La méthode Newton Raphson ou méthode Newton est une technique puissante pour résoudre numériquement des équations. Il est le plus souvent utilisé pour l'approximation des racines des fonctions à valeurs réelles. La méthode Newton Rapson a été développée par Isaac Newton et Joseph Raphson, d'où le nom de méthode Newton Rapson.

La méthode Newton Raphson consiste à affiner de manière itérative une estimation initiale pour la faire converger vers la racine souhaitée. Cependant, la méthode n'est pas efficace pour calculer les racines des polynômes ou des équations de degrés supérieurs mais dans le cas d'équations de petits degrés, cette méthode donne des résultats très rapides. Dans cet article, nous découvrirons également la méthode Newton Raphson et les étapes de calcul des racines à l'aide de cette méthode.

Table des matières

• Qu’est-ce que la méthode Newton Raphson ?
• Formule de la méthode Newton Raphson
• Calcul de la méthode Newton Raphson
• Convergence de la méthode Newton Raphson
• Articles liés à la méthode Newton Raphson :
• Exemple de méthode Newton Raphson
• Problèmes résolus de la méthode Newton Raphson

Qu’est-ce que la méthode Newton Raphson ?

La méthode de Newton-Raphson, également connue sous le nom de méthode de Newton, est une méthode numérique itérative utilisée pour trouver les racines d'une fonction à valeur réelle. Cette formule porte le nom de Sir Isaac Newton et Joseph Raphson, car ils ont contribué indépendamment à son développement. La méthode de Newton Raphson ou méthode de Newton est un algorithme permettant d'approcher les racines des zéros des fonctions à valeur réelle, en utilisant la supposition pour la première itération (x₀) puis en approximant l'itération suivante (x₁) qui est proche des racines, en utilisant la formule suivante.

X ₁ =x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

où,

• X ₀ est la valeur initiale de x,
• f(x ₀ ) est la valeur de l'équation à la valeur initiale, et
• f'(x ₀ ) est la valeur de la dérivée du premier ordre de l'équation ou de la fonction à la valeur initiale x_0.

Note: f'(x₀) ne doit pas être nul, sinon la partie fraction de la formule passera à l'infini, ce qui signifie que f(x) ne devrait pas être une fonction constante.

Formule de la méthode Newton Raphson

Sous la forme générale, la formule de la méthode Newton-Raphson s'écrit comme suit :

X _n =x _n-1 – f(x _n-1 )/f'(x _n-1 )

Où,

• X _n-1 est l'estimation (n-1)^èmeracine de la fonction,
• f(x _n-1 ) est la valeur de l'équation en (n-1)^èmeracine estimée, et
• f'(x _n-1 ) est la valeur de la dérivée du premier ordre de l'équation ou de la fonction en x_n-1.

Calcul de la méthode Newton Raphson

Supposons l'équation ou les fonctions dont les racines doivent être calculées comme f(x) = 0.

Afin de prouver la validité de la méthode de Newton Raphson, les étapes suivantes sont suivies :

Étape 1: Tracez un graphique de f(x) pour différentes valeurs de x comme indiqué ci-dessous :

Étape 2: Une tangente est tracée à f(x) en x₀. C'est la valeur initiale.

Étape 3: Cette tangente coupera l'axe X en un point fixe (x₁,0) si la dérivée première de f(x) n'est pas nulle, c'est-à-dire f'(x ₀ ) ≠ 0.

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Étape 4: Comme cette méthode suppose une itération des racines, ce x₁est considérée comme la prochaine approximation de la racine.

Étape 5 : Maintenant, les étapes 2 à 4 sont répétées jusqu'à ce que nous atteignions la racine réelle x^*.

Nous savons maintenant que l'équation à l'origine de la pente de n'importe quelle droite est représentée par y = mx + c,

Où m est la pente de la droite et c est l'abscisse à l'origine de la ligne.

En utilisant la même formule, nous obtenons

y = f(x ₀ ) + f'(x ₀ ) (x − x ₀ )

Ici f(x₀) représente le c et f'(x₀) représente la pente de la tangente m. Comme cette équation est vraie pour chaque valeur de x, elle doit être vraie pour x₁. Ainsi, en remplaçant x par x₁, et en égalisant l'équation à zéro car nous devons calculer les racines, nous obtenons :

0 = f(x ₀ ) + f'(x ₀ ) (X ₁ −x ₀ )

X ₁ =x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

Quelle est la formule de la méthode Newton Raphson.

Ainsi, la méthode de Newton Raphson a été mathématiquement prouvée et acceptée comme valide.

Convergence de la méthode Newton Raphson

La méthode de Newton-Raphson a tendance à converger si la condition suivante est vraie :

|f(x).f(x)| <|f'(x)|²

Cela signifie que la méthode converge lorsque le module du produit de la valeur de la fonction en x et de la dérivée seconde d'une fonction en x est inférieur au carré du modulo de la dérivée première de la fonction en x. La méthode Newton-Raphson a une convergence d’ordre 2, ce qui signifie qu’elle a une convergence quadratique.

Note:

La méthode de Newton Raphson n'est pas valide si la dérivée première de la fonction est 0, ce qui signifie f'(x) = 0. Elle n'est possible que lorsque la fonction donnée est une fonction constante.

