Le Triangle de Pascal est un motif numérique disposé sous une forme triangulaire. Ce triangle fournit les coefficients pour le développement de toute expression binomiale, avec des nombres organisés de manière à former une forme triangulaire. c'est-à-dire que la deuxième ligne du triangle de Pascal représente les coefficients dans (x+y)²et ainsi de suite.

Dans le triangle de Pascal, chaque nombre est la somme des deux nombres ci-dessus. Le triangle de Pascal a diverses applications en théorie des probabilités, en combinatoire, en algèbre et dans diverses autres branches des mathématiques.

Apprenons-en davantage sur Le triangle de Pascal, sa construction et divers modèles du triangle de Pascal en détail dans cet article.

Table des matières

• Qu’est-ce que le Triangle de Pascal ?
• Qu’est-ce que le Triangle de Pascal ?
• Définition du triangle de Pascal
• Construction du triangle de Pascal
• Formule du triangle de Pascal
• Expansion binomiale du triangle de Pascal
• Comment utiliser le triangle de Pascal ?
• Les motifs triangulaires de Pascal
• Ajout de lignes
• Nombres premiers dans le triangle de Pascal
• Diagonales du triangle de Pascal
• Séquence de Fibonacci dans le triangle de Pascal
• Propriétés du triangle de Pascal
• Exemples de triangle de Pascal

Qu’est-ce que le Triangle de Pascal ?

Il porte le nom du célèbre philosophe et mathématicien Balise « Pascal » qui a développé un modèle de nombres commençant par 1 et les nombres ci-dessous sont la somme des nombres ci-dessus. Tout d’abord, notez le chiffre 1 pour commencer à réaliser le triangle de Pascal. La deuxième ligne est à nouveau écrite de deux 1. D'autres lignes sont générées en utilisant les lignes précédentes pour former un triangle de nombres. Chaque ligne commence et se termine par un 1.

Une structure de base du triangle de Pascal est présentée dans l'image ajoutée ci-dessous,

Qu’est-ce que le Triangle de Pascal ?

Nous définissons le triangle de Pascal comme l'ensemble de base de nombres disposés dans un tableau triangulaire de telle sorte que chaque élément du triangle de Pascal soit la somme des deux nombres au-dessus de lui. Le triangle de Pascal commence par 1 et cela a été proposé pour la première fois par le célèbre mathématicien français Balise Pascal et donc nommé Triangle de Pascal.

Ce triangle représente les coefficients du développement binomial pour différentes puissances. (il faut s'assurer que la puissance dans le développement binomial n'est qu'un nombre naturel alors seul le triangle de Pascal représente les coefficients dans le développement binomial).

Définition du triangle de Pascal

Le Triangle de Pascal est un tableau triangulaire de nombres dans lequel chaque nombre est la somme des deux situés juste au-dessus de lui.

Construction du triangle de Pascal

Nous pouvons facilement construire le triangle Pad=scal en ajoutant simplement les deux nombres de la ligne ci-dessus pour obtenir le nombre suivant dans la ligne ci-dessous. Nous pouvons supposer que la zéroième ligne commence par un seul élément 1, puis l'élément de la deuxième ligne est 1 1 qui est formé en ajoutant 1+0 et 1+0. De même, les éléments de la deuxième rangée sont 1 2 1 2 qui sont formés en ajoutant 1+0, 1+1 et 1+0, et ainsi les éléments de la troisième rangée sont obtenus. En élargissant ce concept à la nième ligne, nous obtenons un triangle de Pascal avec n+1 lignes.

Le triangle de Pascal jusqu'à la 3ème rangée est illustré dans l'image ci-dessous,

À partir de la figure ci-dessus, nous observons facilement que le premier et le dernier élément de chaque ligne sont 1.

Formule du triangle de Pascal

La formule du triangle Pascal est la formule utilisée pour trouver le nombre à remplir dans la mième colonne et la nième ligne. Comme nous savons que les termes du triangle de Pascal sont la somme des termes de la ligne ci-dessus. Nous avons donc besoin des éléments de la (n-1)ème ligne et des (m-1)ème et nème colonnes pour obtenir le nombre requis dans la mème colonne et la nème ligne.

