La racine carrée de toute valeur numérique est une valeur qui, lors de son auto-multiplication, donne le nombre d'origine. '√' est le symbole radical utilisé pour représenter la racine de n'importe quel nombre. Par racine carrée, nous entendons une puissance 1/2 de ce nombre. Par exemple, supposons que x soit la racine carrée de tout entier y, cela implique que x=√y. En multipliant l'équation, on obtient également x²= oui.

La racine carrée du carré d’un nombre positif donne le nombre original.

Pour comprendre le concept, nous savons que le carré de 4 est 16 et la racine carrée de 16, √16 = 4. Maintenant, comme nous pouvons le voir, 16 est un carré parfait. Cela facilite le calcul de la racine carrée de ces nombres. Cependant, pour calculer la racine carrée d’un carré imparfait comme 3, 5, 7, etc., le calcul de la racine est un processus difficile.

Une fonction racine carrée est une fonction un-à-un qui utilise comme entrée un nombre positif et renvoie la racine carrée du nombre d'entrée donné.

f(x) = √x

Propriétés des racines carrées

Certaines des propriétés importantes de la racine carrée sont les suivantes :

• Pour un nombre carré parfait, il existe une racine carrée parfaite.
• Pour un nombre se terminant par un nombre pair de zéros, il existe une racine carrée.
• La racine carrée des nombres négatifs n’est pas définie.
• Pour un nombre se terminant par les chiffres 2, 3, 7 ou 8, alors la racine carrée parfaite n'existe pas.
• Pour un nombre se terminant par les chiffres 1, 4, 5, 6 ou 9, alors le nombre aura une racine carrée.

Comment calculer une racine carrée ?

Les nombres carrés parfaits sont des nombres entiers de nature positive et qui peuvent être facilement exprimés sous la forme de la multiplication d'un nombre par lui-même. Les nombres carrés parfaits sont représentés comme la valeur de la puissance 2 de n’importe quel nombre entier. Le calcul de la racine carrée des nombres carrés parfaits est relativement plus simple. Il existe principalement quatre méthodes utilisées pour trouver la racine carrée des nombres :

• Méthode de soustraction répétée de la racine carrée
• Racine carrée par méthode de factorisation première
• Racine carrée par méthode d'estimation
• Racine carrée par méthode de division longue

Les trois méthodes ci-dessus peuvent être utilisées pour calculer la racine carrée des nombres carrés parfaits. Toutefois, la dernière méthode peut être utilisée pour les deux types de nombres.

Méthode de soustraction répétée des racines carrées

La méthode repose sur la séquence d’étapes suivante :

Étape 1: Soustrayez les nombres impairs consécutifs du nombre dont nous trouvons la racine carrée.

Étape 2: Répétez l'étape 1 jusqu'à ce qu'une valeur de 0 soit atteinte.

Étape 3: Le nombre de fois que l’étape 1 est répétée correspond à la racine carrée requise du nombre donné.

Note: Cette méthode ne peut être utilisée que pour des carrés parfaits.

Par exemple, pour le nombre 16, la méthode fonctionne comme suit :

16 – 1 = 15

15 – 3 =12

12 – 5 = 7

7-7 = 0

Le processus est répété 4 fois. Ainsi,√16 = 4.

Racine carrée par méthode de factorisation première

La factorisation première d'un nombre quelconque est la représentation de ce nombre sous la forme d'un produit de nombres premiers. La méthode repose sur la séquence d'étapes suivante :

Étape 1: Divisez le nombre spécifié en ses facteurs premiers.

Étape 2: Une paire de facteurs similaires est formée de telle sorte que les deux facteurs de chacune des paires formées sont égaux.

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Étape 3: Prenez un facteur de chacune des paires.

Étape 4: Le produit des facteurs s’obtient en prenant un facteur dans chaque paire.

Étape 5 : Le produit obtenu est la racine carrée du nombre donné.

Note: Cette méthode ne peut être utilisée que pour des carrés parfaits.

Par exemple, pour le nombre 64, la méthode fonctionne comme suit :

délimiteur Java

egin{array}l llap{2~~~~} 64 hline llap{2~~~~} 32 hline llap{2~~~~} 16 hline llap{2~~~~} 8 hline llap{2~~~~} 4 hline llap{2~~~~} 2 hline 1 end{array}

64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}

64 = 2²×2²×2²

64 = (2 × 2 × 2)²

64 = (8)²

√64 = 8

Racine carrée par méthode d'estimation

La méthode d'estimation est utilisée pour approximer la racine carrée d'un nombre donné. Il se rapproche de la racine carrée d’un nombre pour obtenir une estimation raisonnable de la valeur réelle. Les calculs sont plus faciles avec cette méthode. Cependant, c'est un processus très long et qui prend du temps.

