La corde d'un cercle est la ligne qui relie deux points quelconques sur la circonférence du cercle. Un cercle peut avoir différentes cordes et la plus grande corde d'un cercle est le diamètre du cercle. Nous pouvons facilement calculer la longueur de la corde à l’aide de la formule de longueur de corde. Comme son nom l'indique, il s'agit de la formule permettant de calculer la longueur de la corde dans un cercle en géométrie.

Dans cet article, nous découvrirons la définition de la corde, les théorèmes des cordes et du cercle, expliquerons ses propriétés et les formules pour calculer la longueur de la corde en utilisant différentes méthodes. L'article contient également quelques exemples de problèmes résolus pour une meilleure compréhension.

Table des matières

• Définition du cercle
• Définition de la corde d'un cercle
• Qu'est-ce que la formule de longueur d'accord ?
• Théorèmes de la corde d'un cercle
• Propriétés des accords d'un cercle
• Problèmes résolus
• FAQ

Définition du cercle

Un cercle est une forme ronde parfaite composée de tous les points d’un plan placés à une distance donnée d’un point donné. Ils consistent en une ligne courbe fermée autour d’un point central. Les points présents sur la ligne sont à la même distance du point central. La distance au centre d’un cercle s’appelle un rayon.

Définition de la corde d'un cercle

Le segment de droite qui relie deux points quelconques sur la circonférence du cercle est appelé corde d’un cercle. Comme le diamètre relie également les deux points de la circonférence d'un cercle, c'est aussi une corde d'un cercle. En fait, le diamètre est la corde la plus longue du cercle. En d’autres termes, la corde est un segment de droite dont les deux extrémités se trouvent sur la circonférence d’un cercle. L’illustration suivante peut nous aider à mieux comprendre.

Qu'est-ce que la formule de longueur d'accord ?

Il existe deux méthodes ou formules de base pour calculer la longueur de la corde. une longueur de corde peut être déterminée en utilisant la distance perpendiculaire au centre du cercle ainsi que par la méthode trigonométrique. Ainsi, la longueur d'une corde peut être trouvée

• Utiliser le théorème de Pythagore
• Utiliser la loi des cosinus

Comprenons ces méthodes en détail comme suit :

Méthode 1 : Utilisation du théorème de Pythagore

Dans le diagramme suivant pour une corde, comme nous le savons, la perpendiculaire tracée du centre du cercle à la corde la coupe en deux moitiés.

Dans les triangles OAM, en utilisant Théorème de Pythagore ,

r²=x²+d²

⇒x²=r²- d²

⇒x = √(r²- d²)

Comme x est la moitié de la longueur de la corde,

Ainsi, la longueur de corde de tout cercle dont la distance perpendiculaire au centre est connue est donnée par

java main

Longueur d'une corde d'un cercle = 2 ×[√(r ² - d ² )]

Où,

• r est le rayon du cercle, et
• d est la distance perpendiculaire entre le centre du cercle et la corde.

Méthode 2 : Utiliser la loi des cosinus

Comme on le sait pour un triangle ABC, de côtés a, b et c, le Loi du cosinus États,

c ² = un ² + b ² – 2ab cosC

En utilisant cette loi dans le diagramme suivant d’une corde sous-tendant l’angle θ au centre du cercle, nous pouvons trouver la longueur de la corde.

Dans le triangle OAB, en utilisant la loi du cosinus,

⇒x²=r²+r²– 2 × r × r × cos θ

⇒x²= 2r²– 2r²cos θ

⇒x²= 2r²(1- cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Ainsi, la longueur de la corde est donnée par :

Longueur de la corde = 2r × sin [θ/2]

Où,

• je est l'angle sous-tendu par la corde au centre, et
• r est le rayon du cercle.

