La loi de la probabilité totale est importante pour déterminer la probabilité qu'un événement se produise. Si la probabilité qu'un événement se produise est égale à 1, alors pour un événement impossible, elle sera probablement égale à 0. Une règle fondamentale de la théorie des probabilités qui est interconnectée à la probabilité marginale et probabilite conditionnelle est appelée la loi de la probabilité totale, ou le théorème de la probabilité totale.
Après plusieurs événements, on sait que la probabilité de toutes les possibilités doit être connue. Le théorème de probabilité totale est le fondement du théorème de Baye. Dans cet article, nous avons abordé des concepts importants liés à la probabilité totale, notamment le loi de probabilité totale , déclarations, preuves et quelques exemples.
Loi de probabilité totale
Étant donné n événements A1, A2, …Ak mutuellement exclusifs tels que la somme de leurs probabilités est l'unité et leur union est l'espace des événements E, alors Ai ∩ Aj= NULL, pour tout I différent de j, et
A1 U A2 U ... U Ak = E>
Puis le Théorème de probabilité totale, ou loi de la probabilité totale, est: 
où B est un événement arbitraire et P(B/Ai) est la probabilité conditionnelle que B suppose que A s'est déjà produit.
Preuve du théorème de probabilité totale
Soient A1, A2, …, Ak des événements disjoints qui forment une partition de l'espace échantillon et supposons que P(Ai)> 0, pour i = 1, 2, 3….k, tel que :
A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>
Alors, pour tout événement B, on a,
B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>
Comme l'intersection et l'Union sont distributives. Donc,
B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>
Puisque toutes ces partitions sont disjointes. Donc nous avons,
P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>
C'est le théorème d'addition des probabilités pour une union d'événements disjoints. Utiliser la probabilité conditionnelle
P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>
Ou par la règle de multiplication,
P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>
Ici, les événements A et B sont dits événements indépendants si P(B|A) = P(B), où P(A) n'est pas égal à Zero(0),
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>
où P(B|A) est la probabilité conditionnelle qui donne la probabilité d'occurrence de l'événement B lorsque l'événement A s'est déjà produit. Ainsi,
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P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>
En appliquant cette règle ci-dessus, nous obtenons,
C'est le loi de probabilité totale . La loi de la probabilité totale est également appelée le théorème de probabilité totale ou loi des alternatives.
Note:
La loi de la probabilité totale est utilisée lorsque vous ne connaissez pas la probabilité d’un événement, mais que vous connaissez son apparition dans plusieurs scénarios disjoints ainsi que la probabilité de chaque scénario.
Application du théorème de probabilité totale
Il est utilisé pour l'évaluation du dénominateur dans Théorème de Bayes . Le théorème de Bayes pour n ensemble d’événements est défini comme suit :
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Soit E1, ET2,…, ETnêtre un ensemble d'événements associés à l'espace échantillon S, dans lequel tous les événements E1, ET2,…, ETnont une probabilité d’occurrence non nulle. Tous les événements E1, ET2,…, E forment une partition de S. Soit A un événement de l’espace S pour lequel il faut trouver une probabilité, alors selon le théorème de Bayes,
P(E je |A) = P(E je )P(UNE|E je ) / ∑P(E k )P(UNE|E k )
pour k = 1, 2, 3, …., n
Exemple
1. Nous piochons deux cartes d'un jeu de cartes mélangées avec des remplacements. Trouvez la probabilité d'obtenir un roi avec la deuxième carte.
Explication:- Soit A – représente l’événement consistant à obtenir la première carte d’un roi. B – représente l’événement où la première carte n’est pas un roi. E – représente le cas où la deuxième carte est un roi. Alors la probabilité que la deuxième carte soit un roi ou non sera représentée par la loi des probabilités totales comme suit :
P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>
Où P(E) est la probabilité que la deuxième carte soit un roi, P(A) est la probabilité que la première carte soit un roi, P(E|A) est la probabilité que la deuxième carte soit un roi étant donné que la première carte est un roi, P(B) est la probabilité que la première carte ne soit pas un roi, P(E|B) est la probabilité que la deuxième carte soit un roi mais que la première carte tirée ne soit pas un roi. Selon la question :
P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>
Donc,
P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>
FAQ sur la loi de la probabilité totale
Q.1 : A quoi sert la probabilité totale ?
Répondre:
La loi de la probabilité totale est utilisée pour calculer la probabilité d’un événement compte tenu d’un nombre quelconque d’événements liés. Utiliser le théorème de Baye pour mettre à jour la probabilité d’une hypothèse à partir de nouvelles preuves.
Q.2 : La probabilité totale est-elle toujours égale à 1 ?
Répondre:
La somme des probabilités de tous les événements est toujours égale à 1.
Q.3 : La probabilité totale peut-elle être supérieure à 1 ?
Répondre:
Non, la probabilité totale ne peut pas être supérieure à 1.