Articles liés à la méthode Newton Raphson :

• La méthode de Newton pour trouver les racines
• Différence entre la méthode Newton Raphson et la méthode Falsi régulière
• Différence entre la méthode de bissection et la méthode de Newton Raphson
• Algorithme de recherche de racine

Exemple de méthode Newton Raphson

Considérons l'exemple suivant pour en savoir plus sur le processus de recherche de la racine d'une fonction à valeur réelle.

Exemple : Pour la valeur initiale x ₀ = 3, approximation de la racine de f(x)=x ³ +3x+1.

Solution:

Étant donné, x₀= 3 et f(x) = x³+3x+1

f'(x) = 3x²+3

f'(x₀) = 3(9) + 3 = 30

f(x₀) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37

En utilisant la méthode de Newton Raphson :

X₁=x₀– f(x₀)/f'(x₀)

= 3 – 37/30

= 1,767

Problèmes résolus de la méthode Newton Raphson

Problème 1 : Pour la valeur initiale x ₀ = 1, se rapproche de la racine de f(x)=x ² −5x+1.

Solution:

Étant donné, x₀= 1 et f(x) = x²-5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x₀) = 2 – 5 = -3

f(x₀) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3

En utilisant la méthode de Newton Raphson :

X₁=x₀– f(x₀)/f'(x₀)

⇒x₁= 1 – (-3)/-3

⇒x₁= 1 -1

⇒x₁= 0

Problème 2 : Pour la valeur initiale x ₀ = 2, approximation de la racine de f(x)=x ³ −6x+1.

Solution:

Étant donné, x₀= 2 et f(x) = x³-6x+1

f'(x) = 3x²– 6

f'(x₀) = 3(4) – 6 = 6

f(x₀) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3

En utilisant la méthode de Newton Raphson :

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X₁=x₀– f(x₀)/f'(x₀)

⇒x₁= 2 – (-3)/6

⇒x₁= 2 + 1/2

⇒x₁= 5/2 = 2,5

Problème 3 : Pour la valeur initiale x ₀ = 3, approximation de la racine de f(x)=x ² −3.

Solution:

Étant donné, x₀= 3 et f(x) = x²-3

f'(x) = 2x

f'(x₀) = 6

f(x₀) = f(3) = 9 – 3 = 6

En utilisant la méthode de Newton Raphson :

X₁=x₀– f(x₀)/f'(x₀)

⇒x₁= 3 – 6/6

⇒x₁= 2

Problème 4 : Trouver la racine de l'équation f(x) = x ³ – 3 = 0, si la valeur initiale est 2.

Solution:

Étant donné x₀= 2 et f(x) = x³- 3

f'(x) = 3x²

f'(x₀= 2) = 3 × 4 = 12

f(x₀) = 8 – 3 = 5

En utilisant la méthode de Newton Raphson :

X₁=x₀– f(x₀)/f'(x₀)

⇒x₁= 2 – 5/12

⇒x₁= 1 583

En utilisant à nouveau la méthode de Newton Raphson :

X₂= 1,4544

X₃= 1,4424

X₄= 1,4422

Par conséquent, la racine de l’équation est approximativement x = 1,442.

Problème 5 : Trouver la racine de l'équation f(x) = x ³ – 5x + 3 = 0, si la valeur initiale est 3.

Solution:

Étant donné x₀= 3 et f(x) = x³– 5x + 3 = 0

f'(x) = 3x²- 5

f'(x₀= 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f(x₀= 3) = 27 – 15 + 3 = 15

En utilisant la méthode de Newton Raphson :

X₁=x₀– f(x₀)/f'(x₀)

⇒x₁= 3 – 15/22

⇒x₁= 2,3181

En utilisant à nouveau la méthode de Newton Raphson :

X₂= 1,9705

X₃= 1,8504

X₄= 1,8345

X₅= 1,8342

Par conséquent, la racine de l’équation est approximativement x = 1,834.

FAQ sur la méthode Newton Raphson

Q1 : Définir la méthode Newton Raphson.

Répondre:

La méthode Newton Raphson est une méthode numérique permettant d'approcher les racines d'une fonction à valeur réelle donnée. Dans cette méthode, nous avons utilisé diverses itérations pour approximer les racines, et plus le nombre d'itérations est élevé, moins il y a d'erreur dans la valeur de la racine calculée.

Q2 : Quel est l’avantage de la méthode Newton Raphson ?

Répondre:

La méthode de Newton Raphson présente l’avantage de nous permettre de deviner les racines d’une équation avec un petit degré de manière très efficace et rapide.

Q3 : Quel est l’inconvénient de la méthode Newton Raphson ?

Répondre:

L’inconvénient de la méthode de Newton Raphson est qu’elle tend à devenir très complexe lorsque le degré du polynôme devient très grand.

Q4 : Indiquez toute application réelle de la méthode de Newton Raphson.

Répondre:

La méthode Newton Raphson est utilisée pour analyser le débit d’eau dans les réseaux de distribution d’eau dans la vie réelle.

Q5 : Sur quelle théorie la méthode Newton-Raphson est-elle basée ?

Répondre:

La méthode Newton Raphson est basée sur la théorie du calcul et de la tangente à une courbe.