L'algorithme euclidien est un moyen de trouver le plus grand commun diviseur de deux entiers positifs. Le PGCD de deux nombres est le plus grand nombre qui les divise tous les deux. Un moyen simple de trouver GCD consiste à factoriser les deux nombres et à multiplier les facteurs premiers communs.
Algorithme euclidien de base pour GCD :
L'algorithme est basé sur les faits ci-dessous.
- Si nous soustrayons un nombre plus petit d’un nombre plus grand (nous réduisons un nombre plus grand), GCD ne change pas. Donc, si nous continuons à soustraire à plusieurs reprises le plus grand de deux, nous obtenons GCD.
- Maintenant, au lieu de soustraire, si nous divisons le plus petit nombre, l'algorithme s'arrête lorsque nous trouvons le reste 0.
Vous trouverez ci-dessous une fonction récursive pour évaluer pgcd à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
C
// C program to demonstrate Basic Euclidean Algorithm> #include> // Function to return gcd of a and b> int> gcd(>int> a,>int> b)> {> >if> (a == 0)> >return> b;> >return> gcd(b % a, a);> }> // Driver code> int> main()> {> >int> a = 10, b = 15;> > >// Function call> >printf>(>'GCD(%d, %d) = %d
'>, a, b, gcd(a, b));> >a = 35, b = 10;> >printf>(>'GCD(%d, %d) = %d
'>, a, b, gcd(a, b));> >a = 31, b = 2;> >printf>(>'GCD(%d, %d) = %d
'>, a, b, gcd(a, b));> >return> 0;> }> |
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RPC
// C++ program to demonstrate> // Basic Euclidean Algorithm> #include> using> namespace> std;> // Function to return> // gcd of a and b> int> gcd(>int> a,>int> b)> {> >if> (a == 0)> >return> b;> >return> gcd(b % a, a);> }> // Driver Code> int> main()> {> >int> a = 10, b = 15;> > >// Function call> >cout <<>'GCD('> << a <<>', '> << b <<>') = '> << gcd(a, b)> ><< endl;> >a = 35, b = 10;> >cout <<>'GCD('> << a <<>', '> << b <<>') = '> << gcd(a, b)> ><< endl;> >a = 31, b = 2;> >cout <<>'GCD('> << a <<>', '> << b <<>') = '> << gcd(a, b)> ><< endl;> >return> 0;> }> |
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booléen en c
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Java
// Java program to demonstrate Basic Euclidean Algorithm> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> class> GFG {> >// extended Euclidean Algorithm> >public> static> int> gcd(>int> a,>int> b)> >{> >if> (a ==>0>)> >return> b;> >return> gcd(b % a, a);> >}> >// Driver code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >int> a =>10>, b =>15>, g;> > >// Function call> >g = gcd(a, b);> >System.out.println(>'GCD('> + a +>' , '> + b> >+>') = '> + g);> >a =>35>;> >b =>10>;> >g = gcd(a, b);> >System.out.println(>'GCD('> + a +>' , '> + b> >+>') = '> + g);> >a =>31>;> >b =>2>;> >g = gcd(a, b);> >System.out.println(>'GCD('> + a +>' , '> + b> >+>') = '> + g);> >}> }> // Code Contributed by Mohit Gupta_OMG> |
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Python3
# Python3 program to demonstrate Basic Euclidean Algorithm> # Function to return gcd of a and b> def> gcd(a, b):> >if> a>=>=> 0>:> >return> b> >return> gcd(b>%> a, a)> # Driver code> if> __name__>=>=> '__main__'>:> >a>=> 10> >b>=> 15> >print>(>'gcd('>, a,>','>, b,>') = '>, gcd(a, b))> >a>=> 35> >b>=> 10> >print>(>'gcd('>, a,>','>, b,>') = '>, gcd(a, b))> >a>=> 31> >b>=> 2> >print>(>'gcd('>, a,>','>, b,>') = '>, gcd(a, b))> # Code Contributed By Mohit Gupta_OMG> |
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C#
// C# program to demonstrate Basic Euclidean Algorithm> using> System;> class> GFG {> >public> static> int> gcd(>int> a,>int> b)> >{> >if> (a == 0)> >return> b;> >return> gcd(b % a, a);> >}> >// Driver Code> >static> public> void> Main()> >{> >int> a = 10, b = 15, g;> >g = gcd(a, b);> >Console.WriteLine(>'GCD('> + a +>' , '> + b> >+>') = '> + g);> >a = 35;> >b = 10;> >g = gcd(a, b);> >Console.WriteLine(>'GCD('> + a +>' , '> + b> >+>') = '> + g);> >a = 31;> >b = 2;> >g = gcd(a, b);> >Console.WriteLine(>'GCD('> + a +>' , '> + b> >+>') = '> + g);> >}> }> // This code is contributed by ajit> |
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PHP
