L'équation d'une droite dans un avion est donné comme y = mx + C où x et y sont les coordonnées du plan, m est la pente de la ligne et C est l'origine. Cependant, la construction d’une ligne ne se limite pas au seul avion.

Nous savons qu'une ligne est un chemin entre deux points. Ces deux points peuvent être situés n’importe où, qu’ils soient dans un seul plan ou dans l’espace. Dans le cas d'un plan, l'emplacement de la ligne est caractérisé par deux coordonnées disposées en une paire ordonnée donnée par (x, y) alors que dans le cas de l'espace, l'emplacement du point est caractérisé par trois coordonnées exprimées par (x , y, z).

Dans cet article, nous apprendrons les différentes formes d'équations de droites dans l'espace 3D.

Table des matières

• Qu’est-ce que l’équation d’une droite ?
• Équation de ligne en 3D
• Forme cartésienne de l'équation de ligne en 3D
• Forme vectorielle de l'équation de la ligne en 3D
• Formules de lignes 3D
• Exemples résolus sur l'équation d'une droite en 3D

Qu’est-ce que l’équation d’une droite ?

L'équation d'une ligne est une manière algébrique d'exprimer une ligne en termes de coordonnées des points qu'elle rejoint. L'équation d'une droite sera toujours une équation linéaire .

Si nous essayons de tracer les points obtenus à partir d'une équation linéaire, ce sera un ligne droite . L’équation standard d’une droite est donnée par :

hache + par + c = 0

où,

• a et b sont des coefficients de x et y
• c est un terme constant

D'autres formes de l'équation de droite sont mentionnées ci-dessous :

Nous allons maintenant apprendre l'équation de la droite en 3D.

Équation de ligne en 3D

L'équation d'une droite en 3D nécessite deux points situés dans l'espace. L'emplacement de chaque point est donné à l'aide de trois coordonnées exprimées sous la forme (x, y, z).

L'équation 3D d'une ligne est donnée sous deux formats, forme cartésienne et forme vectorielle . Dans cet article, nous apprendrons l'équation d'une ligne en 3D sous forme cartésienne et vectorielle et apprendrons également à dériver l'équation. Les différents cas d'équation de droite sont listés ci-dessous :

• Forme cartésienne de ligne
  • Ligne passant par deux points
  • Ligne Passant par un point donné et Parallèle à un Vecteur donné
• Forme vectorielle de ligne
  • Ligne passant par deux points
  • Ligne Passant par un point donné et Parallèle à un Vecteur donné

Forme cartésienne de l'équation de ligne en 3D

La forme cartésienne d'une ligne est donnée en utilisant les coordonnées de deux points situés dans l'espace à partir desquels passe la ligne. Dans celui-ci, nous discuterons de deux cas, lorsque la ligne passe par deux points et lorsque la ligne passe par des points et est parallèle à un vecteur.

Cas 1 : Équation 3D d'une droite sous forme cartésienne passant par deux points

Supposons que nous ayons deux points A et B dont les coordonnées sont données par A(x₁, et₁, Avec₁) et B(x₂, et₂, Avec₂).

Alors l’équation 3D de la droite sous forme cartésienne est donnée par

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

où x, y et z sont des coordonnées rectangulaires.

Dérivation de l'équation de la droite passant par deux points

Nous pouvons dériver la forme cartésienne de l'équation 3D de la ligne droite en utilisant les étapes mentionnées suivantes :

• Étape 1: Trouvez les DR (Rapports de Direction) en prenant la différence des coordonnées de position correspondantes des deux points donnés. je = (x₂- X₁), m = (et₂- et₁), n = (z₂- Avec₁); Ici l, m, n sont les DR.
• Étape 2: Choisissez l'un des deux points donnés, disons, nous choisissons (X₁, et₁, Avec₁).
• Étape 3: Écrivez l'équation requise de la droite passant par les points (X₁, et₁, Avec₁) et (x₂, et₂, Avec₂).
• Étape 4: L’équation 3D de la droite sous forme cartésienne est donnée par L : (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(et₂- et₁) = (z – z₁)/(Avec₂- Avec₁)

Où (X y Z) sont les coordonnées de position de tout point variable situé sur la ligne droite.

Exemple: Si une ligne droite passe par les deux points fixes en 3 dimensions dont les coordonnées de position sont P (2, 3, 5) et Q (4, 6, 12), alors son équation cartésienne utilisant la forme à deux points est donnée par

Solution:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Choisir le point P (2, 3, 5)

L'équation requise de la droite

L : (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Cas 2 : Equation 3D de droite en cartésien passant par un point et parallèle à un vecteur donné

Supposons que la droite passe par un point P(x₁, et₁, Avec₁) et est parallèle à un vecteur donné parvec n = ahat i + bhat j + chat k .

