Règle 2

Si les LHS et RHS des expressions sont échangées, alors l’inégalité s’inverse. C’est ce qu’on appelle la propriété inverse.

• Si a> b, alors b
• Si un un
• Si une ≥ b, alors b ≤ une
• Si une ≤ b, alors b ≥ une

Règle 3

Si la même constante k est ajoutée ou soustraite des deux côtés de l’inégalité, alors les deux côtés de l’inégalité sont égaux.

• Si a> b, alors a + k> b + k
• Si a> b, alors a – k> b – k

De même pour les autres inégalités.

• Si un
• Si un
• Si a ≤ b, alors a + k ≤ b + k
• Si a ≤ b, alors a – k ≤ b – k
• Si a ≥ b, alors a + k ≥ b + k
• Si a ≥ b, alors a – k ≥ b – k

La direction de l'inégalité ne change pas après l'ajout ou la soustraction d'une constante.

Règle 4

Si k est une constante positive multipliée ou divisée par les deux côtés de l’inégalité, alors il n’y a pas de changement dans la direction de l’inégalité.

• Si a> b, alors ak> bk
• Si un
• Si a ≤ b, alors ak ≤ bk
• Si a ≥ b, alors ak ≥ bk

Si k est une constante négative multipliée ou divisée par les deux côtés de l’inégalité, alors la direction de l’inégalité s’inverse.

• Si a> b, alors ak
• Si a> b, alors ak
• Si a ≥ b, alors ak ≤ bk
• Si a ≤ b, alors ak ≥ bk

Règle 5

Le carré de tout nombre est toujours supérieur ou égal à zéro.

• un²≥ 0

Règle 6

Prendre des racines carrées des deux côtés de l’inégalité ne change pas la direction de l’inégalité.

• Si a> b, alors √a> √b
• Si un
• Si a ≥ b, alors √a ≥ √b
• Si a ≤ b, alors √a ≤ √b

Graphique des inégalités

Les inégalités sont soit à une variable, soit à deux, ou nous avons un système d'inégalités, toutes peuvent être représentées graphiquement sur le plan cartésien s'il ne contient que deux variables. Les inégalités d'une variable sont tracées sur des lignes réelles et deux variables sont tracées sur le plan cartésien.

Notation d'intervalle pour les inégalités

Points importants pour écrire des intervalles pour les inégalités :

• En cas de supérieur et égal à ( ≥ ) ou inférieur à égal à ( ≤ ), les valeurs finales sont incluses, donc des crochets fermés ou carrés [ ] sont utilisés.
• En cas de supérieur à ( > ) ou inférieur à ( < ), les valeurs finales sont exclues, donc des parenthèses ouvertes () sont utilisées.
• Pour les parenthèses infinies positives et négatives () sont utilisées.

Le tableau suivant représente les intervalles pour différentes inégalités :

Graphique des inégalités linéaires à une variable

À partir du tableau suivant, nous pouvons comprendre comment tracer diverses inégalités linéaires avec une variable sur une ligne réelle.

Inégalité	Intervalle	Graphique
x> 1	(1, ∞)	Inégalités linéaires à une variable
x <1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Graphique des inégalités linéaires à deux variables

Prenons un exemple d'inégalités linéaires à deux variables.

Considérons l'inégalité linéaire 20x + 10y ≤ 60, car les solutions possibles pour une inégalité donnée sont (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0 ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1 ), (2,2), (3,0), ainsi que tous les points au-delà de ces points sont aussi la solution de l'inégalité.

Traçons le graphique à partir des solutions données.

La région ombrée du graphique représente les solutions possibles pour l’inégalité donnée.

Lire aussi

• Solution graphique des inégalités linéaires à deux variables

Types d'inégalités

Il existe différents types d’inégalités que l’on peut classer comme suit :

• Inégalités polynomiales : Les inégalités polynomiales sont des inégalités qui peuvent être représentées sous forme de polynômes. Exemple- 2x + 3 ≤ 10.
• Inégalités en valeur absolue : Les inégalités en valeur absolue sont les inégalités dans le signe de la valeur absolue. Exemple- |y + 3| ≤ 4.
• Inégalités rationnelles : Les inégalités rationnelles sont des inégalités avec des fractions ainsi que des variables. Exemple- (x + 4) / (x – 5) <5.

Comment résoudre les inégalités

Pour résoudre les inégalités, nous pouvons utiliser les étapes suivantes :

• Étape 1: Écrivez l'inégalité sous la forme de l'équation.
• Étape 2: Résolvez l’équation et obtenez les racines des inégalités.
• Étape 3: Représentez les valeurs obtenues sur la droite numérique.
• Étape 4: Représentez également les valeurs exclues sur la droite numérique avec les cercles ouverts.
• Étape 5 : Trouvez les intervalles de la droite numérique.
• Étape 6 : Prenez une valeur aléatoire de chaque intervalle et mettez ces valeurs dans l'inégalité et vérifiez si elle satisfait l'inégalité.
• Étape 7 : La solution de l’inégalité réside dans les intervalles qui satisfont l’inégalité.