Étape 1: Trouvez le carré parfait le plus proche se trouvant avant et après le nombre donné.

Étape 2: Trouvez les entiers les plus proches et arrondissez-les à chaque fois pour arriver à la réponse la plus proche.

Par exemple, pour le nombre 15, la méthode fonctionne comme suit :

9 et 16 sont les nombres carrés parfaits avant et après les plus proches de 15. Maintenant, nous savons :

√16 = 4 et √9 = 3. Cela implique que la racine carrée du nombre 15 se situe entre 3 et 4. Désormais, le processus implique d'évaluer si la racine carrée du nombre 15 est plus proche de 3 ou de 4.

Le premier cas prend 3,5 et 4. Carré de 3,5 = 12,25 et racine carrée de 4 = 16. Par conséquent, la racine carrée de l’entier 15 se situe entre 3,5 et 4 et est plus proche de 4.

De plus, on retrouve les carrés de 3,8 et 3,9, qui équivalent à 3,8²= 14,44 et 3,9²= 15,21 respectivement. Cela implique que √15 se situe entre 3,8 et 3,9. Après une évaluation plus approfondie, nous obtenons que √15 = 3,872.

Racine carrée par méthode de division longue

La méthode de division longue pour le calcul de la racine carrée des nombres implique la division de grands nombres en étapes ou parties, divisant ainsi le problème en une séquence d'étapes plus faciles.

Par exemple, pour le nombre 180, la méthode fonctionne comme suit :

Étape 1: Une barre est placée sur chaque paire de chiffres du nombre en commençant par la place de l’unité.

Étape 2: Le nombre le plus à gauche est ensuite divisé par le plus grand nombre de telle sorte que le carré soit inférieur ou égal au nombre de la paire la plus à gauche.

Étape 3: Désormais, le nombre sous la barre suivante à droite du reste est réduit. Le dernier chiffre du quotient obtenu est ajouté au diviseur. Maintenant, l’étape suivante consiste à trouver un nombre à droite de la somme obtenue, tel qu’il forme avec le résultat de la somme un nouveau diviseur pour le nouveau dividende.

Étape 4: Le nombre obtenu dans le quotient est équivalent au nombre sélectionné dans le diviseur.

Étape 5 : Le même processus est répété en utilisant un point décimal et en ajoutant des zéros par paires au reste.

Étape 6 : Le quotient forme la racine carrée du nombre.

Exemples de questions

Question 1. Calculer la racine carrée de 144 par la méthode de factorisation première ?

Solution:

egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array}

carte de hachage

144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}

144 = 2²×2²×3²

144 = (2 × 2 × 3)²

144 = (12)²

√144 = 12

Question 2. Quelle est la façon de simplifier la racine carrée ?

Solution:

La factorisation première du nombre donné peut être calculée. Dans le cas où le facteur ne peut pas être regroupé, un symbole de racine carrée est utilisé pour les regrouper. La règle suivante est utilisée à des fins de simplification :

√xy = √(x × y), où x et y sont des entiers positifs.

Par exemple, √12 =sqrt{2 × 2 × 3}= 23

Dans le cas de fractions, la règle suivante est utilisée :frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}}

Par exemple:frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10}= √5

Question 3. Résoudre : √(x + 2) = 4

Solution:

Nous savons,

√(x + 2) = 4

En mettant au carré les deux côtés, on obtient ;

x + 2 = √4

x + 2 = ±4

x = ±4 – 2

Nous avons donc,

x = 2 ou x = -6

bash divisé en chaîne

Question 4. La racine carrée d'un nombre négatif peut-elle être un nombre entier ? Expliquer.

Solution:

Nous le savons, les nombres négatifs ne peuvent pas avoir de racine carrée. La raison en est que si deux nombres négatifs sont multipliés ensemble, le résultat obtenu sera toujours un nombre positif. Par conséquent, la racine carrée d’un nombre négatif se présentera sous la forme d’un nombre complexe.

Question 5. Calculer la racine carrée de 25 par la méthode de soustraction répétée ?

Solution:

En suivant les étapes indiquées ci-dessus, nous avons,

25 – 1 = 24

24 – 3 = 21

21 – 5 = 16

16 – 7 = 9

9 – 9 = 0

Puisque le processus est répété 5 fois, nous avons donc √25 = 5.

Question 6. Calculez la racine carrée de 484 par le méthode de division longue ?

Solution:

Par la méthode de division longue, nous avons,

Maintenant,

Le reste est 0, donc 484 est un nombre carré parfait, tel que :

√484 = 22