Alors l’équation de la droite est donnée par

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

où x, y, z sont des coordonnées rectangulaires et a, b, c sont des cosinus directeurs.

Dérivation de l'équation 3D de droite en cartésien passant par un point et parallèle à un vecteur donné

Supposons que nous ayons un point P dont le vecteur position est donné parvec pde l'origine. Soit la droite qui passe par P est parallèle à un autre vecteurvec n. Prenons un point R sur la droite qui passe par P, alors le vecteur position de R est donné parvec r .

Puisque PR est parallèle àvec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Maintenant, si nous nous déplaçons sur la ligne PR alors la coordonnée de tout point qui se trouve sur la ligne aura la coordonnée sous la forme de (x₁+ λa), (et₁+ λb), (z₁+ λc), où λ est un paramètre dont la valeur varie de -∞ à +∞ selon la direction depuis P où l'on se déplace.

Les coordonnées du nouveau point seront donc

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/un

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/b

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/c

En comparant les trois équations ci-dessus, nous avons l'équation de la droite comme

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Exemple: Trouver l'équation d'une droite passant par un point (2, 1, 3) et parallèle à un vecteur 3i – 2j + k

Solution:

L'équation d'une droite passant par un point et parallèle à un vecteur est donnée par

(x – x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/c

D'après la question que nous nous posons, x₁= 2, et₁= 1,z₁= 3 et a = 3, b = -2 et c = k. Par conséquent, l’équation requise de la droite sera

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Forme vectorielle de l'équation de la ligne en 3D

La forme vectorielle de l'équation de la ligne en 3D est donnée à l'aide d'une équation vectorielle qui implique le vecteur de position des points. Dans cette rubrique, nous obtiendrons l'équation 3D de la droite sous forme vectorielle pour deux cas.

Cas 1 : équation 3D d'une droite passant par deux points sous forme vectorielle

Supposons que nous ayons deux points A et B dont le vecteur position est donné parvec aetvec b.

Alors l’équation vectorielle de la droite L est donnée par

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

où(vec b – vec a)est la distance entre deux points et λ est le paramètre qui se situe sur la ligne.

Dérivation de l'équation 3D d'une droite passant par deux points sous forme vectorielle

Supposons que nous ayons deux points A et B dont le vecteur de position est donné parvec aetvec b. Nous savons maintenant qu’une ligne est la distance entre deux points quelconques. Par conséquent, nous devons soustraire les deux vecteurs de position pour obtenir la distance.

⇒vec d = vec b – vec a

Nous savons maintenant que tout point sur cette ligne sera donné comme la somme du vecteur positionvec a space or space vec b avec le produit du paramètre λ et le vecteur position de la distance entre deux points soitvec d

Par conséquent, l’équation de la droite sous forme vectorielle seravec l = vec a + lambda (vec b – vec a)ouvec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Exemple : Trouver l'équation vectorielle d'une ligne en 3D qui passe par deux points dont les vecteurs de position sont donnés par 2i + j – k et 3i + 4j + k

Solution:

Étant donné que les deux vecteurs de position sont donnés par 2i + j – k et 3i + 4j + k

Distance d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Nous savons que l’équation de la droite est donnée parvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

L’équation de la droite sera doncvec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Cas 2 : Forme vectorielle d'une équation 3D d'une droite passant par un point et parallèle à un vecteur

Disons que nous avons un point P dont le vecteur position est donné parvec p. Soit cette droite parallèle à une autre droite dont le vecteur position est donné parvec d .

java remplacer tout

Alors l’équation vectorielle de la droite « l » est donnée par

vec l = vec p + lambda vec d

où λ est le paramètre qui se trouve sur la droite.

Dérivation de la forme vectorielle de l'équation 3D d'une droite passant par un point et parallèle à un vecteur

Considérons un point P dont le vecteur position est donné parvec p. Supposons maintenant que cette droite soit parallèle à un vecteurvec dalors, l'équation de la droite seravec l = lambda vec d. Maintenant, puisque la ligne passe également par le point P, alors à mesure que nous nous éloignons du point P dans les deux sens sur la ligne, le vecteur de position du point sera sous la forme devec p + lambda vec d . L’équation de la droite sera doncvec l = vec p + lambda vec doù λ est le paramètre qui se trouve sur la droite.

Exemple : Trouver la forme vectorielle de l'équation de la droite passant par le point (-1, 3, 2) et parallèle à un vecteur 5i + 7j – 3k.

