Dans cet article, nous étudierons l'analyse de transformée de Fourier ou la transformée de Fourier en analyse de circuits. La transformée de Fourier est essentiellement une opération mathématique qui décompose un signal en ses composantes fréquentielles constitutives. En termes simples, il convertit un signal du domaine temporel vers le domaine fréquentiel. Le domaine temporel représentera le signal en fonction du temps, tandis que le domaine fréquentiel représentera le signal en fonction de la fréquence.
Transformée de Fourier
La transformée de Fourier est un outil puissant et étonnant pour analyser le comportement de différents types de circuits, car elle nous permet de voir comment le circuit réagit à différentes fréquences. Ceci est utile pour différents types de tâches, telles que :
- Analyser la réponse d'un circuit à des signaux d'entrée arbitraires : Cela peut être facilement utilisé pour concevoir des circuits capables de gérer une vaste gamme de signaux d’entrée, tels que des signaux audio ou des signaux vidéo.
- Identifier les fréquences de résonance d'un circuit : Les fréquences de résonance sont les fréquences auxquelles un circuit amplifiera les signaux. Ces informations peuvent être utilisées pour concevoir les circuits qui doivent fonctionner à des fréquences spécifiques, comme des filtres ou des oscillateurs.
- Concevoir des filtres pour supprimer les composantes de fréquence indésirables d'un signal : Les filtres peuvent être principalement utilisés pour supprimer le bruit ou les interférences d’un signal, ou pour extraire des composantes de fréquence spécifiques d’un signal particulier.
- Comprendre la stabilité d'un circuit : Un circuit stable est un circuit qui n’oscille ni ne diverge. La transformée de Fourier peut être utilisée pour analyser la stabilité d'un circuit en regardant simplement la réponse en fréquence du circuit.
La transformée de Fourier est également utilisée dans de nombreux autres domaines, notamment le traitement du signal, le traitement d'images et la mécanique quantique.
Dans cet article, nous aborderons les sujets suivants liés à la transformée de Fourier dans l'analyse de circuits :
- Types de transformées de Fourier
- Propriétés de la transformée de Fourier
- Applications de la transformée de Fourier en analyse de circuits
Nous discuterons également des exemples ainsi que des illustrations pour aider à comprendre les concepts de manière appropriée.
Comprendre la raison de l'évolution
La transformée de Fourier a été développée pour la première fois par le célèbre mathématicien français Jean-Baptiste Joseph Fourier au début du 19e siècle. Il était profondément intéressé par la résolution de l’équation de conduction thermique, qui est une équation aux dérivées partielles. Fourier s'est rendu compte qu'il pouvait résoudre l'équation en décomposant simplement la distribution initiale de la température en ses ondes sinusoïdales et cosinusoïdales constitutives.
La transformée de Fourier a depuis été appliquée à un large éventail de problèmes de physique et d’ingénierie, parmi lesquels l’analyse de circuits. Dans l'analyse de circuit, la transformée de Fourier peut être utilisée pour analyser la réponse d'un circuit à des signaux d'entrée arbitraires.
Effets de la transformée de Fourier
La transformée de Fourier a un grand nombre d'effets importants sur l'analyse des circuits. Dans un premier temps, cela nous permet d'analyser la réponse d'un circuit à des signaux d'entrée arbitraires. Puis deuxièmement, cela permet d’identifier les fréquences de résonance d’un circuit. Ensuite, en troisième lieu, cela nous permet de concevoir des filtres utilisés pour supprimer les composantes de fréquence indésirables d'un signal.
Formule de transformation de Fourier
La transformée de Fourier d'un signal x(t) est notée X(f) et est définie comme suit :
X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt> Ici f est la fréquence en paramètre de Hertz.
La notation utilisée dans la formule de transformée de Fourier est :
- x(t) est un signal dans le domaine temporel.
- X(f) est le signal dans le domaine fréquentiel.
- j est une unité imaginaire.
- e −j2πft est une fonction exponentielle complexe.
Types de transformée de Fourier
Il existe principalement deux types de transformées de Fourier :
- Transformée de Fourier continue (CFT)
- Transformée de Fourier discrète (TFD) .
Transformation de Fourier continue (CFT)
Le CFT est défini pour les signaux en temps continu, qui sont essentiellement des signaux pouvant prendre n'importe quelle valeur à tout moment.