Lire en détail : Formule du triangle de Pascal

Les éléments de la nième rangée du triangle de Pascal sont donnés,ⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂, …,ⁿC_n.

La formule pour trouver n’importe quel nombre dans le triangle de Pascal est :

ⁿ cm = ^n-1 C _m-1 + ^n-1 C _m

Où,

• ⁿ C _m représente le (m+1)ème élément de la nième ligne., et
• n est un entier non négatif [0 ≤ m ≤ n]

Nous pouvons comprendre cette formule à l'aide de l'exemple discuté ci-dessous,

Exemple : Trouvez le troisième élément de la troisième rangée du triangle de Pascal.

Solution:

Il faut trouver le 3ème élément de la 3ème rangée du triangle de Pascal.

La formule du triangle de Pascal est,

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

oùⁿC_kreprésente (k+1)^èmeélément dans n^èmerangée.

Ainsi, le 3ème élément de la 3ème ligne est,

³C₂=²C₁+²C₂

⇒³C₂= 2 + 1

⇒³C₂= 3

Ainsi, le troisième élément de la troisième rangée du triangle de Pascal est 3.

Expansion binomiale du triangle de Pascal

On peut facilement trouver le coefficient de développement binomial en utilisant le Triangle de Pascal. Les éléments de la (n+1)ème ligne du triangle de Pascal représentent le coefficient de l'expression développée du polynôme (x + y)ⁿ.

On sait que le développement de (x + y)ⁿest,

(x + y)ⁿ= un₀Xⁿ+ un₁X^n-1et + un₂X^n-2et²+ … + un_n-1xy^n-1+ un_netⁿ

Voici un₀, un₁, un₂, un₃, …., un_nsont le terme de la (n+1)ème rangée du Triangle de Pascal

Par exemple, voir le développement de (x+y)⁴

(x + y)⁴=⁴C₀X⁴+⁴C₁X³et +⁴C₂X²et²+⁴C₃xy³+⁴C₄X⁰et⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x³y + (6)x²et²+ (4)xy³+ (1)o⁴

Ici, les coefficients 1, 4, 6, 4 et 1 sont les éléments de la quatrième rangée du Triangle de Pascal

Comment utiliser le triangle de Pascal ?

Nous utilisons le triangle de Pascal pour trouver les différents cas de résultats possibles dans des conditions probabilistes. Cela peut être compris par l'exemple suivant, en lançant une pièce de monnaie une fois, nous obtenons deux résultats, c'est-à-dire H et T, cela est représenté par l'élément de la première rangée du triangle de Pascal.

De la même manière, en lançant une pièce de monnaie deux fois, nous obtenons trois résultats, à savoir {H, H}, {H, T}, {T, H} et {T, T}, cette condition est représentée par l'élément de la deuxième rangée du triangle de Pascal.

Ainsi, nous pouvons facilement connaître le nombre de résultats possibles dans une expérience de tirage au sort en observant simplement les éléments respectifs dans le triangle de Pascal.

Le tableau ci-dessous nous indique les cas où une pièce de monnaie est lancée une fois, deux fois, trois fois et quatre fois, et sa conformité avec le triangle de Pascal.

comment lire un fichier csv en java

Les motifs triangulaires de Pascal

Nous observons différents modèles dans le triangle de Pascal :

monde débile

• Ajout de lignes
• Nombres premiers dans un triangle
• Diagonales du triangle de Pascal
• Modèle de Fibonacci

Ajout de lignes

En observant attentivement le triangle de Pascal, nous pouvons conclure que la somme de n'importe quelle ligne du triangle de Pascal est égale à une puissance de 2. La formule pour cela est : Pour tout (n+1)^èmerangée dans le Triangle de Pascal, la somme de tous les éléments est 2ⁿ

En appliquant cette formule dans les 4 premières lignes du triangle de Pascal, nous obtenons,

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

Nombres premiers dans le triangle de Pascal

Un autre modèle très intéressant dans le triangle de Pascal est que si une ligne commence par un nombre premier (en négligeant 1 au début de chaque ligne), alors tous les éléments de cette ligne sont divisibles par ce nombre premier. Cette tendance ne s’applique pas aux nombres composés.