Autre formule connexe pour la longueur de la corde

Lorsque deux cercles partagent une corde commune, la longueur de cette corde commune peut être calculée à l'aide de la formule

Longueur d'une corde commune de deux cercles = 2R ₁ ×R ₂ / D

Où,

• R. ₁ et R. ₂ fait référence au rayon des cercles
• D est la distance entre les deux centres du cercle

Théorèmes de la corde d'un cercle

La corde du cercle sous-tend l'angle au centre du cercle, ce qui nous aide à prouver divers concepts dans le cercle. Il existe différents théorèmes basés sur la corde d'un cercle,

• Théorème 1 : Théorème des accords égaux et des angles égaux
• Théorème 2 : Théorème d'angles égaux et d'accords égaux (converse du théorème 1)
• Théorème 3 : Accords égaux équidistants du théorème du centre

Maintenant, discutons de la même chose dans l'article ci-dessous.

Théorème 1 : Théorème des accords égaux et des angles égaux

Déclarations : Des accords égaux sous-tendent des angles égaux au centre du cercle, c'est-à-dire que l'angle sous-tendu par la corde est égal si la corde est égale.

Preuve:

D'après la figure,

En ∆AOB et ∆DOC

• AB = CD …eq(i) (Donné)
• OA = OD …eq(ii) (Rayon du Cercle)
• OB = OC…eq(iii) (rayon du cercle)

Ainsi, selon les conditions de congruence SSS, le Triangle ∆AOB et ∆COD sont congrus.

Ainsi,

∠AOB = ∠DOC (Par CPCT)

Le théorème est donc vérifié.

Théorème 2 : Théorème des angles égaux et des accords égaux (converse du théorème 1)

Déclaration: Les cordes sous-tendant des angles égaux au centre d’un cercle sont de même longueur. C’est l’inverse du premier théorème.

D'après la figure,

En ∆AOB et ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (Donné)
• OA = OD …eq(ii) (Rayon du Cercle)
• OB = OC…eq(iii) (rayon du cercle)

Ainsi, selon les conditions de congruence SAS, le Triangle ∆AOB et ∆COD sont congrus.

Ainsi,

AB = CD (Par CPCT)

Le théorème est donc vérifié.

Théorème 3 : Accords égaux équidistants du théorème du centre

Déclaration: Les cordes égales sont équidistantes du centre, c'est-à-dire que la distance entre le centre du cercle et la corde égale est toujours égale.

D'après la figure,

PowerShell inférieur ou égal à

Dans ∆AOL et ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 degrés)
• OA = OC …eq(ii) (rayon du cercle)
• OL = OM …eq(iii) (Donné)

Ainsi, selon les conditions de congruence RHS, le Triangle ∆AOB et ∆COD sont congrus.

Ainsi,

AL = CM (Par CPCT)…(iv)

Or, nous savons que la perpendiculaire tirée du centre coupe les cordes en deux.

De l'équation (iv)

2AL=2CM

AB = CD

Le théorème est donc vérifié.

Propriétés des accords d'un cercle

Il existe différentes propriétés des accords dans un cercle, certaines de ces propriétés sont les suivantes :

• Une corde qui passe par le centre d’un cercle s’appelle un diamètre et c’est la corde la plus longue du cercle.
• La perpendiculaire à une corde, tirée du centre du cercle, coupe la corde en deux.
• Les cordes équidistantes du centre d’un cercle sont de même longueur.
• Il n’existe qu’un seul cercle passant par trois points colinéaires.
• Des accords de longueur égale sous-tendent des angles égaux au centre d’un cercle.
• La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle.
• Si un rayon est perpendiculaire à une corde, alors il coupe la corde en deux et l'arc qu'il intercepte. C’est ce qu’on appelle le théorème de la médiatrice.
• Lorsque les angles sous-tendus par une corde sont égaux, alors la longueur des cordes est également égale.
• Si deux cordes d'un cercle se coupent, alors le produit des segments d'une corde est égal au produit des segments de l'autre corde. C’est ce qu’on appelle le théorème des accords qui se croisent.
• L'angle sous-tendu par une corde au centre est le double de l'angle sous-tendu par la corde à la circonférence.