La transformée de Fourier continue (CFT) d'un signal x(t) peut être définie comme suit :
X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt> où f est la fréquence en Hertz.
La notation utilisée dans la formule CFT est :
- x(t) est le signal dans le domaine temporel.
- X(f) est le signal dans le domaine fréquentiel.
- j est l'unité imaginaire.
- e −j2πft est la fonction exponentielle complexe.
Dérivation du CFT
La CFT peut être facilement dérivée de la série de Fourier d'un signal périodique. La série de Fourier d'un signal périodique x(t) de période T est donnée par :
x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}> Ici CN sont les coefficients de Fourier du signal.
La CFT peut être obtenue en prenant simplement la limite de la série de Fourier lorsque la période T se rapproche de l'infini. Dans cette limite, les coefficients de Fourier deviennent une fonction continue de la fréquence, et la série de Fourier devient la CFT.
Transformée de Fourier discrète (TFD)
La DFT est définie pour les signaux à temps discret, qui sont des signaux qui ne peuvent prendre certaines valeurs qu'à des moments précis.
La transformée de Fourier discrète (TFD) d'un signal à temps discret x[n] peut être définie comme suit :
X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}> Ici, k est l'indice de fréquence et N est la longueur du signal de signal particulier.
La notation utilisée dans la formule DFT est :
Test de performance
- x[n] est le signal à temps discret.
- X[k] est le signal dans le domaine fréquentiel.
- j est l'unité imaginaire.
- e −j2πkn/N
- est la fonction exponentielle complexe.
Dérivation de la DFT
En termes simples, CFT est essentiellement défini pour signaux à temps continu , tandis que la DFT est définie pour signaux à temps discret . La DFT est principalement utilisée sous forme de transformée de Fourier dans l'analyse de circuits, comme la plupart des circuits électroniques qui fonctionnent sur des signaux à temps discret.
La DFT d'un signal à temps discret x[n] est notée X[k] et est définie comme suit :
X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}> Ici, k est l'indice de fréquence et N est la longueur du signal.
La DFT peut être dérivée de la CFT en échantillonnant simplement la CFT à des fréquences discrètes :
X[k] = X(f = k/N)>
Exemples de transformée de Fourier avec diagramme
Considérons l'exemple de circuit suivant :
Circuit RC simple
Ici, l’entrée du circuit est une onde carrée et la sortie est une onde carrée filtrée. Où la transformée de Fourier de l'onde carrée d'entrée est une série d'impulsions aux fréquences harmoniques. La transformée de Fourier de l'onde carrée de sortie est une série d'impulsions atténuées aux fréquences harmoniques.
Voici le schéma suivant qui montre les transformées de Fourier des signaux d'entrée et de sortie :
Transformée de Fourier Entrée Sortie
Propriétés
La transformée de Fourier possède un certain nombre de propriétés importantes, parmi lesquelles :
- La transformée de Fourier d'un signal réel est symétrique conjuguée.
- La transformée de Fourier d'une combinaison linéaire de signaux est une combinaison linéaire des transformées de Fourier des signaux individuels.
- La transformée de Fourier d'un signal décalé dans le temps est un signal décalé en fréquence.
- La transformée de Fourier d'un signal décalé en fréquence est un signal décalé dans le temps.
Caractéristiques
La transformée de Fourier d'un signal présente les caractéristiques suivantes :
- L'amplitude de la transformée de Fourier d'un signal représente l'amplitude des composantes fréquentielles du signal.
- La phase de la transformée de Fourier d'un signal représente la phase des composantes fréquentielles du signal.
Applications
La transformée de Fourier a un grand nombre d'applications dans l'analyse de circuits, notamment :
- Analyser la réponse donnée d'un circuit à des signaux d'entrée arbitraires.
- Identifier les fréquences de résonance d'un circuit.
- Concevoir des filtres pour supprimer les composantes de fréquence indésirables d'un signal.
Avantages et inconvénients
Certains des avantages et des inconvénients de la transformée de Fourier sont-
nombre premier en Java
Avantages :
- La transformée de Fourier est un outil très puissant pour analyser la réponse en fréquence d'un circuit.
- Il peut être utilisé pour concevoir des filtres afin de supprimer les composantes de fréquence indésirables d’un signal.
Désavantages:
- La transformée de Fourier peut également être beaucoup plus complexe à comprendre et à utiliser.
