La dimension Vapnik-Chervonenkis (VC) est une mesure de la capacité d'un ensemble d'hypothèses à s'adapter à différents ensembles de données. Il a été introduit par Vladimir Vapnik et Alexey Chervonenkis dans les années 1970 et est devenu un concept fondamental dans la théorie de l’apprentissage statistique. La dimension VC est une mesure de la complexité d'un modèle, ce qui peut nous aider à comprendre dans quelle mesure il peut s'adapter à différents ensembles de données.
La dimension VC d'un ensemble d'hypothèses H est le plus grand nombre de points pouvant être brisés par H. Un ensemble d'hypothèses H brise un ensemble de points S si, pour chaque étiquetage possible des points dans S, il existe une hypothèse dans H qui classe correctement les points. En d’autres termes, un ensemble d’hypothèses détruit un ensemble de points s’il peut correspondre à n’importe quel étiquetage possible de ces points.
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Limites de VC – Dimension
La dimension VC fournit à la fois des limites supérieures et inférieures sur le nombre d'exemples de formation requis pour atteindre un niveau de précision donné. La limite supérieure du nombre d'exemples de formation est logarithmique dans la dimension VC, tandis que la limite inférieure est linéaire.
Applications du VC – Dimension
La dimension VC a un large éventail d’applications dans apprentissage automatique et les statistiques. Par exemple, il est utilisé pour analyser la complexité des réseaux de neurones, des machines à vecteurs de support et des arbres de décision. La dimension VC peut également être utilisée pour concevoir de nouveaux algorithmes d’apprentissage robustes au bruit et capables de bien se généraliser à des données invisibles.
La dimension VC peut être étendue à des scénarios d'apprentissage plus complexes, tels que la classification multiclasse et la régression. Le concept de dimension VC peut également être appliqué à d'autres domaines de l'informatique, tels que la géométrie computationnelle et la théorie des graphes.
Implémentation du code pour VC – Dimension
La dimension VC est un concept théorique qui ne peut être directement calculé à partir de données. Cependant, nous pouvons estimer la dimension VC pour un ensemble d’hypothèses donné en comptant le nombre de points qui peuvent être brisés par l’ensemble. En Python, nous pouvons implémenter une fonction qui calcule la dimension VC d'un ensemble d'hypothèses donné en utilisant cette approche.
La fonction prend un ensemble d'hypothèses en entrée et calcule la dimension VC en utilisant l'approche par force brute consistant à vérifier toutes les combinaisons possibles de points et d'étiquettes. Il utilise le module itertools pour générer toutes les combinaisons possibles de points et d'étiquettes, puis vérifie si l'ensemble d'hypothèses peut briser chaque combinaison. La fonction renvoie la dimension VC estimée de l'ensemble d'hypothèses.
Illustrons l'utilisation de cette fonction avec quelques exemples :
Exemple 1:
Supposons que nous ayons un ensemble d'hypothèses composé de toutes les fonctions linéaires de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels. Nous pouvons définir cette hypothèse définie en Python comme suit :
Python
import> itertools> > > def> vc_dimension(hypothesis_set):> >'''> >Estimates the VC dimension of a hypothesis set using the brute-force approach.> >'''> >n>=> 4> >while> True>:> >points>=> [(i, j)>for> i>in> range>(n)>for> j>in> range>(>2>)]> >shattered_sets>=> 0> >for> combination>in> itertools.combinations(points, n):> >is_shattered>=> True> >for> labeling>in> itertools.product([>0>,>1>], repeat>=>n):> >hypotheses>=> [hypothesis_set(point)>for> point>in> combination]> >if> set>(hypotheses) !>=> set>(labeling):> >is_shattered>=> False> >break> >if> is_shattered:> >shattered_sets>+>=> 1> >else>:> >break> >if> not> is_shattered:> >break> >n>+>=> 1> >return> n>->1> if> shattered_sets>=>=> 2>*>*>n>else> n>->2> > > # Example 1: linear function hypothesis set> def> linear_function(point):> >x, y>=> point> >return> int>(y>>=> x)> > > print>(vc_dimension(linear_function))> |
>
>
Sortir:
2>
Dans l'exemple 1, la fonction Linear_function implémente un ensemble d'hypothèses de fonction linéaire simple qui renvoie 1 si la coordonnée y du point d'entrée est supérieure ou égale à la coordonnée x, et 0 sinon. La fonction vc_dimension est ensuite utilisée pour estimer la dimension VC de cet ensemble d'hypothèses, qui est 2.
Exemple 2 :
Supposons que nous ayons un ensemble d'hypothèses composé de toutes les fonctions quadratiques de forme f(x) = ax2+ bx + c, où a, b et c sont des nombres réels. Nous pouvons définir cela hypothèse défini en Python comme suit :
Python
classe abstraite en Java
import> itertools> > > def> vc_dimension(hypothesis_set):> >'''> >Estimates the VC dimension of a hypothesis set using the brute-force approach.> >'''> >n>=> 5> >while> True>:> >points>=> [(i, j)>for> i>in> range>(n)>for> j>in> range>(>2>)]> >shattered_sets>=> 0> >for> combination>in> itertools.combinations(points, n):> >is_shattered>=> True> >for> labeling>in> itertools.product([>0>,>1>], repeat>=>n):> >hypotheses>=> [hypothesis_set(point)>for> point>in> combination]> >if> set>(hypotheses) !>=> set>(labeling):> >is_shattered>=> False> >break> >if> is_shattered:> >shattered_sets>+>=> 1> >else>:> >break> >if> not> is_shattered:> >break> >n>+>=> 1> >return> n>->1> if> shattered_sets>=>=> 2>*>*>n>else> n>->2> > > # Example 2: quadratic function hypothesis set> def> quadratic_function(point):> >x, y>=> point> >return> int>(y>>=> x>*>*>2>)> > > print>(vc_dimension(quadratic_function))> |
>
>
Sortir:
3>
Dans l'exemple 2, la fonction quadratic_function implémente un ensemble d'hypothèses de fonction quadratique plus complexe qui renvoie 1 si la coordonnée y du point d'entrée est supérieure ou égale au carré de la coordonnée x, et 0 sinon. La fonction vc_dimension est ensuite utilisée pour estimer la dimension VC de cet ensemble d'hypothèses, qui est 3.
Conclusion
La dimension VC est un concept fondamental de la théorie de l'apprentissage statistique qui mesure la complexité d'un ensemble d'hypothèses. Il fournit des limites supérieures et inférieures sur le nombre d'exemples de formation requis pour atteindre un niveau de précision donné. En Python, nous pouvons estimer la dimension VC d'un ensemble d'hypothèses donné en utilisant une approche par force brute qui vérifie toutes les combinaisons possibles de points et d'étiquettes. La dimension VC a un large éventail d’applications en apprentissage automatique et en statistiques et peut être étendue à des scénarios d’apprentissage plus complexes.