Les lignes perpendiculaire en mathématiques, ce sont des paires de lignes qui se coupent toujours à angle droit, c'est-à-dire que les lignes perpendiculaires sont toujours des lignes sécantes qui se coupent à 90°. Les lignes perpendiculaires sont facilement visibles par nous, les coins des murs, les coins du bureau et autres représentent la ligne parallèle. Pour les droites perpendiculaires, on dit qu’elles se coupent à angle droit. La distance la plus courte entre deux lignes est donnée en utilisant la distance perpendiculaire entre elles, c'est-à-dire que la ligne perpendiculaire entre deux points donne la distance la plus courte entre eux.

Dans cet article, nous découvrirons en détail les lignes perpendiculaires, leurs propriétés et autres.

Table des matières

• Que sont les lignes perpendiculaires ?
• Propriétés des lignes perpendiculaires
• Pente des lignes perpendiculaires
• Formule des lignes perpendiculaires
• Comment tracer des lignes perpendiculaires ?
• Équation de ligne perpendiculaire

Qu’est-ce que perpendiculaire?

La perpendiculaire est définie comme une ligne qui forme un angle droit avec une autre ligne. En d’autres termes, une ligne perpendiculaire désigne les lignes qui forment un angle de 90 degrés. La distance la plus courte entre le point et la ligne est la ligne perpendiculaire qui les sépare. Une perpendiculaire fait 90 degrés avec l’autre droite. Les lignes AB et PQ, comme indiqué dans l'image ci-dessous, sont perpendiculaires l'une à l'autre car elles se coupent à 90 degrés.

Les lignes AB et CD ajoutées dans l'image ci-dessous montrent deux lignes perpendiculaires.

Que sont les lignes perpendiculaires ?

Les lignes perpendiculaires désignent les lignes qui se coupent à un angle égal à 90 degrés, c'est-à-dire que si deux lignes se rencontrent à angle droit, elles sont appelées lignes perpendiculaires. Prenons la figure ajoutée ci-dessous ici, la ligne l et la ligne m se coupent au point O et l'angle qu'elles forment est de 90 degrés.

Ainsi, on peut dire que l est une ligne perpendiculaire à la ligne m ou que la ligne m est perpendiculaire à la ligne l. Nous représentons cette condition comme suit : l ⊥ m. Or, toute droite parallèle à la droite l est perpendiculaire à la droite m. La distance la plus courte entre le point et la ligne est toujours la distance perpendiculaire qui les sépare.

Note: Toutes les lignes sécantes ne sont pas des lignes perpendiculaires, mais toutes les lignes perpendiculaires sont des lignes sécantes.

Signe perpendiculaire

Les lignes perpendiculaires sont représentées à l’aide du symbole « ⊥ ». Si les lignes l et m sont perpendiculaires l’une à l’autre, c’est-à-dire qu’elles se coupent à 90 degrés, alors elles sont appelées lignes perpendiculaires et elles sont représentées par l ⊥ m. Le point d’intersection s’appelle le pied de la perpendiculaire.

Formes perpendiculaires

Des formes prépendiculaires peuvent être vues autour de nous dans notre vie quotidienne. Les formes perpendiculaires sont les formes dans lesquelles au moins un angle est de 90°. Différentes formes qui ont des lignes perpendiculaires (formes perpendiculaires) sont :

• Carré
• Rectangle
• Triangle rectangle

Propriétés des lignes perpendiculaires

Deux lignes qui se coupent à un angle de 90 degrés sont appelées lignes perpendiculaires. Les lignes perpendiculaires ont des propriétés différentes de celles des lignes qui se croisent et les propriétés générales des lignes qui se croisent sont :

• Les lignes perpendiculaires sont les lignes qui se coupent toujours à angle droit.
• Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont toujours parallèles entre elles.

Pente des lignes perpendiculaires

La pente de toute ligne est la tangente de l'angle formé par la ligne avec l'axe des x positif et la pente dans le cas des lignes perpendiculaires a une relation particulière entre elles.

Supposons que nous ayons deux droites PQ et RS perpendiculaires l’une à l’autre. Maintenant, la pente de la droite PQ est disons m₁et la pente de la droite RS est disons m₂, alors le produit des pentes est égal à -1. La déclaration pour la même chose est,

Déclaration: Deux droites sont perpendiculaires entre elles si le produit de leur pente est -1.