Par exemple, la huitième ligne du triangle de Pascal est :

1 7 21 35 35 21 7 1

Ici, tous les éléments sont divisibles par 7.

Pour les lignes commençant par des nombres composés telles que la cinquième ligne,

1 4 6 4 1

Le modèle n’est pas vrai puisque 4 ne divise pas 6.

Diagonales du triangle de Pascal

Chaque diagonale vers la droite du Triangle de Pascal, lorsqu'elle est considérée comme une séquence représente les différents nombres tels que la première diagonale vers la droite représente une séquence de nombres 1, la deuxième diagonale vers la droite représente les nombres triangulaires, la troisième diagonale vers la droite représente les nombres tétraédriques, la quatrième diagonale vers la droite représente les nombres de Pénélope et ainsi de suite.

Séquence de Fibonacci dans le triangle de Pascal

On peut facilement obtenir la suite de Fibonacci en additionnant simplement les nombres dans les diagonales du triangle de Pascal. Ce modèle est affiché dans l'image ajoutée ci-dessous,

Propriétés du triangle de Pascal

Diverses propriétés du triangle de Pascal sont,

• Chaque nombre du triangle de Pascal est la somme du nombre au-dessus.
• Le nombre de début et de fin dans le triangle de Pascal est toujours 1.
• La première diagonale du triangle de Pascal représente l’entier naturel ou le comptage des nombres.
• La somme des éléments de chaque ligne du triangle de Pascal est donnée en utilisant une puissance de 2.
• Les éléments de chaque ligne sont les chiffres de la puissance 11.
• Le triangle de Pascal est un triangle symétrique.
• Les éléments de n’importe quelle rangée du triangle de Pascal peuvent être utilisés pour représenter les coefficients du développement binomial.
• Le long de la diagonale du Triangle de Pascal, on observe les nombres de Fibonacci.

Articles liés au Triangle de Pascal :

• Théorème du binôme
• Variables aléatoires binomiales et distribution binomiale

Exemples de triangle de Pascal

Exemple 1 : Trouver le cinquième rangée du triangle de Pascal.

Solution:

Le triangle Pascal à 5 ​​rangées est présenté dans l'image ci-dessous,

Exemple 2 : développer à l'aide du triangle Pascal (a + b) ² .

Solution:

Écrivez d’abord les expressions génériques sans les coefficients.

(une + b)²=c₀un²b⁰+c₁un¹b¹+c₂un⁰b²

Construisons maintenant un triangle de Pascal sur 3 lignes pour connaître les coefficients.

Les valeurs de la dernière ligne nous donnent la valeur des coefficients.

c₀= 1,c₁= 2,c₂=1

(une + b)²= un²b⁰+ 2a¹b¹+ un⁰b²

Ainsi vérifié.

Exemple 3 : Développer à l'aide du triangle Pascal (a + b) ⁶ .

Solution:

Écrivez d’abord les expressions génériques sans les coefficients.

(une + b)⁶=c₀un⁶b⁰+c₁un⁵b¹+c₂un⁴b²+c₃un³b³+c₄un²b⁴+c₅un¹b⁵+c₆un⁰b⁶

Construisons maintenant un triangle de Pascal à 7 lignes pour connaître les coefficients.

Les valeurs de la dernière ligne nous donnent la valeur des coefficients.

c₀= 1,c₁= 6,c₂= 15,c₃= 20,c₄=15,c₅= 6 et c₆= 1.

(une + b)⁶= 1a⁶b⁰+ 6a⁵b¹+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6a¹b⁵+ 1a⁰b⁶

Exemple 4 : Trouvez le deuxième élément de la troisième ligne du triangle de Pascal.

