Un graphe est dit planaire s’il peut être dessiné dans un plan de telle sorte qu’aucune arête ne se croise.

Exemple: Le graphique montré sur la figure est un graphique plan.

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Région d'un graphique : Considérons un graphe planaire G = (V, E). Une région est définie comme une zone du plan délimitée par des arêtes et qui ne peut pas être davantage subdivisée. Un graphe planaire divise les plans en une ou plusieurs régions. L'une de ces régions sera infinie.

Région finie : Si l’aire de la région est finie, alors cette région est appelée région finie.

Région infinie : Si l’aire de la région est infinie, cette région est appelée région infinie. Un graphe planaire n'a qu'une seule région infinie.

Exemple: Considérez le graphique présenté sur la figure. Déterminez le nombre de régions, de régions finies et d'une région infinie.

Solution: Il y a cinq régions dans le graphique ci-dessus, c'est-à-dire r₁,r₂,r₃,r₄,r₅.

Il y a quatre régions finies dans le graphique, c'est-à-dire r₂,r₃,r₄,r₅.

Il n’existe qu’une seule région finie, c’est-à-dire r₁

Propriétés des graphiques planaires :

1. Si un graphe planaire connecté G a e arêtes et r régions, alors r ≦ C'est.
2. Si un graphe planaire connecté G a e arêtes, v sommets et r régions, alors v-e+r=2.
3. Si un graphe planaire connecté G a e arêtes et v sommets, alors 3v-e≧6.
4. Un graphique K complet_nest un plan si et seulement si n<5.< li>
5. Un graphe biparti complet K_minuteest plan si et seulement si m3.

Exemple: Montrer que le graphe complet K₄est planaire.

Solution: Le graphique complet K₄contient 4 sommets et 6 arêtes.

On sait que pour un graphe plan connexe 3v-e≧6. Donc pour K₄, nous avons 3x4-6=6 qui satisfait la propriété (3).

np.argmax

Ainsi K₄est un graphe planaire. Donc prouvé.

Graphique non planaire :

Un graphe est dit non plan s’il ne peut être dessiné dans un plan tel qu’aucune arête ne se croise.

Exemple: Les graphiques illustrés sur la figure sont des graphiques non planaires.

Ces graphiques ne peuvent pas être dessinés dans un plan de sorte qu’aucune arête ne se croise, ce sont donc des graphiques non planaires.

Propriétés des graphiques non planaires :

Un graphe est non plan si et seulement s'il contient un sous-graphe homéomorphe à K₅ou K_3.3

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Exemple 1: Montrer que K₅n'est pas plan.

Solution: Le graphique complet K₅contient 5 sommets et 10 arêtes.

Maintenant, pour un graphe planaire connecté 3v-e≧6.

Ainsi, pour K₅, nous avons 3 x 5-10=5 (ce qui ne satisfait pas la propriété 3 car elle doit être supérieure ou égale à 6).

Ainsi, K₅est un graphe non plan.

Exemple 2 : Montrer que les graphiques montrés sur la figure sont non planaires en trouvant un sous-graphe homéomorphe à K₅ou K_3.3.

Solution: Si on enlève les bords (V₁,DANS₄),(DANS₃,DANS₄)et (V₅,DANS₄) le graphique G₁, devient homéomorphe à K₅.Il n’est donc pas plan.

Si on supprime le bord V_2,V7) le graphique G₂devient homéomorphe à K_3.3.Il s’agit donc d’un non-plan.

Coloration du graphique :

Supposons que G= (V,E) soit un graphe sans arêtes multiples. Une coloration des sommets de G est une attribution de couleurs aux sommets de G de telle sorte que les sommets adjacents aient des couleurs différentes. Un graphe G est M-Colorable s'il existe une coloration de G qui utilise des M-Couleurs.

Coloration appropriée : Une coloration est appropriée si deux sommets adjacents u et v ont des couleurs différentes, sinon on parle de coloration incorrecte.

Exemple: Considérez le graphique suivant et la couleur C={r, w, b, y}. Colorez le graphique correctement en utilisant toutes les couleurs ou moins de couleurs.

Le graphique montré sur la figure est un minimum de 3 colorables, donc x(G)=3

Solution: La figure montre le graphique correctement coloré avec les quatre couleurs.

La figure montre le graphique correctement coloré avec trois couleurs.

Nombre chromatique de G : Le nombre minimum de couleurs nécessaire pour produire une coloration correcte d'un graphe G est appelé le nombre chromatique de G et est noté x(G).

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Exemple: Le nombre chromatique de K_nest n.

Solution: Une coloration de K_npeut être construit en utilisant n couleurs en attribuant des couleurs différentes à chaque sommet. Deux sommets ne peuvent pas recevoir les mêmes couleurs, puisque tous les deux sommets de ce graphe sont adjacents. D'où le nombre chromatique de K_n=n.

Applications de la coloration des graphiques

Certaines applications de la coloration graphique incluent :

• Allocation de registre
• Coloriage de carte
• Vérification de graphiques bipartites
• Attribution des fréquences radio mobiles
• Faire un emploi du temps, etc.

Énoncez et prouvez le théorème de la poignée de main.

Théorème de la poignée de main : La somme des degrés de tous les sommets d’un graphe G est égale à deux fois le nombre d’arêtes du graphe.

Mathématiquement, cela peut s'écrire comme suit :

∑_v∈Vdeg(v)=2e

Preuve: Soit G = (V, E) un graphe où V = {v₁,dans₂, . . . . . . . . . .} soit l'ensemble des sommets et E = {e₁,C'est₂. . . . . . . . . .} soit l’ensemble des arêtes. Nous savons que chaque arête se situe entre deux sommets et donne donc le degré un à chaque sommet. Par conséquent, chaque arête contribue au degré deux du graphique. La somme des degrés de tous les sommets est donc égale à deux fois le nombre d’arêtes de G.

Par conséquent, ∑_v∈Vdeg(v)=2e

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