Cela peut être représenté comme,

m ₁ .m ₂ = -1

Formule des lignes perpendiculaires

Les deux formules de base de ligne perpendiculaire sont discutées ci-dessous,

Déclaration 1 : Le produit de la pente d'une ligne perpendiculaire par la pente de la ligne d'origine est toujours -1 .

Preuve:

Permet à la ligne d'origine de former un angle de θ avec l'axe X.

Ensuite, la droite perpendiculaire à la droite fera un angle de θ + 90° ou θ – 90° avec l'axe X.

Maintenant, la pente de la droite originale est égale à tan θ

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La pente de la droite perpendiculaire est égale à tan (θ + 90^Ô) ou beige (θ – 90^Ô)

bronzage (θ + 90 ^Ô ) = bronzage (θ – 90 ^Ô ) = -lit je

Ainsi, la pente de la droite perpendiculaire est -cot θ

Maintenant,

Produit des pentes = tan θ × (-cot θ) = -1

Donc prouvé

Déclaration 2 : Si l'équation d'une droite est hache + par + c = 0

Alors l’équation d’une droite perpendiculaire à la droite donnée est :

– bx + ay + d = 0

où, c et d sont des valeurs constantes

Preuve:

L'équation de la droite est ax + by + c = 0

La pente de la ligne est -un B

Soit la pente de la droite perpendiculaire est m

On sait que le produit de la pente de deux droites perpendiculaires est -1

m × (-a / b) = – 1

m = b / une

Or, si la droite perpendiculaire passe par un point (x₁, et₁), alors l'équation de la droite perpendiculaire est,

(et et₁) / (x – x₁) = b / une

et et₁= (b / une) × (x – x₁)

est – est₁= bx – bx₁

– bx + est + (bx₁- est₁) = 0 {soit bx₁- est₁=d}

Ainsi, l'équation requise de la droite est,

– bx + ay + d = 0

Comment tracer des lignes perpendiculaires ?

Nous pouvons facilement construire la paire de droites perpendiculaires, en utilisant le rapporteur et la boussole.

Dessiner des lignes perpendiculaires à l'aide du rapporteur

Pour tracer une paire de lignes perpendiculaires, suivez les étapes décrites ci-dessous,

Étape 1: Tracez d’abord une ligne horizontale AB sur le papier à l’aide d’une règle.

Étape 2: Marquez n'importe quel point P sur la ligne AB à partir duquel nous devons tracer la ligne perpendiculaire.

Étape 3: Placez le protecteur sur la ligne et faites correspondre le point médian du protecteur avec le point P sur la ligne.

Étape 4: Marquez l'angle de 90 degrés à l'aide du protecteur.

Étape 5 : Joignez la ligne à l'aide de n'importe quelle règle avec un angle de 90 degrés pour obtenir une paire de lignes perpendiculaires.

Dessiner une ligne perpendiculaire à l'aide d'une boussole

Voici les étapes pour tracer des lignes perpendiculaires à l’aide d’un compas

Étape 1: Tracez une ligne sur le papier à l'aide d'une règle

Étape 2: Prenez un point sur la ligne et placez-y l'aiguille de la boussole.

Étape 3: Tracez un arc (un demi-cercle) d'un côté de la ligne.

Étape 4: Sans changer le rayon de la boussole, placez maintenant l'aiguille sur une extrémité du diamètre du demi-cercle.

Étape 5 : Trisectez l'arc semi-circulaire en le coupant deux fois. La première coupe marque 60° et la deuxième coupe marque 120°

Étape 6 : Il y a une différence de 60° entre la première et la deuxième coupe. Coupez cet espace en deux à l'aide de la boussole sans changer son rayon.

Étape 7 : Joignez maintenant le point de bissection de 60 et 120 avec le point supposé initialement dessiner l'arc de demi-cercle.

Étape 8 : La ligne ainsi tracée est perpendiculaire à la ligne initiale.

Exemples de lignes perpendiculaires

Les lignes perpendiculaires sont les lignes qui se rencontrent toujours à 90 degrés. Nous voyons divers exemples de lignes parallèles dans la vie réelle, certains d'entre eux sont :

• Les coins des pièces sont perpendiculaires les uns aux autres.
• Les aiguilles de l'horloge représentent des lignes perpendiculaires à 3 heures.
• Les coins de la table et du bureau représentent les lignes perpendiculaires.