Solution:

Il faut trouver le 2ème élément de la 3ème rangée du triangle de Pascal.

On sait que la nième rangée du triangle de Pascal estⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂,ⁿC_3…

La formule du triangle de Pascal est :

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

oùⁿC_kreprésente (k+1)^èmeélément dans n^èmerangée.

Ainsi, le 2ème élément de la 3ème ligne est,

³C₁=²C₀+²C₁

= 1 + 2

= 3

Ainsi, le deuxième élément de la troisième rangée du triangle de Pascal est 3.

Exemple 5 : Une pièce de monnaie est lancée quatre fois, trouvez la probabilité d'obtenir exactement 2 queues.

Solution:

En utilisant la formule du triangle Pascal,

Nombre total de résultats = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Ici, nous obtenons quatre cas dans lesquels nous obtenons 2 queues,

Ainsi,

Probabilité d'obtenir deux queues = résultat favorable/résultat total

= 4/16 = 1/4

Donc la probabilité d’obtenir exactement deux queues est de 1/4 ou 25 %

Résumé – Triangle de Pascal

Le Triangle de Pascal est un arrangement triangulaire de nombres où chaque nombre est la somme des deux nombres situés directement au-dessus de lui. Nommé d'après le mathématicien Blaise Pascal, ce triangle commence par un simple 1 en haut et chaque ligne commence et se termine par 1. Les nombres du triangle de Pascal correspondent aux coefficients du développement binomial, ce qui le rend utile en algèbre, probabilité et combinatoire. Les modèles au sein du triangle incluent des sommes de lignes représentant des puissances de 2, des connexions à la séquence de Fibonacci et la présence de nombres premiers. Le Triangle de Pascal est également utile pour calculer des combinaisons et comprendre les résultats des expériences probabilistes, comme les lancers de pièces.

FAQ sur le Triangle de Pascal

Qu’est-ce que le Triangle de Pascal ?

Le tableau triangulaire du nombre proposé par le célèbre mathématicien Balise Pascal est appelé le Triangle de Pascal. Ce triangle commence par 1 et dans la ligne suivante, les nombres de début et de fin sont fixés à 1, puis le nombre du milieu est généré en prenant la somme des deux nombres ci-dessus.

Quelles sont les utilisations du triangle de Pascal ?

Les triangles de Pascal ont diverses utilisations,

• Il est utilisé pour trouver le coefficient binomial du développement binomial.
• Il fournit une autre manière d’étendre les termes binomiaux.
• Il est utilisé en algèbre, en théorie des probabilités, en permutation et combinaison et dans d’autres branches des mathématiques.

Quelle est l’utilisation du triangle de Pascal dans le développement binomial ?

Nous utilisons le triangle de Pascal pour trouver facilement le coefficient de n'importe quel terme dans le développement binomial. Toute ligne du Triangle de Pascal (disons nième) représente le coefficient du développement binomial du (x+y)ⁿ. Par exemple, la deuxième ligne du Triangle de Pascal est 1 2 1 et le développement de (x+y)²

(x+y)²=x²+ 2xy + y²

un tableau en java

Ici, le coefficient de chaque terme est 1 2 1, ce qui ressemble à la 2ème rangée du Triangle de Pascal.

Quels sont les différents modèles trouvés dans le triangle de Pascal ?

Divers modèles que nous trouvons facilement dans le triangle de Pascal sont :

• Modèle triangulaire
• Modèle pair et impair
• Modèle de Fibonacci
• Motif symétrique

Quel est le 5^èmeRangée du triangle de Pascal ?

La cinquième rangée du triangle de Pascal est représentée ci-dessous,

1 5 10 10 5 1

Nous savons que la somme de tous les éléments d'une ligne est donnée en utilisant 2ⁿoù n représente le nombre de lignes. Ainsi, la somme de tous les termes de la 5ème ligne est :

2⁵= 32

Quel est le premier élément de chaque rangée du triangle de Pascal ?

Le premier élément de chaque ligne du triangle de Pascal est 1. On appelle ce terme le 0ème terme de la ligne.