Fonction un à un ou la fonction One-One est l'une des types de fonctions défini sur le domaine et le codomaine et décrit le type spécifique de relation entre le domaine et le codomaine. La fonction One to One est également appelée fonction injective. La fonction One to One est une fonction mathématique où chaque élément dans le domaine correspond à un élément unique dans le codomaine .

Cet article explore en détail le concept de fonction One to One ou One-One Function, y compris sa définition et des exemples qui vous aident à comprendre facilement le concept. Nous discuterons également de quelques exemples de problèmes et vous proposerons quelques problèmes pratiques à résoudre. Découvrons donc ce concept important en mathématiques connu sous le nom de fonction un à un.

Table des matières

• Qu'est-ce que la fonction One-to-One ?
• Exemples de fonctions individuelles
• Propriétés des fonctions un-à-un
• Fonction un à un et fonction sur
• Exemples résolus sur une fonction un à un

Qu'est-ce que la fonction One-to-One ?

Une fonction un-à-un, également connue sous le nom de fonction injective, est une fonction dans laquelle différents éléments de A ont différents éléments liés à B ou différents éléments de A ont des images différentes dans B.

S'il y a différentes images pour une fonction, cela signifie que cela n'est possible que pour un à un si les pré-images étaient différentes si l'ensemble B a des éléments différents, cela signifie que cela n'est possible que lorsque un ensemble A avait des éléments différents pour lesquels ceux-ci étaient les pré-images.

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Définition des fonctions un à un

Une fonction « f » d'un ensemble « A » à l'ensemble « B » est biunivoque si aucun élément de « A » n'est mappé au même élément dans « B ».

Considérons ces deux diagrammes. Pour le diagramme A, nous réalisons que 10 correspondent à 1, 20 correspondent à 2 et 30 correspondent à 3.

Cependant, pour le diagramme B, il est clair que 10 et 30 correspondent à 3, puis 20 correspondent à 1.

Puisque nous avons des éléments dans le domaine correspondant à des valeurs distinctes dans chaque domaine pour le diagramme A, cela rend la fonction un à un, donc notre diagramme B n'est pas un à un.

Cela peut être exprimé mathématiquement comme

f(une) = f(b) ⇒ une = b

Exemple de fonctions un-à-un

• Fonction d'identité : La fonction d'identité est un exemple simple de fonction un-à-un. Il prend une entrée et renvoie la même valeur que la sortie. Pour tout nombre réel x, la fonction d'identité est définie comme :

f(x) = x

Chaque entrée distincte x correspond à une sortie distincte f(x), ce qui en fait une fonction biunivoque.

• Fonction linéaire: Une fonction linéaire est une fonction dans laquelle la puissance la plus élevée de la variable est 1. Par exemple :

f(x) = 2x + 3

Il s'agit d'une fonction un-à-un car quelle que soit la valeur de x que vous choisissez, vous obtiendrez une valeur unique pour f(x).

• Fonction de valeur absolue : La fonction valeur absolue f(x)=∣x∣ est également une fonction biunivoque. Pour tout nombre réel x, la fonction valeur absolue renvoie une valeur non négative et différentes valeurs de x entraîneront des valeurs absolues différentes.

Prouvons un de ces exemples pour une fonction un-à-un.

Exemple : Montrer que la fonction f(x) = 1/(x+2), x≠2 est biunivoque.

Solution:

D'après la fonction un-à-un, nous savons que

f(une) = f(b)

remplacer a par x et x par b

f(une) = 1/(une+2) , f(b) = 1/(b+2)

⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)

multiplier par croix l'équation ci-dessus

1(b+2)=1(a+2)

b+2=a+2

⇒ b=a+2-2

∴ une=b

Maintenant, puisque a = b, la fonction est dite fonction bijective.

Propriétés Fonctions individuelles

Considérons que f et g sont deux fonctions bijectives, les propriétés sont les suivantes :

• Si f et g sont tous deux un à un, alors f ∘ g suit l'injectivité.
• Si g ∘ f est un à un, alors la fonction f est un à un, mais la fonction g peut ne pas l'être.
• f : X → Y est un-un, si et seulement si, étant donné n'importe quelle fonction g, h : P → X chaque fois que f ∘ g = f ∘ h, alors g = h. En d’autres termes, les fonctions un-un sont exactement les monomorphismes de l’ensemble de catégories d’ensembles.
• Si f : X → Y est un-un et P est un sous-ensemble de X, alors f^-1(f(A)) = P. Ainsi, P peut être récupéré à partir de son image f(P).
• Si f : X → Y est un-un et P et Q sont tous deux des sous-ensembles de X, alors f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
• Si X et Y sont limités par le même nombre d'éléments, alors f : X → Y est un-un, si et seulement si f est surjectif ou sur fonction.

Graphique de la fonction un-à-un

Voyons l'une des représentations graphiques de la fonction un-à-un

Le graphique ci-dessus de la fonction f(x)= √x montre la représentation graphique de la fonction un-à-un.

Test de ligne horizontale

Une fonction est biunivoque si chaque ligne horizontale ne coupe pas le graphique en plus d’un point.

