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Nombres premiers

Que sont les nombres premiers ?

UN nombre premier est défini comme un nombre naturel supérieur à 1 et est divisible par seulement 1 et lui-même.

En d’autres termes, le nombre premier est un entier positif supérieur à 1 qui a exactement deux facteurs, 1 et le nombre lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 . . .



Note: 1 n’est ni premier ni composite. Les nombres restants, à l'exception de 1, sont classés comme nombres premiers et composés.

nombres premiers

Quelques faits intéressants sur les nombres premiers :

  • Sauf 2, qui est le plus petit nombre premier et le seul nombre premier pair, tous les nombres premiers sont des nombres impairs.
  • Tout nombre premier peut être représenté sous la forme 6n + 1 ou 6n – 1 sauf les nombres premiers 2 et 3 , où n est n'importe quel nombre naturel.
  • 2 et 3 ne sont que deux nombres naturels consécutifs premiers.
  • Conjecture de Goldbach : Tout entier pair supérieur à 2 peut être exprimé comme la somme de deux nombres premiers.
  • Théorème de Wilson : Le théorème de Wilson stipule qu’un nombre naturel p> 1 est un nombre premier si et seulement si

(p-1) ! ≡ -1 contre p
OU,
(p-1) ! ≡ (p-1)mod p



unn-1≡ 1 (mod n)
OU,
unn-1% n = 1

  • Théorème des nombres premiers : La probabilité qu'un nombre n donné choisi au hasard soit premier est inversement proportionnelle à son nombre de chiffres, ou au logarithme de n.
  • La conjecture de Lemoine : Tout entier impair supérieur à 5 peut être exprimé comme la somme d'un nombre premier impair (tous les nombres premiers autres que 2 sont impairs) et d'un nombre premier pair. Un nombre semi-premier est le produit de deux nombres premiers. C’est ce qu’on appelle la conjecture de Lemoine.

Propriétés des nombres premiers :

  • Tout nombre supérieur à 1 peut être divisé par au moins un nombre premier.
  • Tout entier pair positif supérieur à 2 peut être exprimé comme la somme de deux nombres premiers.
  • Sauf 2, tous les autres nombres premiers sont impairs. En d’autres termes, on peut dire que 2 est le seul nombre premier pair.
  • Deux nombres premiers sont toujours premiers entre eux.
  • Chaque nombre composé peut être pris en compte en facteurs premiers et, individuellement, tous sont de nature unique.

Nombres premiers et nombres co-premiers :

Il est important de faire la distinction entre nombres premiers et nombres premiers entre eux . Vous trouverez ci-dessous les différences entre les nombres premiers et co-premiers.

  • Les nombres premiers sont toujours considérés comme une paire, alors qu'un nombre premier est un nombre unique.
  • Les nombres co-premiers sont des nombres qui n'ont pas de facteur commun sauf 1. En revanche, les nombres premiers n'ont pas une telle condition.
  • Un nombre copremier peut être premier ou composé, mais son plus grand facteur commun (GCF) doit toujours être 1. Contrairement aux nombres composés, les nombres premiers n'ont que deux facteurs, 1 et le nombre lui-même.
  • Exemple de co-prime : 13 et 15 sont co-primes. Les facteurs de 13 sont 1 et 13 et les facteurs de 15 sont 1, 3 et 5. Nous pouvons voir qu'ils n'ont que 1 comme facteur commun, ce sont donc des nombres premiers entre eux.
  • Exemple de premier : Quelques exemples de nombres premiers sont 2, 3, 5, 7 et 11, etc.

Comment vérifier si un numéro est Prime ou non ?

Approche naïve : L'approche naïve consiste à



Itérer de 2 à (n-1) et vérifier si un nombre dans cette plage divise n . Si le nombre divise n , alors ce n'est pas un nombre premier.

Complexité temporelle : SUR)
Espace auxiliaire : O(1)

Approche naïve (récursive) : La récursivité peut également être utilisée pour vérifier si un nombre compris entre 2 à n – 1 divise n. Si nous trouvons un nombre qui divise, nous renvoyons faux.

Vous trouverez ci-dessous la mise en œuvre de l’idée ci-dessus :

C++




// C++ program to check whether a number> // is prime or not using recursion> #include> using> namespace> std;> > // function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> {> >static> int> i = 2;> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)> >return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> }> > // Driver Code> int> main()> {> > >isPrime(35) ? cout <<>' true '> : cout <<>' false '>;> >return> 0;> }> > // This code is contributed by yashbeersingh42> 

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Java




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Python3




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C#




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Javascript




> >// JavaScript program to check whether a number> >// is prime or not using recursion> > >// function check whether a number> >// is prime or not> >var> i = 2;> > >function> isPrime(n) {> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)>return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> >}> > >// Driver Code> > >isPrime(35) ? document.write(>' true '>) : document.write(>' false '>);> > >// This code is contributed by rdtank.> >>

chaîne dans un tableau en c 

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Complexité temporelle : SUR)
Espace auxiliaire : O(N) si l'on considère la pile de récursivité. Sinon, c'est O(1).