// php program to demonstrate Basic Euclidean Algorithm> // PHP program to demonstrate // Basic Euclidean Algorithm // Function to return // gcd of a and b function gcd($a, $b) { if ($a == 0) return $b; return gcd($b % $a, $a); } // Driver Code $a = 10; $b = 15; // Function call echo 'GCD(',$a,',' , $b,') = ', gcd($a, $b); echo '
'; $a = 35; $b = 10; echo 'GCD(',$a ,',',$b,') = ', gcd($a, $b); echo '
'; $a = 31; $b = 2; echo 'GCD(',$a ,',', $b,') = ', gcd($a, $b); // This code is contributed by m_kit ?>> |
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Javascript
// JavaScript program to demonstrate> // Basic Euclidean Algorithm> // Function to return> // gcd of a and b> function> gcd( a, b)> {> >if> (a == 0)> >return> b;> >return> gcd(b % a, a);> }> // Driver Code> >let a = 10, b = 15;> >document.write(>'GCD('> + a +>', '> >+ b +>') = '> + gcd(a, b) +>' '>);> > >a = 35, b = 10;> >document.write(>'GCD('> + a +>', '> >+ b +>') = '> + gcd(a, b) +>' '>);> > >a = 31, b = 2;> >document.write(>'GCD('> + a +>', '> >+ b +>') = '> + gcd(a, b) +>' '>);> // This code contributed by aashish1995> |
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tableau java à listerSortir
GCD(10, 15) = 5 GCD(35, 10) = 5 GCD(31, 2) = 1>
Complexité temporelle : O (Log min (a, b))
Espace auxiliaire : O (Journal (min (a, b))
Algorithme euclidien étendu :
L'algorithme euclidien étendu trouve également des coefficients entiers x et y tels que : ax + by = pgcd(a, b)
Exemples:
Saisir: une = 30, b = 20
Sortir: pgcd = 10, x = 1, y = -1
(Notez que 30*1 + 20*(-1) = 10)Saisir: une = 35, b = 15
Sortir: pgcd = 5, x = 1, y = -2
(Notez que 35*1 + 15*(-2) = 5)
L'algorithme euclidien étendu met à jour les résultats de pgcd(a, b) en utilisant les résultats calculés par l'appel récursif pgcd(b%a, a). Soit x les valeurs de x et y calculées par l'appel récursif1Andy1. x et y sont mis à jour à l'aide des expressions ci-dessous.
Pratique recommandée Algorithme euclidien étendu Essayez-le !hache + par = pgcd(a, b)
pgcd(a, b) = pgcd(b%a, a)
pgcd(b%a, a) = (b%a)x1+ est1
hache + par = (b%a)x1+ est1
hache + par = (b – [b/a] * a)x1+ est1
hache + par = a(y1– [b/a] * x1) + boîte1En comparant LHS et RHS,
x = oui1– ?b/a? * X1
y = x1
Vous trouverez ci-dessous une implémentation de l’approche ci-dessus :
C++
// C++ program to demonstrate working of> // extended Euclidean Algorithm> #include> using> namespace> std;> // Function for extended Euclidean Algorithm> int> gcdExtended(>int> a,>int> b,>int> *x,>int> *y)> {> >// Base Case> >if> (a == 0)> >{> >*x = 0;> >*y = 1;> >return> b;> >}> >int> x1, y1;>// To store results of recursive call> >int> gcd = gcdExtended(b%a, a, &x1, &y1);> >// Update x and y using results of> >// recursive call> >*x = y1 - (b/a) * x1;> >*y = x1;> >return> gcd;> }> // Driver Code> int> main()> {> >int> x, y, a = 35, b = 15;> >int> g = gcdExtended(a, b, &x, &y);> >cout <<>'GCD('> << a <<>', '> << b> ><<>') = '> << g << endl;> >return> 0;> }> |
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C
// C program to demonstrate working of extended> // Euclidean Algorithm> #include> // C function for extended Euclidean Algorithm> int> gcdExtended(>int> a,>int> b,>int> *x,>int> *y)> {> >// Base Case> >if> (a == 0)> >{> >*x = 0;> >*y = 1;> >return> b;> >}> >int> x1, y1;>// To store results of recursive call> >int> gcd = gcdExtended(b%a, a, &x1, &y1);> >// Update x and y using results of recursive> >// call> >*x = y1 - (b/a) * x1;> >*y = x1;> >return> gcd;> }> // Driver Program> int> main()> {> >int> x, y;> >int> a = 35, b = 15;> >int> g = gcdExtended(a, b, &x, &y);> >printf>(>'gcd(%d, %d) = %d'>, a, b, g);> >return> 0;> }> |
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Java
// Java program to demonstrate working of extended> // Euclidean Algorithm> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> class> GFG {> >// extended Euclidean Algorithm> >public> static> int> gcdExtended(>int> a,>int> b,>int> x,> >int> y)> >{> >// Base Case> >if> (a ==>0>) {> >x =>0>;> >y =>1>;> >return> b;> >}> >int> x1 =>1>,> >y1 =>1>;>// To store results of recursive call> >int> gcd = gcdExtended(b % a, a, x1, y1);> >// Update x and y using results of recursive> >// call> >x = y1 - (b / a) * x1;> >y = x1;> >return> gcd;> >}> >// Driver Program> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >int> x =>1>, y =>1>;> >int> a =>35>, b =>15>;> >int> g = gcdExtended(a, b, x, y);> >System.out.print(>'gcd('> + a +>' , '> + b> >+>') = '> + g);> >}> }> |