- Le calcul de la transformée de Fourier peut être plus coûteux en termes de calcul.
Différence entre la transformée de Laplace et la transformée de Fourier
Fondamentalement, la transformée de Fourier est essentiellement similaire à la transformée de Laplace, mais il existe quelques différences clés. En ce sens que la transformée de Fourier est définie pour les signaux à temps continu, tandis que la transformée de Laplace est définie à la fois pour les signaux à temps continu et à temps discret. De plus, la transformée de Fourier n'est pas bien adaptée à l'analyse des signaux transitoires, alors que la transformée de Laplace y est utile.
| Propriété | Transformation de Laplace | Transformée de Fourier |
|---|---|---|
| Domaine | Temps et fréquence | Fréquence uniquement |
| Définition | X(s)=∫ −∞ ∞ x(t)e −st dt | X(f)=∫ −∞ ∞ x(t)e −j2πft dt |
| Applications | Analyse de circuits, traitement du signal, théorie du contrôle | Analyse de circuits, traitement du signal, traitement d'images, mécanique quantique |
Transformée de Fourier avant et inverse
La transformée de Fourier directe peut convertir un signal du domaine temporel vers le domaine fréquentiel. La transformée de Fourier inverse doit convertir un signal du domaine fréquentiel vers le domaine temporel.
La transformée de Fourier inverse est définie comme suit :
x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df> Transformation sinusoïdale directe et transformation cosinus de Fourier
La transformée sinusoïdale directe et la transformée cosinus directe sont essentiellement deux variantes de la transformée de Fourier. La transformée sinusoïdale directe est définie comme suit :
S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt> La transformée en cosinus direct est définie comme suit :
C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt> La transformée sinusoïdale directe et la transformée cosinus directe sont très utiles pour analyser des signaux avec une symétrie paire et impaire, respectivement.
Conclusion
Dans l’ensemble, la transformée de Fourier est un outil essentiel pour l’analyse des circuits. Cela nous permet de comprendre comment les circuits réagissent à différentes fréquences, ce qui est plus essentiel pour la conception et l'analyse de circuits électroniques. La transformée de Fourier a différents types d'applications dans l'analyse de circuits, notamment l'analyse de la réponse d'un circuit à des signaux d'entrée arbitraires, l'identification des fréquences de résonance d'un circuit donné, la conception de filtres pour éliminer les composantes de fréquence indésirables du signal et la compréhension de la stabilité de un circuit.
La transformée de Fourier est également utilisée dans de nombreux autres domaines, notamment le traitement du signal, le traitement d'images et la mécanique quantique. C'est un outil très polyvalent et puissant avec un large éventail d'applications.
Voici quelques réflexions supplémentaires sur l'importance de la transformée de Fourier dans l'analyse de circuits :
ajouter la gestion des exceptions Java
- La transformée de Fourier permet simplement d'analyser des circuits linéaires et non linéaires.
- La transformée de Fourier peut être utilisée pour analyser différents types de circuits dans le domaine temporel ou fréquentiel.
- La transformée de Fourier peut être utilisée pour analyser des circuits avec plusieurs entrées et sorties.
- La transformée de Fourier peut être utilisée pour analyser des circuits avec les boucles de rétroaction.
La transformée de Fourier est un outil puissant qui peut être utilisé pour analyser un large éventail de problèmes de circuits. C'est un outil essentiel pour tout ingénieur de circuits.
Questions fréquemment posées
1. Quelle est la différence entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace ?
L'utilisation de Laplace pour la CFT et la DFT mais pas pour la transformée de Fourier
2. Pourquoi la transformée de Fourier est-elle importante dans l'analyse de circuits ?
La transformée de Fourier est plus importante dans l'analyse des circuits simplement parce qu'elle nous permet d'analyser la réponse en fréquence des circuits. La réponse en fréquence
3. Quelles sont quelques applications de la transformée de Fourier dans l'analyse de circuits ?
La transformée de Fourier peut être utilisée pour diverses tâches d'analyse de circuits, telles que :
Analyser la réponse d'un circuit à des signaux d'entrée arbitraires.
Identifier les fréquences de résonance d'un circuit.
Concevoir des filtres pour supprimer les composantes de fréquence indésirables d'un signal.
Comprendre la stabilité d'un circuit.