En géométrie, les angles complémentaires peuvent être définis comme les angles dont la somme est de 90 degrés. Par exemple, 39° et 51° sont des angles complémentaires, puisque la somme de 39° et 51° fait 90°. Si la somme de deux angles est un angle droit, alors on peut dire que ce sont des angles complémentaires. Mais qu'est-ce qu'un angle ? En géométrie, un angle est appelé l'espace formé entre deux rayons lorsqu'ils sont réunis par un point commun appelé sommet. Si θ est un angle, alors (90° – θ) est l'angle complémentaire de θ.

Pour que deux angles soient complémentaires, leur somme doit être de 90 degrés, c'est-à-dire que les deux angles doivent être aigus. Si θ est un angle, alors (90° – θ) est l'angle complémentaire de θ.

Types d'angles complémentaires

Deux angles sont dits complémentaires si leur somme vaut 90°. En géométrie, il existe deux types d'angles complémentaires, c'est-à-dire les angles complémentaires adjacents et les angles complémentaires non adjacents.

Angles complémentaires adjacents : Deux angles complémentaires ayant un sommet commun et un bras commun sont appelés angles complémentaires adjacents.

À partir de la figure donnée, nous pouvons dire que ∠QEF et ∠DEQ sont des angles adjacents, car les deux angles partagent le sommet commun E et le bras commun EQ. Puisque ∠QEF + ∠DEQ = 17° + 73° = 90°, ∠QEF et ∠DEQ sont également des angles complémentaires. Les deux angles donnés sont donc des angles complémentaires adjacents.

Angles complémentaires non adjacents : Deux angles sont dits angles non adjacents s’ils ne partagent pas un sommet commun ni un bras commun. Les angles complémentaires non adjacents sont des angles complémentaires qui ne sont pas adjacents les uns aux autres.

rotation de l'arbre avl

À partir de la figure donnée, nous pouvons dire que ∠XYZ et ∠ABC sont des angles non adjacents, car les deux angles ne partagent pas de sommet ni de bras communs. ∠XYZ et ∠ABC sont également des angles complémentaires puisque leur somme est de 90°, soit ∠XYZ + ∠ABC = 57° + 33° = 90°. Par conséquent, les deux angles donnés sont des angles complémentaires non adjacents.

Théorème des angles complémentaires

Le théorème des angles complémentaires stipule que Si deux angles sont complémentaires d’un troisième angle, alors les deux premiers angles sont congrus l’un à l’autre.

Preuve:

Supposons que ∠COB soit complémentaire de ∠BOA et ∠DOC.

De la définition des angles complémentaires on obtient,

∠COB + ∠BOA = 90° ————— (1)

∠COB + ∠DOC = 90° ————— (2)

À partir des équations (1) et (2), nous pouvons dire que,

∠COB + ∠BOA = ∠COB + ∠DOC

⇒ ∠COB + ∠BOA – ∠COB – ∠DOC = 0

⇒ ∠BOA – ∠DOC = 0

⇒ ∠BOA = ∠DOC

Le théorème est donc prouvé.

Propriétés des angles complémentaires

Discutons de quelques propriétés des angles complémentaires.

1. Deux angles sont dits complémentaires s’ils totalisent 90°.
2. Les deux angles complémentaires peuvent être soit adjacents, soit non adjacents.
3. Un angle est dit complémentaire d’un autre angle si la somme des deux angles est de 90°.
4. Même si la somme de trois angles ou plus est de 90°, ils ne peuvent pas être complémentaires.
5. Les deux angles complémentaires sont aigus.

Trouver le complément d'un angle

Pour trouver le complémentaire d’un angle, il faut soustraire l’angle donné de 90°, car on sait que la somme de deux angles complémentaires est de 90°. Si θ est l'angle donné, alors (90° – θ) est le complément de θ.

Par exemple, calculez le complément de 17°.

On sait que la somme de deux angles complémentaires est 90°.

En conséquence, le complément de 17° est (90° – 17°) = 73°.

Le complément de 17° est donc 73°.

Différence entre angles complémentaires et supplémentaires

Problèmes résolus

Problème 1 : Calculer les valeurs des deux angles complémentaires, A et B, si A = (2x – 18)° et B = (5x – 52)°.

Solution:

Compte tenu des données,

∠A = (2x – 18)° et ∠B = (5x – 52)°

Nous savons que,

Somme de deux angles complémentaires = 90°

∠A + ∠B = 90°

⇒ (2x – 18)° + (5x – 52)° = 90°

⇒ 7x – 70° = 90°

⇒ 7x = 90° + 70° = 160°

⇒ x = 160°/7 = 22,85°

Maintenant,

∠A = (2 × (22,857) – 18) = 27,714°

∠B = (5 × (22,857) – 52) = 62,286°

Par conséquent, ∠A = 27,714° et ∠B = 62,286°.

Problème 2 : Déterminer la valeur de x si (5x/3) et (x/6) sont des angles complémentaires.

Solution:

Compte tenu des données,

(5x/3) et (x/6) sont des angles complémentaires.

Nous savons que,

Somme de deux angles complémentaires = 90°

⇒ (5x/3) + (x/6) = 90°

⇒ (10x + x)/6 = 90°

⇒ 11x = 90° × 6 = 540°

⇒ x = 540°/11 = 49,09°

D’où la valeur de x = 49,09°.

Problème 3 : Trouvez la valeur de x dans la figure ci-dessous.

Solution:

À partir de la figure donnée, nous pouvons observer que x et 54° sont des angles complémentaires, c'est-à-dire que la somme de x et 54° est 90°.

⇒ x + 54° = 90°

⇒ x = 90° – 54° = 36°

La valeur de x est donc de 36°.

Problème 4 : Trouver la valeur de y et la mesure des angles dans la figure donnée.

Solution:

À partir de la figure donnée, nous pouvons observer que (2y – 15)° et (3y – 25)° sont des angles complémentaires, c’est-à-dire que la somme de (2y – 15)° et (3y – 25)° est de 90°.

⇒ (2a – 15)° + (3a – 25)° = 90°

⇒ (5 ans – 40)° = 90°

classe abstraite vs interface

⇒ 5 ans = 90° + 40° = 130°

⇒ y = 130°/5 = 26°

Maintenant, (2y – 15)° = ( 2 × 26 – 15) = 37°

(3 ans – 25)° = (3 × 26 – 15) = 53°

La valeur de y est donc de 26° et les angles complémentaires sont de 37° et 53°.

Problème 5 : Déterminer la valeur de x et la mesure des angles complémentaires dans la figure ci-dessous.

Solution:

Étant donné que (x – 3)° et (2x – 7)° sont des angles complémentaires, c’est-à-dire que la somme de (x – 3)° et (2x – 7)° est de 90°.

⇒ (x – 3)° + (2x – 7)° = 90°

⇒ (3x – 10)° = 90°

⇒ 3x = 90° + 10° = 100°

⇒ x = 100°/3 = 33,34°

Maintenant, (x – 3)° = (33,333- 3)° = 30,333° = 30,33°

(2x – 7)° = (2 x (33,333) – 7)° = 59,666° = 59,67°

Ainsi, la valeur de x est de 33,333° et les trois angles complémentaires sont de 30,33° et 59,67°.