Approche efficace : Une solution efficace consiste à :

Parcourez tous les nombres de 2 à la racine carrée de n et pour chaque nombre, vérifiez s'il divise n [car si un nombre est exprimé comme n = xy et l'un des x ou y est supérieur à la racine de n, l'autre doit être inférieur à la valeur racine]. Si nous trouvons un nombre qui divise, nous renvoyons faux.

Ci-dessous la mise en œuvre :

C++14




// A school method based C++ program to> // check if a number is prime> #include> using> namespace> std;> > // Function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> {> >// Corner case> >if> (n <= 1)> >return> false>;> > >// Check from 2 to square root of n> >for> (>int> i = 2; i <=>sqrt>(n); i++)> >if> (n % i == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> }> > // Driver Code> int> main()> {> >isPrime(11) ? cout <<>'true '> : cout <<>'false '>;> >return> 0;> }> 

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Java




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Python3




# A school method based Python3 program> # to check if a number is prime> > > # import sqrt from math module> from> math>import> sqrt> > > > # Function check whether a number> # is prime or not> def> isPrime(n):> > ># Corner case> >if> (n <>=> 1>):> >return> False> > ># Check from 2 to sqrt(n)> >for> i>in> range>(>2>,>int>(sqrt(n))>+>1>):> >if> (n>%> i>=>=> 0>):> >return> False> > >return> True> > > # Driver Code> if> __name__>=>=> '__main__'>:> >if> isPrime(>11>):> >print>(>'true'>)> >else>:> >print>(>'false'>)> > # This code is contributed by Sachin Bisht> 

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C#




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Javascript

faire pendant que java




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PHP




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Complexité temporelle : O(sqrt(n))
Espace auxiliaire : O(1)

Une autre approche efficace : Pour vérifier si le nombre est premier ou non, suivez l'idée ci-dessous :

Nous traiterons de quelques nombres tels que 1, 2, 3 et des nombres divisibles par 2 et 3 dans des cas distincts et pour les nombres restants. Itérer de 5 à sqrt(n) et vérifier pour chaque itération si (cette valeur) ou (cette valeur + 2) divise n ou non et incrémenter la valeur de 6 [car tout nombre premier peut être exprimé comme 6n+1 ou 6n-1 ]. Si nous trouvons un nombre qui divise, nous renvoyons faux.

Vous trouverez ci-dessous la mise en œuvre de l'idée ci-dessus :

C++




// A school method based C++ program to> // check if a number is prime> #include> using> namespace> std;> > // Function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> > > // Driver Code> int> main()> {> >isPrime(11) ? cout <<>'true '> : cout <<>'false '>;> >return> 0;> }> // This code is contributed by Suruchi kumari> 

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C




// A school method based C program to> // check if a number is prime> #include> #include> > // Function check whether a number> // is prime or not> int> isPrime(>int> n)> n % 3 == 0)> >return> 0;> >// Check from 5 to square root of n> >// Iterate i by (i+6)> >for> (>int> i = 5; i * i <= n; i = i + 6)> >if> (n % i == 0> > // Driver Code> int> main()> {> >if> (isPrime(11) == 1)> >printf>(>'true '>);> >else> >printf>(>'false '>);> >return> 0;> }> // This code is contributed by Suruchi Kumari> 

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Java




// Java program to check whether a number> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> > class> GFG {> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> boolean> isPrime(>int> n)> >> >if> (n <=>1>)> >return> false>;> > >// Check if n=2 or n=3> >if> (n ==>2> > > >// Driver Code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(>11>)) {> >System.out.println(>'true'>);> >}> >else> {> >System.out.println(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by Sayan Chatterjee> 

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Python3




import> math> > def> is_prime(n:>int>)>->>>bool>:> > ># Check if n=1 or n=0> >if> n <>=> 1>:> >return> 'false'> > ># Check if n=2 or n=3> >if> n>=>=> 2> or> n>=>=> 3>:> >return> 'true'> > ># Check whether n is divisible by 2 or 3> >if> n>%> 2> =>=> 0> or> n>%> 3> =>=> 0>:> >return> 'false'> > ># Check from 5 to square root of n> ># Iterate i by (i+6)> >for> i>in> range>(>5>,>int>(math.sqrt(n))>+>1>,>6>):> >if> n>%> i>=>=> 0> or> n>%> (i>+> 2>)>=>=> 0>:> >return> 'false'> > >return> 'true'> > if> __name__>=>=> '__main__'>:> >print>(is_prime(>11>))> 

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C#


pointeur en c



// C# program to check whether a number> using> System;> class> GFG {> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> bool> isPrime(>int> n)> >> > >// Driver Code> >public> static> void> Main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(11)) {> >Console.WriteLine(>'true'>);> >}> >else> {> >Console.WriteLine(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by Abhijeet> // Kumar(abhijeet_19403)> 

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Javascript




// A school method based JS program to> // check if a number is prime> > > // Function check whether a number> // is prime or not> function> isPrime(n)> n % (i + 2) == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> > > // Driver Code> isPrime(11) ? console.log(>'true'>) : console.log(>'false'>);> > > // This code is contributed by phasing17> 

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Complexité temporelle : O(sqrt(n))
Espace auxiliaire : O(1)

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