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Formulaire d'échelon de ligne

Une matrice est sous forme Row Echelon si elle possède les propriétés suivantes :

  • Toute ligne composée entièrement de zéros apparaît au bas de la matrice.
  • Pour chaque ligne qui ne contient pas entièrement de zéros, la première entrée non nulle est 1 (appelée 1 en tête).
  • Pour deux lignes successives (différentes de zéro), le premier 1 de la rangée supérieure est plus à gauche que celui de tête de la rangée inférieure.

Pour une forme d'échelon de ligne réduite, le premier 1 de chaque ligne contient 0 en dessous et au-dessus de son dans cette colonne.



Vous trouverez ci-dessous un exemple de formulaire en ligne :

egin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 end{bmatrix}

et forme réduite en échelon de rangée :



egin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

N'importe quelle matrice peut être transformée sous forme d'échelons de lignes réduits, en utilisant une technique appelée élimination gaussienne. Ceci est particulièrement utile pour résoudre des systèmes d’équations linéaires.

Élimination gaussienne

L'élimination gaussienne est un moyen de convertir une matrice sous la forme d'échelons de lignes réduits. Il peut également être utilisé pour trouver une solution à un système d’équations linéaires. L'idée derrière cela est que nous effectuons des opérations mathématiques sur la ligne et continuons jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une seule variable.



Voici quelques opérations que nous pouvons effectuer :

  • Échangez deux lignes quelconques
  • Ajoutez deux lignes ensemble.
  • Multipliez une ligne par une constante non nulle (c'est-à-dire 1/3, -1/5, 2).

Étant donné l’équation linéaire suivante :

x - 2y + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7y + z = -2

et la matrice augmentée ci-dessus

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

Maintenant, nous devons convertir cela sous la forme d’échelon de ligne. Pour convertir cela sous forme d'échelon de ligne, nous devons effectuer une élimination gaussienne.

  • Tout d’abord, nous devons soustraire 2*r1du r2et 4*r1du r3pour obtenir le 0 à la première place de r2et r3.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

  • Ensuite, nous allons échanger les lignes r2 et r3 et ensuite soustraire 5*r2de r3pour obtenir le deuxième 0 de la troisième ligne.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

  • Maintenant, on peut en déduire la valeur Avec de r3,c'est-à-dire 10 z =0 ⇾ z=0. A l'aide de la valeur de z =0, on peut le mettre à r2, y = 2. De même, on peut mettre la valeur de y et z dans r1et on obtient une valeur de x=3

Rang de la matrice

Le rang de la matrice est le nombre de lignes non nulles dans la forme échelonnée de lignes. Pour trouver le classement, nous devons effectuer les étapes suivantes :

  • Trouver la forme d'échelon de ligne de la matrice donnée
  • Comptez le nombre de lignes non nulles.

Prenons un exemple de matrice :

egin{bmatrix} 4 & 0 & 1 2 & 0 & 2 3 & 0 & 3 end{bmatrix}

Maintenant, nous réduisons la matrice ci-dessus sous forme d'échelon de ligne

egin{bmatrix} 1 & 0 & frac{1}{4} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Ici, seules deux lignes contiennent des éléments non nuls. Le rang de la matrice est donc 2.

Mise en œuvre

  • Pour convertir une matrice sous forme d'échelon de ligne réduit, nous avons utilisé le package Sympy en python, nous devons d'abord l'installer.

python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())> 
>
>

Sortir: 

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>