Lignes perpendiculaires et parallèles

Les lignes perpendiculaires sont les lignes qui font un angle de 90 ° les unes avec les autres, tandis que les lignes parallèles sont les lignes parallèles les unes aux autres, c'est-à-dire qu'elles sont équidistantes les unes des autres et ne se coupent jamais.

Note: Les lignes parallèles se rencontrent à Infinity .

Pente des lignes parallèles et perpendiculaires

Les pentes des lignes parallèles sont égales alors que le produit de la pente des lignes perpendiculaires est -1.

Équations de lignes parallèles et perpendiculaires

Si deux droites sont parallèles alors leur équation de droites est :

• hache + par + c = 0 et hache + par + d = 0

Alors que l'équation de deux perpendiculaires est,

• hache + par + c = 0, et -bx + hache + d = 0

Que sont les lignes parallèles ?

Les lignes parallèles en géométrie sont définies comme les lignes qui ne se rencontrent pas dans le plan 2D, c'est-à-dire qu'elles ne se coupent jamais dans le plan 2D. La distance entre les deux lignes parallèles est toujours constante. L'image ajoutée ci-dessous montre deux paires de lignes parallèles.

Les lignes a, b, x et y sont parallèles entre elles.

Différence entre les lignes parallèles et les lignes perpendiculaires

Lignes parallèles vs lignes perpendiculaires sont discutés dans le tableau ci-dessous.

Équation de ligne perpendiculaire

Le standard équation d'une droite est hache + par + c = 0 et la ligne perpendiculaire à la ligne donnée est donnée en utilisant,

-bx + ay + d = 0

où, d est la valeur constante et sa valeur est trouvée en utilisant l'autre condition donnée.

Pente de ligne perpendiculaire

Supposons que l'on nous donne une droite dont l'équation est de la forme y = mx + c et que sa pente est m, alors la pente de la droite perpendiculaire à la droite donnée est,

Pente de la ligne perpendiculaire = -1/m

Maintenant, si la pente de deux droites est m₁et M₂alors la relation entre ces deux pentes est, m ₁ m ₂ = -1

En savoir plus,

• Lignes parallèles
• Lignes transversales
• Propriétés des lignes parallèles

Exemples de lignes perpendiculaires

Exemple 1 : Les droites 3x + 2y + 5 = 0 et 2x – 3y + 8 = 0 sont-elles perpendiculaires ?

Solution:

La pente de la droite axe + by + c = 0 est -a/b

• La pente de la droite 3x + 2y + 5 = 0 est m₁= – 3 / 2.
• La pente de la droite 2x – 3y + 8 = 0 est m₂= -2 / (-3) = 2 / 3

Nous savons que les droites sont perpendiculaires si leurs pentes remplissent la condition.

m₁×m₂= -1

Maintenant, à partir de la condition ci-dessus,

= (- 3 / 2) × (2 / 3)

= -1

Le produit des pentes est -1 et donc les droites sont perpendiculaires.

Exemple 2 : Trouver la droite perpendiculaire à la droite x + 2y + 5 = 0 et passer par le point (2, 5).

Solution:

Nous savons que l'équation d'une droite perpendiculaire à la droite ax + by + c = 0 est – bx + ay + d = 0.

L'équation de la droite donnée est x + 2y + 5 = 0

En comparant la droite x + 2y + 5 = 0 avec ax + by + c = 0 nous obtenons,

• une = 1
• b = 2
• c = 5

Ainsi, l’équation de toute droite perpendiculaire à cette droite est – 2x + y + d = 0…(je)

Étant donné que cette droite passe par (2, 5),

Mettant ainsi (2, 5) dans cette équation de la droite perpendiculaire

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

En substituant la valeur de d dans eq(i), nous obtenons

-2x + y + (-1) = 0

Ainsi, l’équation de la droite perpendiculaire est -2x + y – 1 = 0

Exemple 3 : Trouvez la pente de la droite perpendiculaire à la droite 3x + 9y + 7 = 0.

Solution:

Donné,

L'équation de la droite est 3x + 9y + 7 = 0

Pente de cette droite = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Soit la pente de in perpendiculaire à la ligne ci-dessus est m

Maintenant, en utilisant la formule de la ligne perpendiculaire

m × (- 1 / 3) = – 1

⇒ m = 3

Ainsi, la pente de la droite perpendiculaire à la droite donnée est 3.