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Python3
où se trouve la touche Insérer sur le clavier d'un ordinateur portable
# Python program to demonstrate working of extended> # Euclidean Algorithm> # function for extended Euclidean Algorithm> def> gcdExtended(a, b):> ># Base Case> >if> a>=>=> 0>:> >return> b,>0>,>1> >gcd, x1, y1>=> gcdExtended(b>%> a, a)> ># Update x and y using results of recursive> ># call> >x>=> y1>-> (b>/>/>a)>*> x1> >y>=> x1> >return> gcd, x, y> # Driver code> a, b>=> 35>,>15> g, x, y>=> gcdExtended(a, b)> print>(>'gcd('>, a,>','>, b,>') = '>, g)> |
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C#
// C# program to demonstrate working> // of extended Euclidean Algorithm> using> System;> class> GFG> {> > >// extended Euclidean Algorithm> >public> static> int> gcdExtended(>int> a,>int> b,> >int> x,>int> y)> >{> >// Base Case> >if> (a == 0)> >{> >x = 0;> >y = 1;> >return> b;> >}> >// To store results of> >// recursive call> >int> x1 = 1, y1 = 1;> >int> gcd = gcdExtended(b % a, a, x1, y1);> >// Update x and y using> >// results of recursive call> >x = y1 - (b / a) * x1;> >y = x1;> >return> gcd;> >}> > >// Driver Code> >static> public> void> Main ()> >{> >int> x = 1, y = 1;> >int> a = 35, b = 15;> >int> g = gcdExtended(a, b, x, y);> >Console.WriteLine(>'gcd('> + a +>' , '> +> >b +>') = '> + g);> >}> }> |
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PHP
// PHP program to demonstrate // working of extended // Euclidean Algorithm // PHP function for // extended Euclidean // Algorithm function gcdExtended($a, $b, $x, $y) { // Base Case if ($a == 0) { $x = 0; $y = 1; return $b; } // To store results // of recursive call $gcd = gcdExtended($b % $a, $a, $x, $y); // Update x and y using // results of recursive // call $x = $y - floor($b / $a) * $x; $y = $x; return $gcd; } // Driver Code $x = 0; $y = 0; $a = 35; $b = 15; $g = gcdExtended($a, $b, $x, $y); echo 'gcd(',$a; echo ', ' , $b, ')'; echo ' = ' , $g; ?>> |
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Javascript
> // Javascript program to demonstrate> // working of extended> // Euclidean Algorithm> // Javascript function for> // extended Euclidean> // Algorithm> function> gcdExtended(a, b,> >x, y)> {> >// Base Case> >if> (a == 0)> >{> >x = 0;> >y = 1;> >return> b;> >}> >// To store results> >// of recursive call> >let gcd = gcdExtended(b % a,> >a, x, y);> >// Update x and y using> >// results of recursive> >// call> >x = y - (b / a) * x;> >y = x;> >return> gcd;> }> // Driver Code> let x = 0;> let y = 0;> let a = 35;> let b = 15;> let g = gcdExtended(a, b, x, y);> document.write(>'gcd('> + a);> document.write(>', '> + b +>')'>);> document.write(>' = '> + g);> > |
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Sortir :
gcd(35, 15) = 5>
Complexité temporelle : O (log N)
Espace auxiliaire : O (log N)
Comment fonctionne l’algorithme étendu ?
Comme vu ci-dessus, x et y sont les résultats des entrées a et b,
a.x + b.y = pgcd —-(1)
Et x1Andy1sont des résultats pour les entrées b%a et a
(b%a).x1+ a.y1= pgcd
Quand on met b%a = (b – (?b/a?).a) ci-dessus,
nous suivons. Notez que ?b/a? est le sol (b/a)(b – (?b/a?).a).x1+ a.y1= pgcd
L'équation ci-dessus peut également être écrite comme ci-dessous
b.x1+ a.(et1– (?b/a?).x1) = pgcd —(2)
Après avoir comparé les coefficients de « a » et « b » dans (1) et
(2), nous obtenons la suite,
x = oui1– ?b/a? * X1
y = x1
En quoi l’algorithme étendu est-il utile ?
L'algorithme euclidien étendu est particulièrement utile lorsque a et b sont premiers entre eux (ou que pgcd vaut 1). Puisque x est l'inverse multiplicatif modulaire de a modulo b, et y est l'inverse multiplicatif modulaire de b modulo a. En particulier, le calcul de l’inverse multiplicatif modulaire est une étape essentielle de la méthode de chiffrement à clé publique RSA.