Comment résoudre les inégalités polynomiales

Les inégalités polynomiales comprennent les inégalités linéaires, les inégalités quadratiques, les inégalités cubiques, etc. Ici, nous apprendrons à résoudre les inégalités linéaires et quadratiques.

Résoudre les inégalités linéaires

Les inégalités linéaires peuvent être résolues comme des équations linéaires mais selon la règle des inégalités. Les inégalités linéaires peuvent être résolues à l’aide d’opérations algébriques simples.

Inégalités en une ou deux étapes

Les inégalités en une étape sont des inégalités qui peuvent être résolues en une seule étape.

Exemple : Résoudre : 5x <10

Solution:

⇒ 5x <10 [Divisant les deux côtés par 5]

⇒ x <2 ou (-∞, 2)

Les inégalités en deux étapes sont des inégalités qui peuvent être résolues en deux étapes.

Exemple : Résoudre : 4x + 2 ≥ 10

Solution:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [En soustrayant 2 des deux côtés]

⇒ 4x ≥ 8 [Divisant les deux côtés par 4]

⇒ x ≥ 2 ou [2, ∞)

Inégalités composées

Les inégalités composées sont des inégalités qui comportent plusieurs inégalités séparées par et ou ou. Pour résoudre des inégalités composées, résolvez les inégalités séparément, et pour la solution finale effectuez l'intersection des solutions obtenues si les inégalités sont séparées par et et effectuez l'union des solutions obtenues si les inégalités sont séparées par ou.

Exemple : Résoudre : 4x + 6 <10 et 5x + 2 < 12

Solution:

Résolvez d’abord 4x + 6 <10

0,04 en fraction

⇒ 4x + 6 <10 [En soustrayant 6 des deux côtés]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 ou (-∞, 1) —–(i)

Deuxième solution 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [En soustrayant 2 des deux côtés]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 ou (-∞, 2) ——-(ii)

De (i) et (ii) nous avons deux solutions x <1 et x < 2.

Nous prenons l'intersection pour la solution finale car les inégalités sont séparées par et.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

La solution finale pour une inégalité composée donnée est (-∞, 1).

En savoir plus

• Inégalités composées
• Problèmes de mots d'inégalités linéaires
• Inégalité triangulaire

Solvw inégalités quadratiques

Prenons un exemple pour résoudre les inégalités en valeur absolue.

Exemple : Résoudre l'inégalité : x ² – 7x + 6 ≥ 0

Solution:

Voici les étapes pour résoudre les inégalités : x²– 7x + 6 ≥ 0

Étape 1: Écrivez l'inégalité sous forme d'équation :

X²– 7x + 6 = 0

Étape 2: Résous l'équation:

X²– 7x + 6 = 0

X²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 et x = 1

De l'étape ci-dessus, nous obtenons les valeurs x = 6 et x = 1

Étape 3: À partir des valeurs ci-dessus, les intervalles sont (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Puisque l’inégalité est ≥ qui inclut égal à, nous utilisons donc une parenthèse fermée pour les valeurs obtenues.

Étape 4: Représentation numérique des intervalles ci-dessus.

Étape 5 : Prenez des nombres aléatoires entre chaque intervalle et vérifiez s'il satisfait à la valeur. Si cela satisfait, incluez l’intervalle dans la solution.

Pour l'intervalle (-∞, 1], laissez la valeur aléatoire être -1.

Mettre x = -1 dans l'inégalité x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (Vrai)

Pour l'intervalle [1, 6], laissez la valeur aléatoire être 2.

Mettre x = 0 dans l'inégalité x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (Faux)

Pour l'intervalle [6, ∞), laissez la valeur aléatoire être 7.

Mettre x = 7 dans l'inégalité x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (Vrai)

Étape 6 : Donc, la solution de l'inégalité en valeur absolue x²– 7x + 6 ≥ 0 est l'intervalle (-∞, 1] ∪ [6, ∞) car il satisfait l'inégalité qui peut être tracée sur la droite numérique comme suit :

Comment résoudre les inégalités de valeur absolue

Prenons un exemple pour résoudre les inégalités en valeur absolue.

Exemple : Résoudre l'inégalité : |y + 1| ≤ 2

Solution:

Voici les étapes pour résoudre l’inégalité : |y + 1| ≤ 2

Étape 1: Écrivez l'inégalité sous la forme d'une équation :

|y + 1| = 2

Étape 2: Résous l'équation:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 et y + 1 = – 2

y = 1 et y = -3

De l'étape ci-dessus, nous obtenons les valeurs y = 1 et y = -3

Étape 3: À partir des valeurs ci-dessus, les intervalles sont (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Puisque l’inégalité est ≤ qui inclut égal à, nous utilisons donc une parenthèse fermée pour les valeurs obtenues.

Étape 4: Représentation numérique des intervalles ci-dessus.

Étape 5 : Prenez des nombres aléatoires entre chaque intervalle et vérifiez s'il satisfait à la valeur. Si cela satisfait, incluez l’intervalle dans la solution.

Pour l'intervalle (-∞, -3], laissez la valeur aléatoire être -4.