En savoir plus,

• Équation d'un cercle
• Aire d'un cercle
• Circonférence du cercle

Problèmes résolus sur la corde d'un cercle

Problème 1 : Un cercle est un angle de 70 degrés dont le rayon est de 5 cm. Calculez la longueur de corde du cercle.

Solution:

Donné

• Rayon = 5 cm
• Angle = 70°

Maintenant,

java point java

longueur de corde = 2R × Sin [angle/2]

= 2 × 5 × péché [70/2]

= 10 × péché35°

= 10 × 0,5736

= 5,73 cm

Problème 2 : En cercle , le rayon est de 7 cm et la distance perpendiculaire du centre du cercle à ses cordes est de 6 cm. Calculez la longueur de la corde.

Solution:

Donné

• Rayon = 7 cm
• Distance = 6 cm

Maintenant,

Longueur de la corde = 2 √r²- d²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49- 36

= 2 √13cm

Problème 3 : Un cercle est un angle de 60 degrés dont le rayon est de 12 cm. Calculez la longueur de corde du cercle.

Solution:

Donné

• Rayon = 12 cm
• Angle = 60°

Maintenant,

longueur de corde = 2R × Sin [angle/2]

⇒ 2 × 12 × péché [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24 × 0,5

⇒ 12 cm

Problème 4 : Dans un cercle, le rayon est de 16 cm et la distance perpendiculaire du centre du cercle à ses cordes est de 5 cm. Calculez la longueur de la corde.

Solution:

Donné

• Rayon = 16 cm
• Distance = 5 cm

Maintenant,

Longueur de la corde = 2 √r²- d²

⇒ 2 √(16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256-25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15,1

⇒ 30,2 cm

Problème 6 : Calculez la longueur d'une corde commune entre les cercles de rayon respectivement 6 cm et 5 cm. Et la distance entre les deux centres a été mesurée à 8 cm.

Solution:

Donné

Distance entre les deux centres = 8 cm

Le rayon des deux cercles est R₁et R₂avec des longueurs respectivement de 6 cm et 5 cm

Maintenant,

Longueur d'une corde commune de deux cercles = (2R₁×R₂) / Distance entre deux centres de cercles

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

FAQ sur la corde d'un cercle

Définir l'accord.

Un segment de ligne joignant deux points sur la circonférence du cercle est appelé corde.

Qu'est-ce que la formule de longueur d'accord ?

La formule de longueur de corde calcule la longueur d'une corde dans un cercle.

La longueur d’une corde peut-elle être supérieure au diamètre d’un cercle ?

Non, la longueur d’une corde ne peut pas être supérieure au diamètre puisque le diamètre est la corde la plus longue du cercle.

Comment la longueur d’une corde est-elle affectée si elle est plus proche du centre du cercle ?

À mesure que la corde se rapproche du centre du cercle, sa longueur se rapproche de la longueur maximale, c'est-à-dire du diamètre.

Comment la longueur d’une corde est-elle affectée si elle est plus proche du bord du cercle ?

À mesure que la corde s’approche du bord du cercle, sa longueur se rapproche de 0. Ainsi, la longueur de la corde et sa distance par rapport au bord ont une relation inverse.

Quelle est la relation entre la longueur de la corde et l’angle central d’un cercle ?

La relation entre la longueur de la corde e et l'angle au centre d'un cercle est la suivante :

Longueur de la corde = 2r × sin [θ/2]

Où,

• je est l'angle sous-tendu par la corde au centre, et
• r est le rayon du cercle.

La formule de longueur de corde peut-elle être utilisée pour n’importe quel cercle ?

Oui, la formule de longueur de corde peut être utilisée pour n'importe quel cercle, à condition que le rayon et l'angle central soient connus.

Le diamètre est-il une corde d’un cercle ?

Oui, le diamètre est la corde d'un cercle. C'est la corde la plus longue possible d'un cercle. Il est égal à deux fois le rayon du cercle.

D = 2r

cadre de collections Java

Où,

• D est le diamètre du cercle
• r est le rayon du cercle