Utilisons une fonction linéaire comme exemple. Appelons-le f(x) , donc f(x) a une fonction inverse. Pour déterminer si f(x) a une fonction inverse, vous devez montrer qu'il s'agit d'une fonction bijective, vous devez montrer qu'elle réussit le test de la ligne horizontale. Donc, si nous traçons une ligne horizontale et si f(x) touche la ligne horizontale plus d'une fois, cela signifie que f(x) n'est pas une fonction biunivoque et qu'elle n'a pas de fonction inverse.

Dans l'exemple ci-dessus, il ne coupe la ligne horizontale qu'en un seul point. Donc f(x) est une fonction biunivoque, ce qui signifie qu’elle a une fonction inverse.

Inverse de la fonction un-à-un

Soit f une fonction biunivoque avec un domaine A et une plage B. Alors l'inverse de f est une fonction avec un domaine B et une plage A définis par f^-1(y) =x si et seulement si f(x)=y pour tout y dans B. Rappelez-vous toujours qu'une fonction a un inverse si et seulement si elle est un-à-un. Une fonction est biunivoque si l’exposant le plus élevé est un nombre impair. Mais si le nombre le plus élevé est un nombre pair ou une valeur absolue, il ne s’agit pas d’une fonction biunivoque.

Exemple : f(x)=3x+2 trouver l'inverse de la fonction

Solution:

écrire la fonction sous la forme y=f(x)

⇒ y=3x+2

permet d'échanger les variables y et x

⇒ x=3a+2

résoudre y en termes de x

⇒ x-2=3a

diviser l'équation par 3

⇒ (x-2)/3=3a/3

⇒ y=(x-2)/3

∴ f-1(x)=(x-2)/3

Fonction un à un et fonction sur

Les principales différences entre les fonctions One to One et Onto sont répertoriées dans le tableau suivant :

L'illustration suivante montre la différence claire entre la fonction one et on :

En savoir plus,

• Les fonctions
• Types de fonctions
• Relation et fonction

Problèmes résolus sur une fonction individuelle

Résolvons quelques problèmes pour illustrer les fonctions un-à-un :

Problème 1 : Déterminer si la fonction suivante est biunivoque : f(x) = 3x – 1

Solution:

Solution 1 : Pour vérifier si c'est un à un, nous devons montrer qu'il n'y a pas deux valeurs x distinctes correspondant à la même valeur y.

Supposons que f(a) = f(b), où a ≠ b.

3a – 1 = 3b – 1

3a = 3b

une = b

Puisque le seul moyen pour f(a) = f(b) est lorsque a = b, cette fonction est effectivement biunivoque.

Problème 2 : Déterminer si la fonction suivante est biunivoque : g(x) = x ²

Solution:

Solution 2 : Nous utiliserons le test de la ligne horizontale en traçant graphiquement la fonction. Si une ligne horizontale coupe le graphique plus d’une fois, ce n’est pas un à un.

Le graphique de g(x) = x^2 est une parabole s'ouvrant vers le haut. Toute ligne horizontale ne coupe le graphique qu'une seule fois, cette fonction n'est donc pas un à un.

Pratiquez des problèmes sur des fonctions individuelles

Problème 1 : Déterminez si la fonction suivante est un-à-un :

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = 3x²- 1
• h(x) =³√x

Problème 2 : Trouvez une fonction biunivoque depuis l’ensemble des nombres réels jusqu’à l’ensemble des nombres réels.

Problème 3 : Étant donné la fonction g(x) = x²+ 1, déterminez s'il est un à un sur l'ensemble de son domaine.

Problème 4 : Considérons la fonction h(x) = e^X. Est-ce une fonction individuelle ?

Problème 5 : Trouvez la fonction inverse de f(x) = 4x – 7 et déterminez son domaine.

Problème 6 : Déterminez si la fonction p(x) = √x est un à un.

Problème 7 : Étant donné q(x) = x/2, trouvez le domaine et l'étendue de la fonction.

Problème 8 : Vérifiez si la fonction r(x) = sin (x) est biunivoque sur l'intervalle [0, π].

Problème 9 : Considérons la fonction s(x) = |x|. Est-ce une fonction individuelle ?

Problème 10 : Déterminez si la fonction t(x) = 1/x est un-à-un et trouvez son domaine.

Fonctions individuelles – FAQ

1. Qu'est-ce qu'une fonction un-à-un ?

Une fonction un-à-un est une fonction mathématique qui mappe chaque élément de son domaine à un élément unique de son codomaine. En d’autres termes, il ne mappe pas deux éléments différents du domaine au même élément du codomaine.

2. Comment puis-je déterminer si une fonction est un-à-un ?

Vous pouvez utiliser le test de la ligne horizontale. Si aucune ligne horizontale ne coupe le graphique de la fonction plus d’une fois, il s’agit d’une fonction biunivoque.

3. Quelle est la différence entre une fonction un-à-un et une fonction on ?

Une fonction un-à-un garantit qu'aucun élément distinct du domaine ne correspond au même élément du codomaine, tandis qu'une fonction on, également connue sous le nom de fonction surjective, garantit que chaque élément du codomaine est mappé par au moins un élément dans le domaine.

4. Toutes les fonctions linéaires sont-elles biunivoques ?

Non, toutes les fonctions linéaires ne sont pas biunivoques. Par exemple, f(x) = 2x est un à un, mais g(x) = 2x + 1 ne l'est pas car il mappe deux valeurs x différentes à la même valeur y (par exemple, g(1) = 3 et g(2) = 5).