Mettre y = -4 dans l'inégalité |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (Faux)

Pour l'intervalle [-3, 1], laissez la valeur aléatoire être 0.

Mettre y = 0 dans l'inégalité |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (Vrai)

Pour l'intervalle [1, ∞), laissez la valeur aléatoire être 2.

Mettre y = 2 dans l'inégalité |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (Faux)

Étape 6 : Ainsi, la solution de l’inégalité en valeur absolue |y + 1| ≤ 2 est l'intervalle [-3, -1] car il satisfait l'inégalité qui peut être tracée sur la droite numérique comme suit :

Comment résoudre les inégalités rationnelles

Prenons un exemple pour résoudre des inégalités rationnelles.

Exemple : Résoudre l'inégalité : (x + 3) / (x – 1) <2

Solution:

Voici les étapes pour résoudre les inégalités :

Étape 1: Écrivez l'inégalité sous forme d'équation : (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

Étape 2: Résous l'équation:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2(x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

De l'étape ci-dessus, nous obtenons la valeur x = 5

Étape 3: À partir des valeurs ci-dessus, les intervalles sont (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Puisque l’inégalité est

Puisque, pour x = 1, l’inégalité n’est pas définie, nous prenons donc une parenthèse ouverte pour x = 1.

Étape 4: Représentation numérique des intervalles ci-dessus.

Étape 5 : Prenez des nombres aléatoires entre chaque intervalle et vérifiez s'il satisfait à la valeur. Si cela satisfait, incluez l’intervalle dans la solution.

Pour l'intervalle (-∞, 1), laissez la valeur aléatoire être 0.

Mettre x = 0 dans l'inégalité (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (Vrai)

Pour l'intervalle (1, 5), laissez la valeur aléatoire être 2.

Mettre x = 3 dans l'inégalité (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (Faux)

Pour l'intervalle (5, ∞), laissez la valeur aléatoire être 2.

Mettre y = 6 dans l'inégalité (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (Vrai)

Étape 6 : Donc, la solution de l’inégalité en valeur absolue (x + 3) / (x – 1) <2 est l'intervalle (-∞, 1) ∪ (5, ∞) car il satisfait l'inégalité qui peut être tracée sur la droite numérique sous la forme :

Comment résoudre l'inégalité linéaire avec deux variables

Prenons un exemple pour résoudre une inégalité linéaire à deux variables.

Exemple: Résoudre : 20x + 10y ≤ 60

Solution:

Considérons x = 0 et mettons-le dans l'inégalité donnée

⇒ 20x + 10a ≤ 60

⇒ 20(0) + 10 ans ≤ 60

⇒ 10 ans ≤ 60

⇒ et ≤ 6 ——(i)

Maintenant, lorsque x = 0, y peut être compris entre 0 et 6.

De même, mettre des valeurs dans l'inégalité et vérifier qu'elle satisfait l'inégalité.

Pour x = 1, y peut être compris entre 0 et 4.

Pour x = 2, y peut être compris entre 0 et 2.

Pour x = 3, y peut valoir 0.

La solution possible pour une inégalité donnée est (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Systèmes d'inégalités

Les systèmes d'inégalités sont l'ensemble de deux ou plusieurs inégalités avec une ou plusieurs variables. Les systèmes d'inégalités contiennent de multiples inégalités avec une ou plusieurs variables.

Le système d’inégalités est de la forme :

un_onzeX₁+ un₁₂X₂+ un₁₃X₃…….. + un_1nX_{n 1}

un_vingt-et-unX₁+ un₂₂X₂+ un₂₃X₃…….. + un_2nX_{n 2}

un_n1X₁+ un_n2X₂+ un_n3X₃…….. + un_nnX_{n n}

Représentation graphique des systèmes d'inégalités

Le système d'inégalités est un groupe d'inégalités multiples. Tout d’abord, résolvez chaque inégalité et tracez le graphique de chaque inégalité. L'intersection du graphique de toutes les inégalités représente le graphique des systèmes d'inégalités.

Prenons un exemple,

Exemple : Tracer un graphique pour des systèmes d'inégalités

• 2x + 3 ans ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Solution:

Graphique pour 2x + 3a ≤ 6

La région ombrée du graphique représente 2x + 3y ≤ 6

Graphique pour x ≤ 3

La région ombrée représente x ≤ 3

Graphique pour y ≤ 2

La région ombrée représente y ≤ 2

Graphique pour un système d'inégalités donné

La région ombrée représente un système d’inégalités donné.

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Inégalités – FAQ

Qu’est-ce que le concept d’inégalités ?

Les inégalités sont les expressions mathématiques dans lesquelles les LHS et RHS de l'expression sont inégaux.

Quels sont les symboles des inégalités ?

Les symboles des inégalités sont :>, <, ≥, ≤ et ≠.

Quelle est la propriété transitive des inégalités ?

La propriété transitive des inégalités stipule que si a, b, c sont trois nombres alors,

• Si a> b et b> c, alors a> c
• Si un
• Si a ≥ b et b ≥ c, alors a ≥ c
• Si a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c