Solution:

On sait que la forme vectorielle de l'équation d'une droite passant par un point et parallèle à un vecteur est donnée parvec l = vec p + lambda vec d

Étant donné que le point est (-1, 3, 2), le vecteur position du point sera donc -i + 3j + 2k et le vecteur donné est 5i + 7j – 3k.

Par conséquent, l’équation requise de la droite seravec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

Formules de lignes 3D

Lectures similaires

• Équation d'une ligne droite
• Tangente et normale
• Pente de la ligne

Exemples résolus sur l'équation d'une droite en 3D

Entraînez-vous aux équations de droites en 3D avec ces questions pratiques résolues.

Exemple 1: Si une ligne droite passe par les deux points fixes en 3 dimensions dont les vecteurs de position sont (2 i + 3 j + 5 k) et (4 i + 6 j + 12 k), alors son équation vectorielle utilisant l'équation à deux points la forme est donnée par

Solution:

{vec {p}}= (4 je + 6 j + 12 k ) - (2 je + 3 j + 5 k )

{vec {p}}= (2 je + 3 j + 7 k ) ; Ici{vec {p}}est un vecteur parallèle à la droite

Choisir le vecteur position (2 je + 3 j + 5 k )

L'équation requise de la droite

L :{vec {r}}= (2 je + 3 j + 5 k ) + t . (2 je + 3 j + 7 k )

Exemple 2 : Si une ligne droite passe par les deux points fixes dans l'espace tridimensionnel dont les coordonnées de position sont (3, 4, -7) et (1, -1, 6), alors son équation vectorielle utilisant les deux points la forme est donnée par

Solution:

Les vecteurs de position des points donnés seront (3 i + 4 j – 7 k) et (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 je + 4 j – 7 k) – (je – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 je + 5 j – 13 k) ; Ici{vec {p}}est un vecteur parallèle à la droite

Choisir le vecteur position (i – j + 6 k)

L'équation requise de la droite

L :{vec {r}}= (je – j + 6k) + t . (2 je + 5 j – 13 k)

Exemple 3 : Si une ligne droite passe par les deux points fixes en 3 dimensions dont les vecteurs de position sont (5 i + 3 j + 7 k) et (2 i + j – 3 k), alors son équation vectorielle utilisant la forme à deux points est donné par

Solution:

{vec {p}}= (5 je + 3 j + 7 k) – (2 je + j – 3 k)

{vec {p}}= (3 je + 2 j + 10 k) ; Ici{vec {p}}est un vecteur parallèle à la droite

Choisir le vecteur position (2 i + j – 3 k)

L'équation requise de la droite

L :{vec {r}}= (2 je + j – 3 k) + t . (3 je + 2 j + 10k)

Exemple 4 : Si une ligne droite passe par les deux points fixes en 3 dimensions dont les coordonnées de position sont A (2, -1, 3) et B (4, 2, 1), alors son équation cartésienne utilisant les deux points la forme est donnée par

Solution:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Choisir le point A (2, -1, 3)

L'équation requise de la droite

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 ou

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Exemple 5 : Si une ligne droite passe par les deux points fixes en 3 dimensions dont les coordonnées de position sont X (2, 3, 4) et Y (5, 3, 10), alors son équation cartésienne utilisant la forme à deux points est donnée par

Solution:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Choisir le point X (2, 3, 4)

L'équation requise de la droite

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 ou

L : (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Équation d'une droite en 3D – FAQ

Qu’est-ce que l’équation d’une ligne en 3D ?

L'équation d'une ligne en 3D est donnée par (x – x₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(et₂- et₁) = (z – z₁)/(Avec₂- Avec₁)

Qu'est-ce que la forme cartésienne de l'équation d'une droite en 3D ?

La forme cartésienne de l'équation de droite en 3D est donnée pour deux cas

Cas 1 : Lorsque la droite passe par deux points :{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Cas 2 : Lorsqu'une droite passe par un point et est parallèle à un vecteur :{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Qu'est-ce que la forme vectorielle de l'équation d'une ligne en 3D ?

La forme vectorielle de l'équation d'une droite en 3D est donnée pour deux cas :

Cas 1 : Ligne Passant par deux Points :vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Cas 2 : Ligne passant par un point et parallèle à un vecteur :vec l = vec p + lambda vec d

Qu’est-ce que l’équation du point de pente d’une ligne ?

L'équation du point de pente d'une ligne est donnée par y = mx + C où m est la pente

Quelle est l’équation standard d’une droite ?

L'équation standard d'une ligne est ax + by + c = 0