée y du point final est déjà connue sous le nom de 2, nous devons donc trouver uniquement la coordonnée x

X_m= (x₁+x₂) / 2

-2 = (-1 + p) / 2

-4 = -1 + p

p = -3

Par conséquent, l’autre extrémité de la ligne est (-3, 2).

Question 4 : Si les coordonnées des extrémités d'un segment de droite sont (3, 4) et (7, 8), trouvez la distance entre le milieu du segment de droite et le point (3, 4).

Solution:

multiplexage

Soit A(3, 4) et B(7, 8) les extrémités du segment de droite donné, et C est le milieu du segment de droite AB.

Ensuite, en utilisant la formule du point médian,

Coordonnée de C = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)

Utiliser la formule de distance

Distance = √{(x₂- X₁)²+ (et₂- et₁)²}

⇒ Distance = √{(3 – 5)²+ (4 – 6)²}

⇒ Distance =√{(-2)²+ (-2)²}

⇒ Distance =√8 = 2√2

Par conséquent, la distance entre le milieu du segment de droite et le point (3, 4) est 2√2.

Formule de point médian – FAQ

Qu’est-ce que la formule du point médian ?

Mathématiquement, la formule du point médian est donnée comme suit :

Point médian = ((x ₁ +x ₂ )/2 et ₁ + et ₂ )/2)

Quelle est la signification de la formule du point médian ?

La formule du point médian est importante car elle nous permet de trouver le point central de n'importe quel segment de ligne sur un système de coordonnées cartésiennes.

Quelles sont les applications de la formule du point médian ?

Il existe de nombreux cas d'utilisation de la formule du point médian, car en géométrie, nous pouvons l'utiliser pour les solutions et les propriétés de triangles, de polygones et d'autres formes. En physique, elle s'applique également à la recherche du centre de masse.

La formule du point médian peut-elle être utilisée pour trois points ou plus ?

Non, la formule du point médian ne peut pas être utilisée pour trois points car le point médian n'est défini que pour deux points. Pour trois points, nous pouvons utiliser la formule du centroïde si nous voulons trouver la coordonnée du centroïde du triangle formé par les trois points donnés.

Combien de points médians possède un segment ?

Un segment n'a qu'un seul point médian.