Exemple 4 : Trouvez l'angle d'une droite perpendiculaire à la droite x + y + 3 = 0.

Solution:

Ligne donnée,

x + y + 3 = 0

Pente d'une ligne donnée = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Supposons que la pente de la ligne perpendiculaire à la ligne ci-dessus soit m

À partir de la formule de la ligne perpendiculaire,

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

L'angle de la ligne perpendiculaire à la ligne donnée est θ, alors

m = bronzage θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = bronzage^-1(1) = 45°

Par conséquent, l’angle que fait la perpendiculaire avec l’axe X est 45°.

Problèmes de pratique perpendiculaire

T1. Trouver l'angle d'une ligne perpendiculaire à la ligne 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Si une droite passe par les points (11, –4) et (–1, 8) et qu'une autre droite passe par les points (8, 3) et (–1, -3). Vérifiez si ces lignes sont parallèles ou perpendiculaires.

Q3. Trouvez l’équation de la droite perpendiculaire à 5x − 7y = 5 et passant par le point (-1, 8).

Q4. Trouvez l'équation de la droite passant par (2, 3) et perpendiculaire à l'axe des x.

Lignes perpendiculaires – FAQ

Que sont les lignes perpendiculaires ?

Si deux lignes qui se coupent se coupent à angle droit, c'est-à-dire à 90 degrés, alors ces deux lignes sont appelées lignes perpendiculaires.

Que sont les lignes parallèles et perpendiculaires ?

Les lignes parallèles sont les lignes qui ne se rencontrent pas dans le plan 2D. La distance entre deux lignes parallèles est toujours constante. Alors que si deux lignes se rencontrent à 90 degrés, ces lignes sont appelées lignes perpendiculaires.

Les lignes qui se croisent sont-elles toujours perpendiculaires ?

Non, toutes les lignes qui se croisent ne sont pas toujours perpendiculaires, elles peuvent ou non être perpendiculaires. Les lignes qui se croisent peuvent se rencontrer sous différents angles.

Quelle est la condition de la pente des lignes perpendiculaires ?

Supposons que la pente de deux droites soit m₁et M₂alors la condition des pentes de deux droites perpendiculaires est, m ₁ .m ₂ = -1

Combien de lignes perpendiculaires peuvent être tracées sur une ligne ?

Nous pouvons tracer n’importe quel nombre de lignes perpendiculaires à une ligne, c’est-à-dire que nous pouvons avoir une infinité de lignes perpendiculaires à n’importe quelle ligne.

Quand deux lignes sont-elles perpendiculaires ?

Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent à 90°, c'est-à-dire que les droites perpendiculaires se coupent toujours à angle droit.

Qu'est-ce qu'un triangle perpendiculaire ?

Un triangle qui a un angle égal à 90° est appelé triangle perpendiculaire. On l'appelle aussi le triangle rectangle.

Quelles sont les formes perpendiculaires ?

Certaines formes appelées formes pependiculaires sont des formes qui contiennent au moins une perpendiculaire. Divers exemples de formes perpendiculaires sont le carré, le rectangle, le triangle rectangle.

Que sont les angles perpendiculaires ?

Les angles égaux à 90° sont appelés angles perpendiculaires. L'autre nom des angles perpendiculaires est Angles Droits.

Qu'est-ce que le symbole perpendiculaire ?

Le symbole ou le signe qui représente la perpendiculaire est : ⟂. Nous utilisons ce symbole pour montrer si deux lignes sont perpendiculaires. Par exemple, s'il s'écrit A⟂B, où A et B sont deux lignes, alors la ligne A est perpendiculaire à la ligne B et vice-versa.

Comment identifier les lignes perpendiculaires ?

Si l'angle entre deux lignes est de 90°. On peut alors dire que ces deux droites sont perpendiculaires. Si la pente des deux droites est donnée par m₁, m₂nous utilisons ensuite la formule des lignes perpendiculaires pour déterminer si elles sont perpendiculaires ou non. La formule de la ligne perpendiculaire est m₁.m₂= -1

Comment trouver la pente des lignes perpendiculaires ?

La pente des lignes perpendiculaires peut être facilement calculée à l'aide de la formule de pente. Supposons que l’on nous donne une droite, que nous la convertissons d’abord sous la forme standard, puis que nous utilisons la formule de pente pour trouver la pente. La formule de pente est m = -b/a, où a est le coefficient de x et b est le coefficient de y.